Лекция № 21. Тема 6 : Исследование поведения функций

6.1. Возрастание и убывание функций

Теорема. Если дифференцируемая на функция возрастает (убывает), то выполняется . Верно и обратное.

Пусть Тогда отношение

Переходя к пределу, получаем

Аналогично доказывается случай

Докажем обратное утверждение. Пусть , а . По теореме Лагранжа имеем

.

Отсюда, с учётом знака правой части, имеем

Аналогично доказывается случай

Замечание 1. В некоторых точках может быть , так как производная является пределом.

Пример 1. Найти интервалы возрастания и убывания функции

Находим производную заданной функции

Знаки производной определим методом интервалов:

 +  +

1 0 1 х

Тогда имеем

6.2. Экстремум функции. Необходимое условие

Определение 1. Точка х₀ называется точкой максимума (минимума) функции , если в некоторой окрестности этой точки выполняется .

Определение 2. Точки максимума и точки минимума называются точками экстремума функции , а соответствующие значения функции – экстремальными значениями.

З амечание 2. Не следует, вообще говоря, считать, что максимум и минимум функции являются соответственно её наибольшим и наимень-шим значениями.

y

0 а х₁ х₂ х₃ b x

Здесь х₁, х₃  точки минимума, х₂  точка максимума функции , а

Из теоремы Ролля следует необходимое условие существования экстремума функции:

Если функция дифференцируемая и имеет экстремум в точке х₀, то в этой точке

Как обстоит дело в точках, где производная не существует? Например, очевидно, что функция имеет минимум при , где она не дифференцируемая.

Таким образом, окончательно можем сформулировать

Необходимое условие экстремума. Если непрерывная функция имеет в точке х₀ экстремум, то в этой точке либо не существует.

Определение 3. Точки, в которых называются стационар-ными. Стационарные точки и точки, в которых производная не сущест-вует, называются критическими.

Замечание 3. Очевидно, что не всякая критическая точка является точкой экстремума. Например,  критическая точка, которая не является точкой экстремума (см. график функции ).

Как выделить из критических точек точки экстремума? Для этого существуют достаточные условия экстремума.

6.3. Достаточные условия экстремума

Так как точка максимума разделяет интервалы возрастания и убывания, а точка минимума  убывания и возрастания, то получаем

Первое достаточное условие экстремума. Если при переходе через критическую точку слева направо производная меняет знак с плюса на минус, то это точка Если – с минуса на плюс, то это точка

Второе достаточное условие экстремума. Пусть точка х₀ является стационарной точкой функции , которая имеет непрерывную произ-водную второго порядка в окрестности этой точки. Тогда, если , то точка х₀ – точка если , то 

Действительно, запишем для функции формулу Тейлора при в окрестности точки х₀:

Так как точка х₀ является стационарной точкой функции , то и из формулы Тейлора следует

Отсюда в силу непрерывности имеем:

1. Если

2. Если

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию .

Найдём производную данной функции

,

из которой определим критические точки: .

Построим таблицу

х		1		2		3
			+	0			+
у		0				0

Итак, функция имеет экстремум (максимум), равный в точке и два экстремума (минимума), равных 0, в точках Или сокращенно: