- •Введение в анализ функций одной переменной Лекция № 13. Тема 1 : Функции
- •1.1. Определение функции
- •1.2. Способы задания функции
- •1.3. Элементарные функции
- •Лекция № 14. Тема 2 : Пределы
- •2.1. Предел последовательности и переменной величины
- •2.2. Предел функции
- •Лекция № 15
- •2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •2.4. Теорема о пределе функции
- •2.5. Основные теоремы о пределах
- •2.6. Раскрытие неопределённостей
- •Лекция № 16
- •2.7. Первый стандартный предел
- •2.8. Число е.
- •2.9. Второй стандартный предел
- •2.10. Сравнение б.М.В.
- •Лекция № 17. Тема 3 : Непрерывность
- •3.1. Определение непрерывной функции
- •3.2. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •3.3. Классификация точек разрыва функции
- •3.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке
2.2. Предел функции
Пусть функция определена в некоторой окрестности, за исключением, быть может, самой точки.
Определение 5. Число А называется пределом функции в точке, если, чтои при этом пишут. у
Геометрически это представля-
ется следующим образом: ,
что .А
Упрощенно это определение
можно представить так:
Число А называется пределом х
функции прих, стремящимся а
к числу а, если точка приближается к числуА, когда точка х приближается к а.
Пример 3. Покажем, что для функции .
Зададим произвольное и определим. Запишем неравенство
.
Существенным понятием, особенно при нахождении пределов функции, являются односторонние пределы.
Определение 6. Число А называется правым (левым) пределом функ-
ции в точке, если, чтои при этом пишут
.
Связь между односторонними пределами и пределом функции уста-навливает следующая теорема.
Теорема. Если функция в точкеимеет предел, то. Верно и обратное.
Из таких же соображений определяется и предел функции при .
Определение 7. Число А называется пределом функции при, если, чтовыполняется неравенствои при этом пишуту
, если и
, если .А
Геометрически это выглядит
следующим образом: О М х
что будет.
Пример 4. Покажем, что для функции .
Зададим и определимМ. Запишем неравенство
.
Замечание 2. Иногда удобно использовать другое, эквивалентное опре-деление предела функции:
Число А называется пределом функции в точке, если.
Лекция № 15
2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
Определение 1. Функция называется бесконечно малой величиной (б.м.в.) при , если.
Напомним это определение: , что
.
Определение 2. Функция называется бесконечно большой величиной (б.б.в.) при , если, чтои при этом пишут.
Пример 1. Покажем, что для функции
Зададим . Получим неравенство
т.е. в этой окрестности точки значения функции по модулю будут больше заданного числаМ.
Замечание 1. При определении б.м.в. и б.б.в. следует обратить внимание на фразу “при “, так, например, функцияявляется б.м.в. прии б.б.в. при, что видно, в частности, из графика этой функции.
Замечание 2. Все б.б.в. являются неограниченными функциями. Обрат-ное, вообще говоря, неверно, что видно из примера.
Пример 2. Очевидно, функция является неограниченной при, но она не является б.б.в. Например, для последовательности,
Замечание 3. Б.м.в. принято обозначать:
Б.м.в. и б.б.в. обладают следующими свойствами:
1. Сумма конечного числа б.м.в. есть б.м.в..
Не нарушая общности, рассмотрим случай двух б.м.в. Зададим для суммы . Тогда в силу определения б.м.в. одновременно выполняется
и , т.е. сумма б.м.в.
2. Произведение ограниченной функции на б.м.в. есть б.м.в.
Доказывается аналогично с учетом, что , где.
3. Если б.м.в. при , то б.б.в. при . Верно и обратное.
Пусть б.м.в. Это означает, что . Тогда, т.е. б.б.в. Аналогично доказывается и обратное утверждение.