76

Введение в анализ функций одной переменной Лекция № 13. Тема 1 : Функции

1.1. Определение функции

При изучении определённых процессов реального мира мы встречаемся с характеризующими их величинами, которые меняются во время изучения этих процессов. При этом изменение одной величины сопутствует изменению другой. Например, при прямолинейном равно-мерном движении связь между пройденным путём s, скоростью v и вре-менем t выражается формулой . При заданной скорости v величина пути s зависит от времени t.

В этом случае изменение одной величины (t) произвольно, а другая (s) зависит от первой. Тогда говорят, что задана функциональная зависимость. Дадим математическое обоснование этому понятию.

Пусть заданы два множества X и Y.

Определение. Функцией называется закон или правило, согласно которому каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент , при этом пишут

или .

Элемент называется аргументом функции f, а элемент значением функции. Множество X, при котором функция опреде-лена, называется областью определения функции, а множество Y  областью изменения функции. Эти множества соответственно обозначаются и .

Примеры функций:

1. Скорость свободного падения тела . Здесь X и Y  множества действительных неотрицательных чисел.

2. Площадь круга . Здесь X и Y  множества положитель-ных действительных чисел.

3. Пусть X  множество студентов группы, т.е. , а  множество оценок на экзамене. Здесь в качестве функции f рассматривается критерий оценки знаний.

В дальнейшем под множествами X и Y будем подразумевать множества чисел и придерживаться обозначения . Для большей наглядности будем использовать геометрическое представление множеств и в виде множества точек на действительной оси. Рассмотрим некоторые наиболее употребительные числовые множества (промежутки):

 отрезок;

 интервал;

 числовая ось (множество действительных чисел);

или  окрестность точки a.

а х

Замечание 1. Мы рассмотрели определение однозначной функции. Если же каждому соответствует по некоторому правилу определённое множество чисел y, то таким правилом определена многозначная функция . Например, .

Примеры. Найти области определения и значений функций:

1. .

2. .

3. .

4. .

1.2. Способы задания функции

1. Аналитический способ. Прежде всего, функции могут задаваться при помощи формул. Для этого используются уже изученные и специально обозначенные функции и алгебраические действия.

Примеры:

1. . 2. . 3. .

В дальнейшем будем использовать краткие математические обозначения (кванторы):  для всех, любых;  существует, можно указать.

Напомним некоторые элементы поведения функций. Функция называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке, если из этого промежутка выполняется неравенство или и пишут или соответственно. Возрастающие и убывающие функции называются монотонными. Функция называется ограниченной на некотором промежутке, если выполняется условие . В противном случае функция называется неограниченной.

Функция называется четной (нечетной), если она обладает свойством . Остальные функции называются функциями общего вида.

Функция называется периодической с периодом Т, если выполня-ется условие .

Например, функция является возрастающей и убывающей . Функция является монотонной . Функция ограничена для , так как . Функции: являются четными, а функции  нечетными. Функция  периодическая с периодом .

Функция может быть задана и уравнением вида

(1)

Если существует такая функция , что , то уравнение (1) определяет функцию заданную неявно. Например, в приме-ре 2 функция задана неявно, это уравнение определяет много-значную функцию .

Пусть , а , тогда функция называется сложной функцией или суперпозицией двух функций F и f. Например, в примере 3 функция является суперпозицией двух функций и .

Если в качестве аргумента рассмотреть переменную у, а в качестве функции – переменную х, то получим функцию, которая называется для однозначной функции обратной и обозначается . Например, для функции обратной функцией служит или , если придерживаться общепринятых обозначений аргумента и функции.

Замечание 2. Функция может быть задана и с помощью описания соответствия (описательный способ). Например, поставим в соответствие каждому числу число 1, а каждому число 0. В результате получим единичную функцию

Следует отметить, что всякая формула является символической записью некоторого описанного соответствия и поэтому различие между заданием функции с помощью формул и описания соответствия чисто внешнее.

Графическое изображение функции также может служить для задания функциональной зависимости.

2. Графический способ. Функция задаётся в виде графика. Примером графического задания функции может служить показания осциллографа.

у

d

a b

O x

c

Функцию можно задавать с помощью таблиц:

3. Табличный способ. Для некоторых значений переменной x указываются соответствующие значения переменной y. Примерами такого способа заданий являются таблицы значений тригонометрических функ-ций, таблицы, представляющие собой зависимость между измеряемыми величинами и др.

х	х1	х2	x3	…	xn
у	у1	у2	у3	…	уn

Для работы на ЭВМ функцию задают алгоритмическим способом.