4.11. Производные высших порядков

Если функция дифференцируема, то функция называется производной первого порядка и может также быть дифференцируемой функцией, тогда производная от этой функции называется второй производной от функции и обозначается

или .

Вообще производной порядка п от функции называется первая производная от производной (п  1)-го порядка и обозначается

или .

Пример 5. Найти п-ю производную от функции .

.

Пусть функция задана параметрическими уравнениями

Тогда, как известно,

.

Таким образом, в этом случае можно для нахождения использовать следующие формулы:

. (6)

. (7)

Формулу (6) удобно использовать, если перед этим уже найдена .

Пример 6. Найти циклоиды

По формуле (7) получаем

.

Нахождение второй производной функции, заданной неявно, рассмот-рим на примере

Пример 7. Найти , если .

Продифференцируем это уравнение

.

Продифференцируем найденную первую производную ещё раз

.

С учётом выражения для и самой функции окончательно получим

.

Замечание 1. Аналогично можно находить производные высших поряд-ков от функций, заданных неявно или параметрическими уравнениями.

Замечание 2. Как и для производной первого порядка, можно рас-смотреть механический смысл второй производной, а именно, если  путь, пройденный материальной точкой, то ускорение .

4.12. Дифференциал функции

Пусть функция имеет в точке х производную, т.е. существует

.

Тогда по теореме о пределе функции

,

где при или

. (8)

Второе слагаемое в формуле (8) является б.м.в. более высокого порядка, чем . Первое слагаемое называется главной или линейной частью приращения функции.

Определение 2. Главная часть приращения называется дифферен-циалом функции и обозначается

. (9)

Тогда формула (8) примет вид

.

В частности, для функции , т.е. для аргу-мента и поэтому окончательно формула (9) принимает вид

.

И з рисунка следует геомет- у

рический смысл дифференциала.

х

Таким образом, дифференциал функции – это приращение ординаты точки, лежащей на касательной.

Отметим основные свойства дифференциала, которые следуют из соответствующих правил дифференцирования:

1.

2.

3.

Найдём выражение для дифференциала сложной функции . Тогда или .

Таким образом, форма дифференциала не зависит от того, является ли аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргу-мента. Это свойство первого дифференциала называется инвариантностью.

Замечание 3. Из обозначения производной следует, что производную можно рассматривать как отношение дифференциалов.