1.3. Элементарные функции

К основным или простейшим элементарным функциям относятся:

1. Степенная где .

2. Показательная .

3. Логарифмическая .

4. Тригонометрические: .

5. Обратные тригонометрические: .

В качестве повторения постройте графики этих функций.

Применяя к этим функциям арифметические действия и операцию суперпозиции конечное число раз, будем получать новые более сложные функции, которые называются элементарными.

Например, .

Иногда полезно использовать так называемые гиперболические функ-ции, которые также относятся к элементарным:

.

Легко непосредственно проверить следующие их свойства:

.

Можно заметить, что эти свойства напоминают свойства тригоно-метрических функций, поэтому они соответственно и называются гипер-болическими синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом.

Остальные функции относятся к так называемым неэлементарным. Примеры неэлементарных функций:

 функция Дирихле;

 целая часть числа, где x  наибольшее целое число, не превосхо-дящее x, например, .

Лекция № 14. Тема 2 : Пределы

2.1. Предел последовательности и переменной величины

Определение 1. Значения функции натурального аргумента , где называются последовательностью, которая обозначается

.

Примеры последовательностей:

1. .

2. . 3. .

Определение 2. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M(m), что любой элемент x_n этой последовательности удовлетворяет неравенству . Если последовательность ограничена сверху и снизу, то она называется ограниченной.

Например, последовательность 1 является возрастающей и ограничен-ной, последовательность 2 возрастающая и ограничена снизу, а после-довательность 3 ограничена.

Определение 3. Число а называется пределом последовательности или пределом переменной величины x_n , если , что и пишут

или .

Дадим геометрическое представление предела  так как что выглядит следующим образом

( )

а х

Таким образом, если а предел последовательности , то , что все ее члены, начиная с некоторого попадут в эту окрестность.

Пример 1. Покажем, что предел первой последовательности равен 1, т.е. .

Зададим произвольное и составим неравенство , т.е. . Тогда номер члена, начиная с которого все члены последовательности попали в окрестность , определится из условия . Например, если , то, начиная с номера , все члены последовательности удовлетворяют неравенству или попали в окрестность .

Определение 4. Переменная x_n называется бесконечно большой при , если , что и при этом пишут

или , если и

или , если .

Пример 2. Покажем, что для второй последовательности .

Зададим и составим неравенство . Тогда неравенство выполняется , где .

Особое внимание следует уделить замечанию:

Замечание 1. Концептуально такие же определения и свойства имеют место и для любой переменной величины х. Например, число а называ-ется пределом переменной величины х, если , что и пишут или , т.е. последовательность пред-ставляет собой переменную величину, значения которой пронумерованы.

Из определения предела последовательности следуют её свойства:

1. Если переменная имеет предел, то он единственный.

2. Предел постоянной равен этой постоянной.

3. Если переменная имеет предел, то она ограничена.

4. Не всякая переменная имеет предел (см. последовательность 3 и задайте ).

5. Монотонная ограниченная переменная имеет предел.