II Многочлени з дійсними коефіцієнтами

Нехай комплексне число є коренем многочлена з дійсними коефіцієнтами, тобто й , . Розглянемо число й згадаємо, що операція “сполучення” перестановочна з будь-якою арифметичною операцією. Тоді:

Отже, справедлива теорема.

Теорема 4. Якщо комплексне число є коренем многочлена з дійсними коефіцієнтами, то й сполучене йому число є коренем цього многочлена (причому, з тією же кратністю).

Із цієї теореми можна одержати ряд наслідків.

1. У многочлена з дійсними коефіцієнтами число комплексних коренів –парне.

2. Многочлен непарної степені (з дійсними коефіцієнтами) має, принаймні, один дійсний корінь.

3. У розкладанні (2) перемножимо дужки, що відповідають комплексним сполученим кореням:

,

де , . Таким чином, одержимо основний результат:

усякий многочлен з дійсними коефіцієнтами можна розкласти в добуток множників двох типів: лінійних – і квадратичних – , де – дійсні числа, причому . Лінійні множники відповідають дійсним корінням, квадратичні – парам комплексних сполучених.

Список рекомендованої літератури

1. Ильин В.А., Позняк Э.К. Основы математического анализа, ч. I. – М.: «Наука», 1982. – с. 616.

2. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анали-зу. – М.: «Наука», 1966. – с. 544.

3. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). – М.: «Высш. школа», 1983. – с. 175.

4. Методические указания и задания к расчетно-графической работе по разделу курса высшей математики «Пределы, непрерывность, производная» (для студентов направления подготовки 6.050102 «Программная инженерия»)/ Составитель: Скворцов А.Е.– Донецк: ДонНТУ, 2008. – с. 48

5. Герасимчук В.С., Васильченко Г.С., Кравцов В.И. Курс классической мате-

матики в примерах и задачах, ч.1. – Донецк: 2002. – 528 с.

Додатки а. Теоретичні питання до модульних контролів

1.Функції однієї змінної: означення, способи завдання, елементи поведінки,

елементарні й неелементарні.

2.Нескінченно малі й нескінченно великіі послідовності й функції: означення, властивості, еталонні, зв'язок.

3.Границя послідовності, властивості збіжних послідовностей.

4. Границя функції. Однобічні границі. Приклади.

5.Теореми про границі послідовностей і функцій.

6.Визначні границі.

7.Еквівалентні функції: означення, таблиця, приклади використання.

8.Теорема про границю монотонної послідовності. Число е.

9.Незперервні функції і їхні властивості. Точки розриву функції: означення, класифікація, приклади.

10.Похідна: означення, зміст, застосування. Приклад обчислення за означенням.

11.Похідні: однобічні, нескінченні, вищих порядків. Приклади.

12.Правила диференціювання й таблиця похідних.

13.Диференційованість і неперервність: означення, зв'язок, приклади.

14.Диференціал функції: означення, зміст, інваріантність, таблиця.

15.Теореми Ферма, Лагранжа, Коші. Правило Бернуллі-Лопиталя.

16.Умови сталості, монотонності, опуклості функції. Приклади.

17.Дослідження функції на точки екстремуму, точки перегину. Приклади

18.Асимптоти графіка функції: класифікація, приклади.

19.Найбільше й найменше значення функції на відрізку.

20.Монотонні функції: означення, основні властивості, умови.

21.Простанство : точки, множини, збіжність.

22.Функції декількох змінних: означення, частинні похідні,

диференційованість, диференціювання складної ФДЗ, повний диферен-

ціал ФДЗ, теорема про змішані похідні.

23.Лінії й поверхні рівня, похідна за напрямом й градієнт ФДЗ.

24.Вектор-функція і її похідна. Дотична до лінії в просторі.

25.Дотична площина й нормаль до поверхні.

26.Экстремумы ФДЗ.

27.Комплексні числа. Многочлени.