Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matem_2_chast.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.03.2016

Размер:

1.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

19)	limn→∞(		n2 + n +1 −	n2 − n +1);
21)	lim	(n −1)(n − 2)(3 − n)				;
21)	lim	(n +1)(n + 2)(3 + n)				;
	n→∞	(n +1)(n + 2)(3 + n)
23) limn→∞(			2n2 + n −1 −		2n2 −3n −1);
25) limn→∞(3 (n +1)2 − 3 (n −1)2 );
27)	lim1 −2 +3 −4 +... −2n ;
	n→∞		n2 +1 + 4n2 −1
29)	lim		1 + 2 +3 +... + n		−	n
29)	lim		n + 2		−	;
	n→∞		n + 2			2
31)	lim	(n + 2)!+ (n +1)! ;
	n→∞		(n +3)!

33)lim 1+ 12 + 14 +... + 12n ; n→∞ 1+ 13 + 19 +... + 13n

52n

35) lim + ;

n→∞1 +52n 1

ТЕМА 3

20)

lim

n(n +1)(n + 2)

;

(n +3)(n + 4)(n +

n→∞

22)

lim

n + 2

;

n −1 +

n +

n→∞

24)

limn→∞(3 n2 − n3

+ n);

26)

lim

n + n −

;

n +

n→∞

28)

lim

n2 −1 +

;

n→∞ 4 n3 +1 −

30)

lim

;

(n +1)!− n!

n→∞

32)

lim

(n + 2)!+(n +1)! ;

n→∞

(n + 2)!−(n +1)!

34)

lim

;

2 +3n

n→∞

36)

lim

2n −2−n

2n + 2−n

n→∞

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Понятие предела функции. Односторонние пределы


Число A называется пределом функции				y = f (x)	при	x → x0 , если для
любого ε > 0 существует δ =δ(ε) > 0 , зависящее от ε,					такое,	что для всех x ,
удовлетворяющих	неравенству	x − x0	<δ	справедливо			неравенство

f (x) − A

<ε . Обозначают: lim f (x) = A, f (x) → A или f (x) → A при x → x0 .

x→x0

при x → x0 , если

Число A называется пределом справа функции y = f (x)

для любого ε > 0 существует такое δ =δ(ε) > 0 ,

что для всех

x , удовлетво-

ряющих неравенству 0 < x − x0 <δ справедливо неравенство

f (x) − A

<ε . Обо-

значают: lim f (x) = A.

x→x0

при x → x0 , если

Число

A называется пределом слева функции y = f (x)

для любого ε > 0 существует такое δ =δ(ε) > 0 ,

что для всех

x , удовлетво-

ряющих неравенству −δ < x − x0 < 0

справедливо

неравенство

f (x) − A

<ε .

Обозначают:

lim f (x) = A.

x→x0 −0

Если x0 =0 , то пишут просто x → +0 или x → −0 и соответственно f (+0) или f (−0) .

Техника вычисления пределов

1) Если существует lim f (x) = A и lim g(x) = B , то существуют пределы:
				x→x0					x→x0
а)	lim( f (x) ± g(x)) = lim f (x) ± lim g(x) = A ± B ;
	x→x0				x→x0				x→x0
б)	lim( f (x) g(x)) = lim f (x) lim g(x) = A B ;
	x→x0				x→x0				x→x0
в)	lim cf (x) = c lim f (x) = cA , где c = const ;
	x→x0			x→x0
		f (x)		lim f (x)			A			)
г) lim		f (x)	=	x→x0		=	A	,	lim f (x) ≠ 0		.
г) lim		g(x)	=	lim g(x)		=		,	lim f (x) ≠ 0		.
	x→x0	g(x)		lim g(x)			B		(x→x0
				x→x0

