4.5. Правила дифференцирования
Пусть функции U и V дифференцируемые.
1.
Если
.
2.
.
3.
.
4.
.
Докажем последнее правило
.
Пример 5.
Найти производные функций
и
.
Аналогично,
,
т.е. доказаны формулы (8-9) таблицы производных.
4.6. Производная сложной функции
Пусть дана сложная
функция
,
т.е.
Теорема 2.
Если функция
имеет в точке x
производную
,
а функция
в соответствующей точке и
также имеет производную
,
то сложная функция
в точке х
имеет производную, которая равна
.
По условию теоремы
существует
.
По теореме о пре-деле функции из
существования этого предела следует
,
где
или
.
(3)
Разделим выражение (3) на
.
(4)
Переходя к пределу
в формуле (4) при
,
а тогда в силу непрерывности и
,
получим
. (5)
Замечание 3. Формулу (5) можно обобщить для любого числа суперпозиций функций. Например, если
.
Пример 7.
Найти
,
если
.
.
Пример 8.
Найти
,
если
Представим
и по правилу дифференцирования сложной
функции получим
,
т.е. доказана и первая формула из таблицы производных.
Лекция № 19.
4.7. Производная обратной функции
Теорема.
Пусть функция
монотонна в некоторой окрестности точки
х
и
,
тогда обратная функция
также имеет производную в соответствующей
точке х,
которая определяется по формуле
.
(1)
Действительно, в
силу монотонности функции
для приращения
и тогда
.
(2)
Если
,
то в силу непрерывности
,
и, переходя к пределу в выражении
(2), получаем формулу (1).
Пример 1.
Найти
,
если
.
Обратная к этой
функции есть функция
и тогда по формуле (1) получаем
.
Для функции
имеем
.
Аналогично можно доказать формулы (10-11) таблицы производных.
4.8. Производная функции, заданной параметрическими уравнениями
Пусть функция
задана параметрическими уравнениями
тогда справедлива следующая
Теорема.
Если функции
являются дифференцируемы-ми в
соответствующей точке, то
.
Пусть функция
имеет обратную функцию
,
тогда функция
является сложной функцией и по правилу
дифференцирования сложной функции
(4.6) получаем
.
Если воспользоваться формулой (1), то
имеем
.
Пример 2.
Составить уравнение касательной к линии
при
,
т.е. в точке
.
Имеем
,
тогда уравнение касательной
.
4.9. Производная функции, заданной неявно
Пусть функция задана неявно
(3)
Продифференцируем
выражение (3) по аргументу х
с учётом, что
и разрешим полученное соотношение
относительно
.
Покажем эту процедуру на конкретном
примере.
Пример 3.
Найти
,
если
.
.
4.10. Производная степенно-показательной функции
Определение 1.
Функция вида
называется степенно-показательной.
Прологарифмируем эту функцию
.
(4)
Дифференцируя обе части выражения (4), получим
или
(5)
Рассмотренная операция называется логарифмическим дифференциро-ванием. Формулу (5) можно удобно запомнить как сумму производных от показательной и степенной функций.
Пример 4.
Найти
,
если
.
Прологарифмируем
.
Дифференцируя полученное равенство, окончательно имеем
