3.2. Основные теоремы о непрерывных функциях.
Непрерывность элементарных функций
Используя теоремы 13 о пределах функции (п.2.5), можно доказать следующие теоремы:
Теорема 1. Сумма конечного числа непрерывных функций является непрерывной функцией.
Пусть функции
непрерывны в точке х0
и
.
Тогда имеем
ч.т.д.
Теорема 2. Произведение конечного числа непрерывных функций является непрерывной функцией.
Доказательство аналогично.
Теорема 3. Частное двух непрерывных функций является непрерывной функцией, если знаменатель в рассматриваемой точке не равен нулю.
Доказательство аналогично.
Теорема 4.
Пусть функция
непрерывна в точке и0,
а функция
непрерывна в точке х0
и пусть
.
Тогда сложная функция
непрерывна в точке х0.
Здесь была
использована подстановка
и условие непрерыв-ности функции
в точке х0.
В результате доказательств этих теорем и непрерывности основных элементарных функций приходим к важной обобщающей теореме:
Теорема 5. Все элементарные функции непрерывны в своей области определения.
3.3. Классификация точек разрыва функции
Определение 4. Если в точке х0 нарушается условие непрерывности функции , то функция называется разрывной в точке х0, а точка х0 точкой разрыва функции.
Определение 5.
Точка х0
называется точкой разрыва первого
рода, если
существуют конечные односторонние
пределы функции, не равные между собой,
т.е.
.
Схематичный вид функции в точке разрыва первого рода:
у
0 х0 х
Пример 2. Функции, имеющие разрывы первого рода:
;
целая часть числа х.
Определение 6.
Точка х0
называется точкой устранимого
разрыва,
если
.
В этом случае
полагают
и точка х0
стано-вится точкой непрерывности.
Функция
в этой точке имеет вид
у
0 х0 х
Пример 3.
Для функции
точка х0
= 0
является точкой устранимого разрыва.
Определение 7. Точка х0 называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.
Пример 4.
Покажем, что функция
в точке х0
= 1
имеет разрыв второго рода.
Пример 5.
Покажем, что функция
в точке х0
= 0
имеет разрыв второго рода.
Рассмотрим последовательность :
Как показано в п.2.2 последний предел не существует, т.е. имеем разрыв второго рода.