- •Дифференциальное исчисление Лекция № 18. Тема 4 : Производная и дифференциал
- •4.1. Производная функции
- •4.2. Производные основных элементарных функций
- •4.3. Механический смысл производной
- •4.4. Геометрический смысл производной
- •4.5. Правила дифференцирования
- •4.6. Производная сложной функции
- •Лекция № 19.
- •4.7. Производная обратной функции
- •4.8. Производная функции, заданной параметрическими уравнениями
- •4.12. Дифференциал функции
- •5.2. Теорема Лагранжа
- •5.4. Формула Тейлора
- •Лекция № 21. Тема 6 : Исследование поведения функций
- •6.1. Возрастание и убывание функций
- •6.2. Экстремум функции. Необходимое условие
- •6.3. Достаточные условия экстремума
- •6.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •Лекция № 22.
- •6.5. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба
- •6.6. Асимптоты линий
- •6.7. Общий план исследования функций и построение графиков
- •Лекция № 23.
- •6.8*. Кривизна кривой
- •С о д е р ж а н и е
Лекция № 23.
Пример 1. Исследовать и построить график функции .
1. .
2. Функция общего вида.
3.
4. Функция, как элементарная, непрерывна всюду, кроме .
Вычислим односторонние пределы:
.
Таким образом, точка является точкой разрыва второго рода.
5. Вычислим производную
.
Находим критические точки: .
Построим таблицу
-
х
0
1
+
0
0
+
у
0
6. Вычислим вторую производную
.
Находим точки, в которых вторая производная обращается в нуль: , и построим таблицу
-
х
0
1
+
0
0
+
у
перегиб
0
7. Находим асимптоты:
вертикальная асимптота: ;
наклонная асимптота:
8. На основании полученных результатов строим график функции. Это более удобно начинать с построения характерных точек (точки пересечения с координатными осями, точки экстремума, перегиба) и асимптот.
у
О 1 х
6.8*. Кривизна кривой
Напомним, что знак второй производной на некотором интервале определяет выпуклость или вогнутость графика функции на этом интер-вале. В то же время, одни функции более выпуклы (вогнуты), чем другие. Введём понятие, которое характеризует это явление.
Определение 1. Кривизною функции в точкех называется предел
.
y
N
R(x)
М
О x х
Если воспользоваться таблицей эквивалентных б.м.в., формулой для нахождения угла между двумя прямыми и геометрическим смыслом производной, то для вычисления средней кривизны, получим
.
Преобразуем это выражение, воспользовавшись теоремой Лагранжа
.
Переходя к пределу при и учитывая, что при этом , а и, получаем формулу для вычисления кривизны
. (1)
Для случая, когда линия задана параметрическими уравнениями с учетом того, что производные
,
из формулы (1) получим
. (2)
Определение 2. Величина, обратная кривизне, называется радиусом кривизны: .
Определение 3. Если в сторону вогнутости кривой по направлению нормали отложить отрезок MN, равный радиусу R(x) кривизны линии, то точка N называется центром кривизны в данной точке.
Пример 2. Найти кривизну и радиус кривизны прямой линии .
Так как .
Пример 3. Найти кривизну и радиус кривизны окружности
Воспользуемся формулой (2)
Пример 4. Найти кривизну и радиус кривизны параболы .
Воспользуемся формулой (1)
.
Отметим, что наибольшее значение кривизна принимает в вершине параболы.
Определение 4. Множество точек – центров кривизны для данной линии называется эволютой этой линии, а сама линия для своей эволюты – эвольвентой.
Например, для параболы, рассмотренной в предыдущем примере, эволюта имеет следующий вид:
у
эволюта
1 (эвольвента)
О 1х