§3. Показникова форма комплексного числа

Згадаємодругу визначну границю

.

Звідси неважко одержати, що

,

тобто показникову функцію дійсного аргументу можнавизначити як деяку границю. Природно спробувати визначити показникову функцію мнимого аргументу в такий же спосіб:

, ,.

Спочатку «розберемося» зі степенею , що стоїть під знаком границі:

якщо ,,, то

.

Знайдемо окремо границі модуля й аргументу числа :

.

Отже, і ми приходимо до відомої формули Ейлера:

. (*)

Звідси легко одержати показникову форму комплексного числа :

. (**)

З формул (*) і (**) одержимо вирази для косинуса й синуса дійсного аргументу:

, .

Використовуючи показникову форму, можна розглянути комплекснозначну функцію комплексної змінної:

.

Лекція 23

§4. Многочлени

I Загальні результати

Означення 1. Многочленом -ой степені називають функціювиду

,

де –змінна (загалом кажучи, комплексна), – деякі постійні числа (загалом кажучи, комплексні), причому.

Відомо, що многочлени можна ділити «стовпчиком» і справедлива теорема.

Теорема 1. Які б не були многочлени й,,найдуться многочлени й, причому, такі, що має місце рівність:

.

Стосовно чотирьох многочленів із цієї теореми застосовують звичайні терміни: ділене, дільник, частка, остача.

Говорять, що ділиться на, якщоостача .

Многочленом нульової степені природно називати будь-яке постійне число (дійсне або комплексне).

Означення 2. Число називають коренем многочлена, якщо.

Теорема 2 (Безу). Остача від ділення на біномє значення многочлена вточці .

Дійсно, тому що дільник має перший ступінь, тоостача повинена бути нульової степені:

Тоді , що й було потрібно довести.

Із цієї теореми випливає важливий наслідок (який часто називають теоремою Безу).

Наслідок. Число є коренем многочлена тоді й тільки тоді, колиділиться на, тобто

.

Помітимо, що старший коефіцієнт частки збігаєтьсязі старшим коефіцієнтом діленого .

Відповідь на питання про наявність коренів у многочлена дає основна теорема алгебри, яку приймаємо без доведення.

Теорема 3. Усякий многочлен ненульової степені має, принаймні, один корінь (дійсний або комплексний).

Із цієї теореми можна одержати ряд наслідків.

1. Усякий многочлен ,можна розкласти налінійних множ-ників

. (1)

2. Многочлен степені має не більш ніжрізних коренів.

З розкладання (1) випливає що числа –корені многочлена й інших чисел, щоперетворюють многочлен у нуль, немає.

3. У розкладанні (1) множники можуть повторюватися; якщо через позначити різні корені многочлена, тоодержимо:

. (2)

Тут називають кратністю кореняй. Можна дати таке визначення кратності кореня: числоназивають-кратним коренем многочлена, якщо

и.

4. Усякий многочлен степені () має рівнокоренів, якщокожний корінь рахувати стільки разів, яка його кратність.

II Многочлени з дійсними коефіцієнтами

Нехай комплексне число є коренем многочлена з дійсними коефіцієнтами, тобто й,.Розглянемо число йзгадаємо, що операція “сполучення” перестановочна з будь-якою арифметичною операцією. Тоді:

Отже, справедлива теорема.

Теорема 4. Якщо комплексне число є коренем многочлена з дійсними коефіцієнтами, то й сполучене йому число є коренем цього многочлена (причому, з тією же кратністю).

Із цієї теореми можна одержати ряд наслідків.

1. У многочлена з дійсними коефіцієнтами число комплексних коренів –парне.

2. Многочлен непарної степені (з дійсними коефіцієнтами) має, принаймні, один дійсний корінь.

3. У розкладанні (2) перемножимо дужки, що відповідають комплексним сполученим кореням:

,

де ,. Таким чином,одержимо основний результат:

усякий многочлен з дійсними коефіцієнтами можна розкласти в добуток множників двох типів: лінійних – іквадратичних – , де– дійсні числа, причому. Лінійні множники відповідають дійсним корінням, квадратичні – парам комплексних сполучених.