§3. Показникова форма комплексного числа

Згадаємо другу визначну границю

.

Звідси неважко одержати, що

,

тобто показникову функцію дійсного аргументу можна визначити як деяку границю. Природно спробувати визначити показникову функцію мнимого аргументу в такий же спосіб:

, , .

Спочатку «розберемося» зі степенею , що стоїть під знаком границі:

якщо , , , то

.

Знайдемо окремо границі модуля й аргументу числа :

.

Отже, і ми приходимо до відомої формули Ейлера:

. (*)

Звідси легко одержати показникову форму комплексного числа :

. (**)

З формул (*) і (**) одержимо вирази для косинуса й синуса дійсного аргументу:

, .

Використовуючи показникову форму, можна розглянути комплекснозначну функцію комплексної змінної:

.

Лекція 23

§4. Многочлени

I Загальні результати

Означення 1. Многочленом -ой степені називають функцію виду

,

де – змінна (загалом кажучи, комплексна), – деякі постійні числа (загалом кажучи, комплексні), причому .

Відомо, що многочлени можна ділити «стовпчиком» і справедлива теорема.

Теорема 1. Які б не були многочлени й , , найдуться многочлени й , причому , такі, що має місце рівність:

.

Стосовно чотирьох многочленів із цієї теореми застосовують звичайні терміни: ділене, дільник, частка, остача.

Говорять, що ділиться на , якщо остача .

Многочленом нульової степені природно називати будь-яке постійне число (дійсне або комплексне).

Означення 2. Число називають коренем многочлена , якщо .

Теорема 2 (Безу). Остача від ділення на біном є значення многочлена в точці .

Дійсно, тому що дільник має перший ступінь, то остача повинена бути нульової степені:

Тоді , що й було потрібно довести.

Із цієї теореми випливає важливий наслідок (який часто називають теоремою Безу).

Наслідок. Число є коренем многочлена тоді й тільки тоді, коли ділиться на , тобто

.

Помітимо, що старший коефіцієнт частки збігається зі старшим коефіцієнтом діленого .

Відповідь на питання про наявність коренів у многочлена дає основна теорема алгебри, яку приймаємо без доведення.

Теорема 3. Усякий многочлен ненульової степені має, принаймні, один корінь (дійсний або комплексний).

Із цієї теореми можна одержати ряд наслідків.

1. Усякий многочлен , можна розкласти на лінійних множ-ників

. (1)

2. Многочлен степені має не більш ніж різних коренів.

З розкладання (1) випливає що числа – корені многочлена й інших чисел, що перетворюють многочлен у нуль, немає.

3. У розкладанні (1) множники можуть повторюватися; якщо через позначити різні корені многочлена , то одержимо:

. (2)

Тут називають кратністю кореня й . Можна дати таке визначення кратності кореня: число називають -кратним коренем многочлена , якщо

и.

4. Усякий многочлен степені ( ) має рівно коренів, якщо кожний корінь рахувати стільки разів, яка його кратність.