6.3. Достаточные условия экстремума

Так как точка максимума разделяет интервалы возрастания и убывания, а точка минимума  убывания и возрастания, то получаем

Первое достаточное условие экстремума. Если при переходе через критическую точку слева направо производная меняет знак с плюса на минус, то это точка Если – с минуса на плюс, то это точка

Второе достаточное условие экстремума. Пусть точка х₀ является стационарной точкой функции , которая имеет непрерывную произ-водную второго порядка в окрестности этой точки. Тогда, если, то точках₀ – точка если , то

Действительно, запишем для функции формулу Тейлора прив окрестности точких₀:

Так как точка х₀ является стационарной точкой функции , тои из формулы Тейлора следует

Отсюда в силу непрерывности имеем:

1. Если

2. Если

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию .

Найдём производную данной функции

,

из которой определим критические точки: .

Построим таблицу

х		1		2		3
			+	0			+
у		0				0

Итак, функция имеет экстремум (максимум), равныйв точкеи два экстремума (минимума), равных0, в точках Или сокращенно:

6.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Пусть задана непрерывная на функция. Она достигает своих наибольшего и наименьшего значений либо во внутренних крити-ческих точках либо на концах отрезка . Отсюда следует

Правило. Для того, чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение на необходимо:

1. Найти критические точки, принадлежащие данному отрезку ;

2. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка;

3. Выбрать из полученных значений наибольшее и наименьшее.

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке .

Находим критические точки

.

Вычисляем значения функции в критической точке х = 1 и на кон-цах рассматриваемого отрезка :

Пример 4.* Из круглого бревна, диаметр которого равен d, требуется вырезать балку прямоугольного поперечного сечения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление на изгиб, если сопротивление на изгиб вычисляется по формуле , гдеk  упругая постоянная, a  ширина, h  высота сечения балки. а

Обозначим .

Тогда и

h

Покажем, что это точка максимума,

воспользовавшись вторым достаточным

условием экстремума

Лекция № 22.

6.5. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба

Определение 1. Линия называется выпуклой (вогнутой) на, если все точки линии, кроме точки касания, лежат ниже (выше) любой её касательной на этом интервале. Точка, отделяющая выпуклую часть графика от вогнутой, называется точкой перегиба.

y

О а х₀ b x

Здесь на интервале функциявыпукла, на интервалефункциявогнута,х₀  точка перегиба.

Для определения интервалов выпуклости (вогнутости) используется условие их существования.

Теорема 1. Если для , то на этом интервале линия выпукла (вогнута).

Пусть . Уравнение касательной, проведённой в точке, имеет вид, а уравнение линии. Рассмотрим разность

. (1)

К первым двум членам правой части выражения (1) применим теорему Лагранжа и рассмотрим случай

.

Ещё раз воспользуемся теоремой Лагранжа

.

В этом случае , а это означает, что на интервалелиниявыпукла.

Аналогично теорема доказывается и для случая .

Точно также можно доказать условие вогнутости.

Из определения точки перегиба следует:

Необходимое условие точки перегиба. Если х₀  точка перегиба функ-ции , то в этой точкелибо не существует.

С учетом теоремы об условиях выпуклости (вогнутости) получаем

Достаточное условие точки перегиба. Если или не существует и при переходе через эту точкуменяет знак, то точках₀ является точкой перегиба.

Пример 1. Найти интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба функции .

Вычислим производные: не принадлежит области определения функции. Построим таблицу

х		1
	+	0	
у		перегиб

Здесь на интервале функциявогнута, на интервалефункциявыпукла,х₀ = 1  точка перегиба.