II Параметрическое задание пути интегрирования

Теорема 2. Пусть функция непрерывна вдоль линии , заданной уравнениями

причём функции и – непрерывно-дифференцируемы. Тогда криволинейный интеграл 1^го рода существует и может быть вычислен по формуле

(2)

Доказательство формулы (2) вполне аналогично доказательству формулы (1).

Замечание 2. Теорема 2 очевидным образом обобщается на пространственные линии.

Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл 1^го рода , где путь интегрирования – это первые два витка винтовой линии ,

Решение. Предварительные вычисления:

Имеем для искомого интеграла

Замечание 3. В случае, когда пространственная линия задана пересечением двух поверхностей, необходима параметризация. Например, пересечение цилиндра с плоскостьюможно параметризовать таким образом:

III Полярные уравнения пути интегрирования

В формулах (1) и (2) легко увидеть общее правило сведения криволинейного интеграла 1^го рода к определенному интегралу: в подынтегральной функции аргументы заменяем уравнениями пути интегрирования, а дифференциал дуги заменяем подынтегральным выражением из соответствующей формулы для вычисления длины дуги.

Если линия задана непрерывно-дифференцируемой функцией то

Замечание 4. Во всех приведенных формулах в определённых интегралах нижний предел интегрирования меньше верхнего.

§3. Примеры приложений криволинейного интеграла 1^го рода

Механические приложения криволинейного интеграла 1^го рода вполне аналогичны соответствующим приложениям кратных интегралов. Формулы отличаются лишь типом интеграла, его же «начинка» остаётся той же самой.

I Вычисление массы линии

,

где – линейная плотность.

Пример 1. Найти массу участка параболы от точки до точки , если линейная плотность задана функцией

Решение.

II Нахождение центра масс линии

Пример 2. Найти координаты центра масс однородной дуги астроиды

Решение. Однородность означает Кроме того, данная дуга астроиды симметрична относительно прямой . Поэтому

В теме «Приложения определённого интеграла», §5, дифференциал дуги астроиды уже был вычислен:

Знак модуля можно опустить, т.к. Итак, имеем для абсциссы центра масс

III Вычисление моментов инерции линии

Приведём лишь некоторые формулы. Для плоской кривой:

Для пространственной кривой:

и т.п.

Пример_3. Найти момент инерции окружности радиуса относительно фиксированной касательной, если плотность в каждой её точке пропорциональна расстоянию от точки до диаметра, перпендикулярного касательной.

Решение. Пусть центр окружности лежит на оси абсцисс, а касательной служит ось ординат. Её уравнение Для плотности имеем выражение: . Линия симметрична относительно оси и в симметричных точках плотность принимает равные значения. Поэтому можно вычислить момент инерции верхней полуокружности и удвоить его. Итак,

Для искомого момента инерции будем иметь

Замечание. Этот пример можно решить, рассматривая другие формы уравнения окружности. Например, для параметрического задания дифференциал дуги

Тогда искомый момент инерции

Или для полярного уравнения окружности дифференциал дуги Тогда