142

Тема Комплексні числа й многочлени

Лекція 22

§1. Комплексні числа: основні означення

Символ уводять співвідношенням і називають мнимою одиницею. Інакше кажучи,.

Означення. Вираз виду , де, називається комплексним числом, при цьому числоназивають дійсною частиною комплексного числай позначають, число– мнимою частиноюй позначають.

З такого означення випливає, що дійсні числа – це ті комплексні числа, мнима частина яких дорівнює нулю.

Комплексні числа зручно зображувати точками площини, на якій задана декартова прямокутна система координат, а саме: комплексному числу відповідаєточка й навпаки. На осізображуються дійсні числа йїї називають дійсною віссю. Комплексні числа виду називають чисто мнимими. Вони зображуютьсяточками на осі , що називають мнимою віссю. Цю площину, щослужить для зображення комплексних чисел, називають комплексною площиною. Комплексне число, що не є дійсним, тобто таке, що , іноді називаютьмнимим.

Два комплексних числа називають рівними тоді й тільки тоді, коли в них збігаються як дійсні, так і мнимі частини.

Додавання, віднімання й множення комплексних чисел провадиться за звичайними правилами алгебри многочленів з урахуванням того, що . Операціюділення можна визначити як зворотну до операції множення й довести єдність результату (якщо дільник відмінний від нуля). Однак на практиці використовується інший підхід.

Комплексні числа йназивають сполученими, на комплексній площині вони зображуютьсяточками, симетричними щодо дійсної осі. Очевидно, що:

1) ;

2) ;

3) .

Тепер розділити наможна в такий спосіб:

.

Не важко показати, що

,

де символ позначає будь-яку арифметичну операцію.

Нехай деяке комплексне число, а – дійсна змінна. Добуток двох біномів

є квадратний тричлен з дійсними коефіцієнтами.

Тепер, маючи в розпорядженні комплексні числа, ми зможемо розв‘язати будь-яке квадратне рівняння .Якщо , то

і рівняння має два комплексних сполучених корені

.

Якщо , то рівняння маєдва різних дійсних корені. Якщо , то рівняння маєдва однакових корені.

§2. Тригонометрична форма комплексного числа

Як говорилося вище, комплексне число зручно зображуватиточкою . Можна також таке число ототожнюватиз радіус-вектором цієї точки . При такій інтерпретації додавання й віднімання комплексних чиселвиконується за правилами додавання й віднімання векторів. Для множення й ділення комплексних чисел більш зручною виявляється інша форма.

Введемо на комплексній площині полярну систему координат. Тоді, де,і комплексне числоможна записати у вигляді:

.

Цю форму запису називають тригонометричною (на відміну від алгебраїчної форми ). У цій формі числоназивають модулем, а– аргументом комплексного числа. Вони позначаються:,. Для модуля маємо формулу

Аргумент числа визначений неоднозначно, а з точністю до доданку ,. Значення аргументу, що задовольняє нерівності, називаєтьсяголовним і позначається . Тоді,. Для головного значення аргументу можнаодержати такі вирази:

,

аргумент числа вважається невизначеним.

Умова рівності двох комплексних чисел у тригонометричній формі має вигляд: модулі чисел рівні, а аргументи відрізняються на число кратне .

Знайдемо добуток двох комплексних чисел у тригонометричній формі:

Отже, при множенні чисел їхні модулі множаться, а аргументи додаються.

Аналогічним способом можна встановити, що при діленні модулі чисел діляться, а аргументи віднімаються.

Розуміючи піднесення в степінь як багаторазове множення, можна одержати формулу піднесення комплексного числа в степінь:

.

Виведемо формулу для – кореня-ої степені з комплексного числа(не плутатиз арифметичним коренем з дійсного числа!). Операція добування кореня є зворотною стосовно операції піднесення в степінь. Тому – це комплексне числотаке, що.

Нехай відомо, апотрібно знайти. Тоді

.

З рівності двох комплексних чисел у тригонометричній формі випливає, що

, , .

Звідси (це арифметичний корінь!),

, .

Неважко переконатися, що може приймати лишерізних по суті значень, наприклад, при . Остаточно маємо формулу:

, .

Отже, корінь -ої степені з комплексного числа маєрізних значень. На комплексній площині ці значення розташовуються у вершинах правильного многокутникавписаного в коло радіуса із центром на початку координат. “Перший” корінь має аргумент , аргументидвох “сусідніх” коренів відрізняються на .

Приклад. Знайдемо корінь кубічний із мнимої одиниці: ,,. Тоді:

,

,

.