- •Введение в анализ функций одной переменной Лекция № 13. Тема 1 : Функции
- •1.1. Определение функции
- •1.2. Способы задания функции
- •1.3. Элементарные функции
- •Лекция № 14. Тема 2 : Пределы
- •2.1. Предел последовательности и переменной величины
- •2.2. Предел функции
- •Лекция № 15
- •2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •2.4. Теорема о пределе функции
- •2.5. Основные теоремы о пределах
- •2.6. Раскрытие неопределённостей
- •Лекция № 16
- •2.7. Первый стандартный предел
- •2.8. Число е.
- •2.9. Второй стандартный предел
- •2.10. Сравнение б.М.В.
- •Лекция № 17. Тема 3 : Непрерывность
- •3.1. Определение непрерывной функции
- •3.2. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •3.3. Классификация точек разрыва функции
- •3.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке
2.8. Число е.
Рассмотрим последовательность . Покажем, что данная последовательность имеет предел.
Воспользуемся формулой бинома Ньютона, полагая .
Из этой формулы следует, что , так как все слагаемые суммы положительные. Покажем, что эта последовательность ограничена.
Таким образом, для получаем неравенство. Итак, последовательность возрастает и ограничена сверху, отсюда, по свойству5 последовательностей (п. 2.1), она имеет предел
,
где е иррациональное число .
2.9. Второй стандартный предел
Теорема. . (2)
Если , то формула (2) уже доказана. Если, то его значение заключено между двумя положительными целыми числами
. (3)
Тогда будет выполняться
.
С учетом условия (3), получаем
. (4)
Если и тогда
Аналогично
Переходя в формуле (4) к пределу при , и учитывая теорему4 (п.2.5), получаем второй стандартный предел (2).
Замечание 2. Пусть , тогда, с учётом новой переменной, получим
Таким образом, .
Схематично график функцииизображен на рисунке.
у
е
1
1 0 х
Замечание 3. Если ввести новую переменную при, тогда
Пример 3. .
Пример 4. .
Пример 5.
.
2.10. Сравнение б.М.В.
Пусть и б.м.в. при .
Определение 1. Если , тоназывается б.м.в.более высокого порядка, чем прии пишут.
Пример 6. Пусть , тогда приполучаем
.
Определение 2. Если , тоиназываются б.м.в.одного порядка.
Пример 7. Пусть , тогда приполучаем
и б.м.в. одного порядка.
Определение 3. Если , тоиназываютсяэкви-валентными б.м.в. и обозначаются при.
Из ранее рассмотренных пределов следует таблица эквивалентных б.м.в. при :
; ;;
; ;,
где последнее соотношение следует из бинома Ньютона, но оно справед-ливо и для
Легко показать, что предел отношения б.м.в. не изменится при замене их эквивалентными б.м.в., что используется при вычислении пределов.
Пример 8.
Пример 9.
Лекция № 17. Тема 3 : Непрерывность
3.1. Определение непрерывной функции
Пустьопределена в некоторой. Близкая к ней другая точка из этой окрестности может быть представлена в виде , гденазываетсяприращением аргумента. у
Разность
называется приращением функции в
точке х0.
Определение 1. Функция назы-
вается непрерывной в точке х0, если
она определена в точке х0 и в некоторой х0 х
её окрестности и
. (1)
Преобразуем равенство (1)
откуда следует
. (2)
Так как , то тогда формула (2) прини-мает вид
. (3)
Формула (3) является вторым эквивалентным определением непре-рывности функции в точкех0, которое можно сформулировать следующим образом :
Определение 2. Функция называется непрерывной в точкех0, если она определена в этой точке и некоторой её окрестности, имеет предел при и этот предел равен значению функции в этой точке.
Определение 3. Функция , непрерывная во всех точках некоторого промежутка называется непрерывной на этом промежутке.
Пример 1. Доказать, что функция непрерывна в своей области определения.
Имеем , где. Тогда получим
Замечание 1. Аналогично можно доказать, что все основные элемен-тарные функции непрерывны в области своего определения.