![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Введение в анализ функций одной переменной Лекция № 13. Тема 1 : Функции
- •1.1. Определение функции
- •1.2. Способы задания функции
- •1.3. Элементарные функции
- •Лекция № 14. Тема 2 : Пределы
- •2.1. Предел последовательности и переменной величины
- •2.2. Предел функции
- •Лекция № 15
- •2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •2.4. Теорема о пределе функции
- •2.5. Основные теоремы о пределах
- •2.6. Раскрытие неопределённостей
- •Лекция № 16
- •2.7. Первый стандартный предел
- •2.8. Число е.
- •2.9. Второй стандартный предел
- •2.10. Сравнение б.М.В.
- •Лекция № 17. Тема 3 : Непрерывность
- •3.1. Определение непрерывной функции
- •3.2. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •3.3. Классификация точек разрыва функции
- •3.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке
3.2. Основные теоремы о непрерывных функциях.
Непрерывность элементарных функций
Используя теоремы 13 о пределах функции (п.2.5), можно доказать следующие теоремы:
Теорема 1. Сумма конечного числа непрерывных функций является непрерывной функцией.
Пусть функции
непрерывны в точкех0
и
.
Тогда имеем
ч.т.д.
Теорема 2. Произведение конечного числа непрерывных функций является непрерывной функцией.
Доказательство аналогично.
Теорема 3. Частное двух непрерывных функций является непрерывной функцией, если знаменатель в рассматриваемой точке не равен нулю.
Доказательство аналогично.
Теорема 4.
Пусть функция
непрерывна в точкеи0,
а функция
непрерывна в точкех0
и пусть
.
Тогда сложная функция
непрерывна в точкех0.
Здесь была
использована подстановка
и условие непрерыв-ности функции
в точкех0.
В результате доказательств этих теорем и непрерывности основных элементарных функций приходим к важной обобщающей теореме:
Теорема 5. Все элементарные функции непрерывны в своей области определения.
3.3. Классификация точек разрыва функции
Определение 4.
Если в точке х0
нарушается условие непрерывности
функции
,
то функция называется разрывной в точкех0,
а точка х0
точкой
разрыва функции.
Определение 5.
Точка х0
называется точкой разрыва первого
рода, если
существуют конечные односторонние
пределы функции, не равные между собой,
т.е.
.
Схематичный вид
функции
в точке разрыва первого рода:
у
0 х0 х
Пример 2. Функции, имеющие разрывы первого рода:
;
целая часть числа х.
Определение 6.
Точка х0
называется точкой устранимого
разрыва,
если
.
В этом случае
полагают
и точках0
стано-вится точкой непрерывности.
Функция
в этой точке имеет вид
у
0 х0 х
Пример 3.
Для функции
точках0
= 0
является точкой устранимого разрыва.
Определение 7. Точка х0 называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.
Пример 4.
Покажем, что функция
в точкех0
= 1
имеет разрыв второго рода.
Пример 5.
Покажем, что функция
в точкех0
= 0
имеет разрыв второго рода.
Рассмотрим
последовательность
:
Как показано в п.2.2 последний предел не существует, т.е. имеем разрыв второго рода.
3.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке
Теоремы,описывающие эти свойства, проиллюстрируем на графиках.
Теорема 1.
Если
непрерывна на
,
то она ограничена на
,
т.е.
.
Теорема
2. Если
непрерывна на
,
то на
существуют её наибольшее и наименьшееу
значения, т.е.
М
и пишут
c
а 0 d b x
M
Теорема
3. Если
непрерывна на
и принимает на концах отрезка неравные
значения, то дляy
любого промежуточного
значения М
между этими числами существует по М
крайней мере одна
точка
,
для которой
.
0 a c b x
Следствие.
Если непрерывная на
функция
принимает на концах значения разных
знаков, тоy
существует по крайней мере одна
точка
,
в которой
.a
c
b
x
Этот факт используется для 0
нахождения корней уравнения.