IV Вычисление силы притяжения

,

аналогично.

Здесь сила, с которой материальная линия(линейная плотность) притягивает массу, находящуюся в точке с координатами. Случай пространственной линии аналогичен.

Пример 4. Дуга, равная четверти окружности радиуса ,притягивает массу , помещённую в центре окружности. Линейная плотность в каждой точке дуги пропорциональна расстоянию от точки до хорды, стягивающей дугу.

Решение. Пусть центр окружности лежит в начале координат. Рассмотрим ту четверть окружности, которая лежит между биссектрисами первого и четвертого квадрантов. Тогда:

Дифференциал дуги

Хорда, стягивающая дугу, имеет уравнение , линейная плотность. Симметрия линии и совпадение значений плотности в симметричных точках дают возможность сказать, что. Дляимеем:

V Вычисление площади части цилиндрической поверхности

Здесьнаправляющая цилиндрической поверхности, образующие которой параллельна оси. Речь идет о той части поверхности, которая заключена междуи.

Пример 5. Найти площадь части цилиндрической поверхности , заключенной между двумя плоскостямии.

Решение. Нетрудно видеть, что искомая площадь выражается интегралом

где (здесь полная аналогия с площадью плоской фигуры). Далее:

.

Задачи. 1 .Найти площадь части поверхности , находящейся внутри сферы.

2. Найти момент инерции однородной окружности радиуса относительно её фиксированной точки.

3.Найти массу одной арки циклоиды если плотность каждой её точке пропорциональна расстоянию от точки до оси абсцисс.

§4. Криволинейный интеграл второго рода: определение, смысл, свойства

I Задача о вычислении работы

Рассмотрим ряд случаев.

Пусть под действием постоянной силы материальная точка движется по прямой, причём направление силы совпадает с направлением движения. Тогда работа, произведенная этой силой равна, где,,перемещение точки.

2.Если сила составляет с перемещениемугол, то работа выражается формулой, в которой легко увидеть скалярное произведение.

3.Пусть теперь в ситуации случая 1 сила является функцией положения материальной точки на оси :.

Работу такой силы можно вычислить так. Если отрезок разбить на части,, то вся искомая работа

будет равна сумме работ на отдельных участках пути. Работа на участке приближенно равнаи для всей работы можно написать приближенное равенство

.

За точное значение работы принимается предел написанной суммы при . Если функция непрерывна, то указанный предел – это интеграл

.

Общая постановка задачи о вычислении работы такова.

Пусть в каждой точке некоторой областиплоскостина помещенную в нее единичную массу действует определённая сила, величина и направление которой зависит только от положения точки:если в точкепомещена масса, то действующая на нее сила будет равна. В этих условиях говорят, что в областизадано силовое поле.

Предложим теперь, что материальная точка единичной массы движется вдоль некоторой линии . Задача состоит в вычислении работы, которую при этом движении совершают силы поля.

Разобьём весь путь на отдельные участки точками. Как и в предыдущем случае 3 вся работа это сумма

,

где работа силы на участке. Если расстояние между соседними точками разбиениямало, то можно считать, что

.

Тогда , где

Итак,

За точное значение работы принимаем предел (определённого вида) написанной суммы.

Замечание 1. В случае пространственного силового поля в сумму добавится ещё одно слагаемое .