6.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Пусть задана непрерывная на функция . Она достигает своих наибольшего и наименьшего значений либо во внутренних крити-ческих точках либо на концах отрезка . Отсюда следует

Правило. Для того, чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение на необходимо:

1. Найти критические точки, принадлежащие данному отрезку ;

2. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка ;

3. Выбрать из полученных значений наибольшее и наименьшее.

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке .

Находим критические точки

.

Вычисляем значения функции в критической точке х = 1 и на кон-цах рассматриваемого отрезка :

П ример 4.* Из круглого бревна, диаметр которого равен d, требуется вырезать балку прямоугольного поперечного сечения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление на изгиб, если сопротивление на изгиб вычисляется по формуле , где k  упругая постоянная, a  ширина, h  высота сечения балки. а

Обозначим .

Тогда и

h

Покажем, что это точка максимума,

воспользовавшись вторым достаточным

условием экстремума

Лекция № 22.

6.5. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба

Определение 1. Линия называется выпуклой (вогнутой) на , если все точки линии, кроме точки касания, лежат ниже (выше) любой её касательной на этом интервале. Точка, отделяющая выпуклую часть графика от вогнутой, называется точкой перегиба.

y

О а х₀ b x

Здесь на интервале функция выпукла, на интервале функция вогнута, х₀  точка перегиба.

Для определения интервалов выпуклости (вогнутости) используется условие их существования.

Теорема 1. Если для , то на этом интервале линия выпукла (вогнута).

Пусть . Уравнение касательной, проведённой в точке , имеет вид , а уравнение линии . Рассмотрим разность

. (1)

К первым двум членам правой части выражения (1) применим теорему Лагранжа и рассмотрим случай

.

Ещё раз воспользуемся теоремой Лагранжа

.

В этом случае , а это означает, что на интервале линия выпукла.

Аналогично теорема доказывается и для случая .

Точно также можно доказать условие вогнутости.

Из определения точки перегиба следует:

Необходимое условие точки перегиба. Если х₀  точка перегиба функ-ции , то в этой точке либо не существует.

С учетом теоремы об условиях выпуклости (вогнутости) получаем

Достаточное условие точки перегиба. Если или не существует и при переходе через эту точку меняет знак, то точка х₀ является точкой перегиба.

Пример 1. Найти интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба функции .

Вычислим производные: не принадлежит области определения функции. Построим таблицу

х		1
	+	0	
у		перегиб

Здесь на интервале функция вогнута, на интервале функция выпукла, х₀ = 1  точка перегиба.