![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Введение в анализ функций одной переменной Лекция № 13. Тема 1 : Функции
- •1.1. Определение функции
- •1.2. Способы задания функции
- •1.3. Элементарные функции
- •Лекция № 14. Тема 2 : Пределы
- •2.1. Предел последовательности и переменной величины
- •2.2. Предел функции
- •Лекция № 15
- •2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •2.4. Теорема о пределе функции
- •2.5. Основные теоремы о пределах
- •2.6. Раскрытие неопределённостей
- •Лекция № 16
- •2.7. Первый стандартный предел
- •2.8. Число е.
- •2.9. Второй стандартный предел
- •2.10. Сравнение б.М.В.
- •Лекция № 17. Тема 3 : Непрерывность
- •3.1. Определение непрерывной функции
- •3.2. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •3.3. Классификация точек разрыва функции
- •3.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке
1.3. Элементарные функции
К основным или простейшим элементарным функциям относятся:
1. Степенная
где
.
2. Показательная
.
3. Логарифмическая
.
4. Тригонометрические:
.
5. Обратные
тригонометрические:
.
В качестве повторения постройте графики этих функций.
Применяя к этим функциям арифметические действия и операцию суперпозиции конечное число раз, будем получать новые более сложные функции, которые называются элементарными.
Например,
.
Иногда полезно использовать так называемые гиперболические функ-ции, которые также относятся к элементарным:
.
Легко непосредственно проверить следующие их свойства:
.
Можно заметить, что эти свойства напоминают свойства тригоно-метрических функций, поэтому они соответственно и называются гипер-болическими синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом.
Остальные функции относятся к так называемым неэлементарным. Примеры неэлементарных функций:
функция Дирихле;
целая часть
числа, где x
наибольшее целое число, не превосхо-дящее
x,
например,
.
Лекция № 14. Тема 2 : Пределы
2.1. Предел последовательности и переменной величины
Определение 1.
Значения функции натурального аргумента
,
где
называются последовательностью,
которая обозначается
.
Примеры последовательностей:
1.
.
2.
. 3.
.
Определение 2.
Последовательность
называетсяограниченной
сверху
(снизу),
если существует такое число M(m),
что любой элемент xn
этой последовательности удовлетворяет
неравенству
.
Если последовательность ограничена
сверху и снизу, то она называетсяограниченной.
Например, последовательность 1 является возрастающей и ограничен-ной, последовательность 2 возрастающая и ограничена снизу, а после-довательность3ограничена.
Определение 3.
Число а
называется пределом последовательности
или пределом переменной величиныxn
,
если
,
что
и пишут
или
.
Дадим геометрическое
представление предела
так как
что выглядит следующим образом
(
)
а
х
Таким образом,
если а
предел последовательности
,
то
,
чтовсееечлены,начинаяснекоторого
попадут в эту
окрестность.
Пример 1.
Покажем, что предел первой последовательности
равен 1,
т.е.
.
Зададим произвольное
и составим неравенство
,
т.е.
.
Тогда номер члена, начиная с которого
все члены последовательности попали в
окрестность
,
определится из условия
.
Например, если
,
то, начиная с номера
,
все члены последовательности удовлетворяют
неравенству или попали в окрестность
.
Определение 4.
Переменная xn
называется бесконечно большой при
,
если
,
что
и при этом пишут
или
,
если
и
или
,
если
.
Пример 2.
Покажем, что для второй последовательности
.
Зададим
и составим неравенство
.
Тогда неравенство выполняется
,
где
.
Особое внимание следует уделить замечанию:
Замечание 1.
Концептуально такие же определения и
свойства имеют место и для любой
переменной величины х.
Например, число а
называ-ется пределом переменной величины
х,
если
,
что
и пишут
или
,
т.е. последовательность пред-ставляет
собой переменную величину, значения
которой пронумерованы.
Из определения предела последовательности следуют её свойства:
1. Если переменная имеет предел, то он единственный.
2. Предел постоянной равен этой постоянной.
3. Если переменная имеет предел, то она ограничена.
4.
Не всякая переменная имеет предел
(см. последовательность 3
и задайте
).
5. Монотонная ограниченная переменная имеет предел.