
- •Тема криволинейные интегралы
- •§1. Криволинейный интеграл 1го рода: определение, свойства, смысл
- •I Определение
- •II Свойства
- •III Смысл
- •§2. Вычисление криволинейного интеграла 1го рода
- •I Явное задание пути интегрирования
- •II Параметрическое задание пути интегрирования
- •III Полярные уравнения пути интегрирования
- •IV Вычисление силы притяжения
- •V Вычисление площади части цилиндрической поверхности
- •§4. Криволинейный интеграл второго рода: определение, смысл, свойства
- •I Задача о вычислении работы
- •II Определение
- •III Свойства
- •§5. Вычисление криволинейного интеграла 2го рода
- •I Явное задание пути интегрирования
- •II Параметрическое задание пути интегрирования
- •§6. Формула Грина
- •§7. Независимость криволинейного интеграла 2го рода от формы пути интегрирования
- •§8. Нахождение функции по её полному дифференциалу
§8. Нахождение функции по её полному дифференциалу
Теорема
1.
Пусть функции
непрерывны
в ограниченной правильной области
.
Для того, чтобы выражение
было полным дифференциалом некоторой
функции
необходимо
и достаточно, чтобы в области
выполнялось условие
(1)
При этом сама функция восстанавливается по полному дифференциалу с помощью криволинейного интеграла 2го рода:
(2)
Доказательство.
Необходимость.
Если
,
то (по определению)
и
.
Теорема о равенстве смешанных производных
доказывает равенство (1).
Достаточность.
Равенство (1)
обеспечивает независимость
от
пути (теорема из §7). В доказательстве
леммы 2, §7, мы уже построили функцию
такую, что
.
Эта функция имеет вид (2);
криволинейный интеграл можно свести к
определённому, например, таким образом:
.
Тогда получим выражение функции двух переменных через её частные производные первого порядка:
Замечание 1. Условие правильности области было введено лишь для упрощения доказательства формулы Грина. На самом же деле всё доказанное в этом и предыдущем параграфах имеет место для т.н. односвязной области:
плоская
область
называется односвязной, если каков бы
не был замкнутый контур
,
ограниченная этим контуром часть
плоскости целиком принадлежит
(другими словами, область не содержит
“дыр”).
Всё доказанное можно свести в такую теорему.
Теорема
2.
Пусть функции
непрерывны
в ограниченной замкнутой односвязной
области
.
Тогда следующие четыре утверждения
равносильны:
1)
2)
по любому контуру
.
3)
интеграл
не зависит от пути в
;
4)
выражение
является полным дифференциалом некоторой
функции.
Действительно, из 1) следует 2) в силу формулы Грина. Далее из 2) следует 3) (лемма 1), а из 3) следует 4) в силу леммы 2. И, наконец, из 4) следует 1) в силу теоремы о равенстве смешанных производных.
Замечание
2.
Примем без доказательства, что выражение
является полным дифферен-циалом некоторой
функции
,
если выполняются равенства:
(3)
Как и в двумерном случае, эта функция восстанавливается криволинейным интегралом 2го рода:
Если
в качестве пути
выбрать ломанную, звенья которой
параллельны осям координат, то получим
выражение
через определённые интегралы:
Пример2. Убедиться, что выражение
является полным дифференциалом некоторой функции и найти эту функцию.
Решение.
Выпишем
и
и найдём их производные:
Равенства
(3)
выполняются,
значит, данное выражение – это полный
дифференциал некоторой функции. Эта
функция имеет вид (в качестве пути
интегрирования выберем начало координат):