Лекция № 20.
Тема 5 : Основные теоремы о дифференцируемых функциях
5.1. Теорема Ролля
Теорема.
Если функция
непрерывна на
,
дифференцируема на
и
,
то существует такая точка
,
что
Если
.
Поэтому будем
считать, что
и в силу непрерывности функции
она достигает на
своего наибольшего и наименьшего
значений. При этом, так как
,
то хотя бы одно из них дости-гается
внутри промежутка
.
Пусть это
.
Покажем, что
(теорема Ферма). При
имеем
.
А
налогично,
при
В силу дифференцируемости имеем у
.
Замечание 1. Теорема имеет
простой геометрический смысл:
существует точка
,
в которой
х
касательная к кривой а b
параллельна оси Ох.
5.2. Теорема Лагранжа
Теорема. Если функция непрерывна на , дифференци-руема на , то существует такая точка , в которой
.
Составим функцию
.
Так как функция
непрерывна на
,
дифференцируема на
и
,
то по теореме Ролля существует точка
,
в которой
,
т.е.
5.3. Правило Лопиталя
Теорема.
(Раскрытие неопределённости вида
).
Пусть
и
дифференцируемы в окрестности точки
x0
и
.
Тогда, если существует
,
то существует
и
.
Запишем отношение
функций
.
К числителю и зна-менателю применим
теорему Лагранжа
,
где
.
Если перейти к
пределу при
,
тогда
Замечание 2.
Правило Лопиталя справедливо и для
случая, если
,
так как заменой
он сводится
к случаю при
Покажем это,
.
Замечание 3.
Теорема имеет место и для неопределённости
вида
.
Неопределенности
видов
и
приводятся к рассмотренным
случаям путём алгебраических преобразований.
Например, с
неопределённостью
вида
поступают
следующим
образом:
.
При неопределённостях
вида:
применяют лога-рифмирование, т.е. вместо
предела функции
рассматривается предел
.
Замечание 4. Требование существования предела в правиле Лопиталя существенно. Так, например, правило Лопиталя нельзя применить к пределу
,
так как не существует
.
В тоже время
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
Пример 4.
5.4. Формула Тейлора
Для функции , которая имеет производные до (п + 1)го порядка включительно в некоторой окрестности точки х0, найдём многочлен сте-пени п, который удовлетворяет следующим условиям:
.
(1)
Будем его искать в виде
.
(2)
Определим из
условий (1) коэффициенты
в выра-жении (2), дифференцируя его и
подставляя значение
.
.
И тогда получим
.
(3)
Естественно
ожидать, что многочлен (3) в окрестности
точки х0
мало отличается от функции
.
Обозначим разность
,
которая называется остаточным
членом.
Остаточный член в форме Лагранжа имеет вид
где
.
Если остаточный
член мал, то имеем приближенную формулу
.
Пример 5.
Составить формулу Тейлора для функции
в окрест-ности точки
и вычислить с точностью
значение
.
Учитывая, что
и
получим
.
Положим в этой формуле
,
где
.
Из оценки остаточного члена определим
п,
т.е. решим неравенство
и тогда окончательно получим
