lim |
f (x) = lim f (x) ≠ f (x0 ) , |
x→x0 −0 |
x→x0 +0 |
то x0 – точка устранимого разрыва; если же
|
|
lim |
f (x) ≠ lim f (x) , |
|
|
|
|
x→x0 −0 |
x→x0 +0 |
|
|
то |
x0 |
– точка неустранимого разрыва первого рода. В этом случае разность |
|||
lim |
f (x) − lim f (x) называется скачком функции f (x) в точке x0 . |
||||
x→x0 |
+0 |
x→x0 −0 |
|
|
|
|
|
Если хотя бы один из пределов lim f (x) , |
lim |
f (x) и lim f (x) не суще- |
|
|
|
|
x→x0 −0 |
x→x0 +0 |
x→x0 |
ствует или бесконечен, то точка x0 называется точкой разрыва второго рода функции f (x) .
Примеры решения задач
Пример 3.24. Даны функции:
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
, |
x ≤ −4 |
1) f (x) = |
|
|
−x |
|
|||||
|
; |
2) |
f (x) = 2x, |
|
−4 < x < 2, |
||||
x −2 |
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
, |
|
x ≥ 2. |
||
|
|
|
|
x |
|
|
|||
Найти точки разрыва и исследовать их характер. Определить скачки функции в точках, где имеются разрывы первого рода.
Решение. 1) Функция y = x −1 2 определена и непрерывна при всех значе-
ниях переменной x (−∞;2) (2;+∞) . Поэтому разрыв может быть только в
точке x = 2 .
Для исследования характера разрыва найдем односторонние пределы
функции в точке x = 2 : |
|
|
|
|
|||
lim |
1 |
|
= −∞, |
lim |
1 |
= +∞. |
|
x − |
2 |
x −2 |
|||||
x→2−0 |
|
x→2+0 |
|
||||
Так как односторонние пределы равны бесконечности, то точка x = 2 – точка разрыва второго рода.
2) Область определения функции – вся числовая ось (−∞;+∞) . На интервалах x (−∞;−4) (−4;2) (2;+∞) функция непрерывна. Поэтому разрывы мо-
гут быть только в точках x = −4 и x = 2 , в которых меняется аналитическое задание функции.
Найдем односторонние пределы в точке x = −4 :
f (−4 −0) = lim (−x2 ) = −16 , |
f (−4 + 0) = lim 2x = −8 . |
x→−4−0 |
x→−4+0 |
25