Лекция № 71

1.4. Предел и непрерывность функции комплексной переменной

Пусть дана последовательность комплексных чисел ,

где .

Определение 1. Число называется пределом такой после-довательности, если, чтои при этом пишутили.

Геометрическиэтоозначает, чтовсечлены с номерами попали в -окрестность точки. Очевидна

Теорема. Если , то . Верно и обратное.

Пример 1. Найти предел

Определение 2. Переменная или, если, что.

Из этого определения следует, что выполняется условие

Определение 3. Комплексное число называется пределом функциикомплексной переменнойпри, если, что как только, тои пишут

Из этого определения следует, что существуют пределы

и

Определение 4. Комплексное число называется пределом функциикомплексной переменнойпри, если, что как только, тои пишут

Замечание 1. Для функции комплексной переменной справедливы такие же теоремы о пределах, как и для функции действительной переменной.

Определение 5. Функция называется непрерывной в точке, если она определена в некоторой окрестности этой точки и

.

Тема 2 : Ряды с комплексными членами

2.1. Числовые ряды

Рассмотрим ряд, члены которого являются комплексными числами

, (1)

где .

Аналогично, как и для числовых рядов с действительными членами, определяются:

Сумма ряда , где частичная сумма.

Остаток ряда . Если ряд сходится, то .

Абсолютная сходимость ряда, т.е. .

Очевидно, если ряд сходится, тогда сходятся и ряды , . Верно и обратное утверждение.

Это позволяет исследовать сходимость рядов (1), основываясь на сходимости числовых рядов с действительными членами. Поэтому не-обходимый и достаточные признаки для рядов (1) остаются такими же, как и для рядов с действительными членами.

2.2. Степенные ряды

Определение 6. Степенным рядом называется ряд вида

, (2)

где  комплексные числа, а z  комплексная переменная.

Определение 7. Суммой ряда (2) называется

В дальнейшем будем рассматривать степенные ряды вида , что достигается с помощью замены. Для степенных рядов также справедлива теорема Абеля, которая доказывается аналогично.

Теорема. Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится абсолютно во всех точках z, удовлетворяющих условию .

Если степенной ряд расходится в точке , то он расходится во всех точках z, удовлетворяющих условию .

Из теоремы Абеля следует, что существует для которого внутри кругаряд сходится, а вне – расходится. Областьназываетсякругом сходимости степенного ряда.

Пример 2. Найти круг сходимости ряда .

2.3. Основные элементарные функции комплексной переменной

Элементарные функции комплексной переменной определяются как суммы тех степенных рядов, в которые разлагались эти функции, когда переменная z была бы действительной переменной x. Полученные таким образом функции называются аналитическим продолжением.

1. Экспонента .

.

Её свойства аналогичны свойствам функции действительного аргу-мента. Кроме того, она является периодической с периодом , так как

.

2. Тригонометрические функции

Для этих функций остаются те же свойства и формулы, что и для функций действительного аргумента.

Аналогично можно доказать и формулу Эйлера для комплексного аргумента . В частности, как уже было доказано ранее,, гдеx  действительное. Тогда , из чего следует

Например, докажем известную формулу из тригонометрии

3. Гиперболические функции.

Аналогично, как и для формулы Эйлера можно доказать формулы

из которых следуют свойства гиперболических функций и их связь с три-гонометрическими функциями:

Замечание 2. Аналогично определяются тригонометрические и гипер-болические тангенсы и котангенсы:

4. Логарифмическая функция.

Рассмотрим уравнение . Всякое значение корня этого уравнения (логарифм z) обозначается .

При этом, в силу периодичности эта функция многозначная. Пусть , а, тогда

или

и окончательно получаем

В области справедливо соотношение главное значение логарифма. Тогда

.

Пример 3.

5. Степенная функция . Если a  действительное иррациональ-ное или комплексное число, то функция имеет бесконечное число значений, а длярациональных показателей степени a  конечное число значений.

По определению .

Главное значение .

Пример 4.

6. Показательная функция .

Аналогично , а главное значение.

Пример 5. Найти главное значение выражения