2) Для всех основных элементарных функций в любой точке их области определения справедливо равенство

lim f (x) = f (lim x) = f (x0 ) .
x→x0	x→x0

3) Частое применение находят следующие пределы:

lim sin x =1 – первый замечательный предел;

x→0 x

1			1	x
lim(1+ x) x		+	1	=e =2,71828...
lim(1+ x) x	=lim 1	+		=e =2,71828...
x→0	x→∞		x

lim	loga (1 + x)		= loga e, (a > 0, a ≠1) ;
	x
x→0
lim ln(1 + x)		=1;
x→0	x

– второй замечательный предел;

(3.1)

lim	ax −1	= ln a,	(a > 0) .	(3.2)
	x
x→0
		Раскрытие неопределенностей
Если функция f (x)			определена в точке x0 , то вычисление предела вида
lim f (x) сводится к непосредственной подстановке значения x0				вместо x и ис-
x→x0

пользованию свойств пределов. На практике при вычислении пределов формальная подстановка вместо переменной x ее предельного значения приводит

к неопределенностям вида		,			,	{∞ −∞}, {0 ∞},	{	}	,	{	}	,	{	}	.
к неопределенностям вида	0	,		∞	,	{∞ −∞}, {0 ∞},	1∞		,	00		,	∞0		.
	0		∞

1. Для раскрытия неопределенности вида ∞ числитель и знаменатель

∞

(если они являются многочленами относительно независимой переменной x ) делят на переменную x в старшей степени.

2.При раскрытии неопределенности вида 0 можно попытаться чис-

литель и знаменатель разложить на множители и дробь сократить. Если под знаком предела стоит тригонометрическая функция, то можно применить первый замечательный предел.

3. Неопределенности вида {∞ −∞} и {0 ∞} с помощью элементарных преобразований функции, стоящей под знаком предела, приводят к неопреде-

	∞		0
ленностям вида		или		.

	∞	0

	{	}	используют второй замечатель-
4. В случае неопределенности вида 1∞			используют второй замечатель-
ный предел.
Эквивалентные бесконечно малые
Функция α(x)	называется бесконечно малой				при	x → x0 , если
lim α(x) = 0 .
x→x0
Если α(x) и β(x)	бесконечно малые при		x → x	и	lim α(x)	=1, то α(x) и
			0	x→x0 β(x)
				x→x0 β(x)

β(x) называют эквивалентными бесконечно малыми. Обозначают α(x) β(x) .

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций

(α(x) – бесконечно малая при x → 0 )

1.	sinα(x) α(x) ;				6.	ln(1+α(x)) α(x) ;

2.	tgα(x) α(x) ;				7.	aα( x) −1 α(x)ln a ;

3.	1−cosα(x) α	2			8.	α( x)	−1 α(x) ;
	1−cosα(x) α		(x)	;		e	−1 α(x) ;
		2
4.	arcsinα(x) α(x) ;				9.	(1+α(x))n −1 nα(x) ;

5.	arctgα(x) α(x) ;				10.	n 1+α(x) −1		α(x)
						n 1+α(x) −1		n
								n

Примеры решения задач

Пример3.12. Исходяизопределенияпредела, доказать, что lim(3x − 4) = 2 .

x→2

Решение. Пусть ε – произвольное положительное число. Необходимо доказать, что существует такое δ > 0 , что при всех значениях x , удовлетворяю-

щих условию

x −2

<δ справедливо неравенство

(3x −4) −2

<ε .

Из последне-

го

неравенства

получаем:

3x −6

<ε

или

x −2

<ε . Тогда,

как только

x −2

<ε / 3 =δ ,

выполняется

требуемое

равенство

(3x −4) −2

<ε . Следова-

тельно, lim(3x − 4) = 2 .

x→2

Пример 3.13. Вычислить lim

3x − x2 ln(x −1)

x + 6

x→2

Решение. Так как пределы числителя и знаменателя существуют и предел

знаменателя не равен нулю, то

lim

3x − x2 ln(x −1)

6 − 4 0

x +6

2 + 6

x→2

Пример 3.14. Вычислить

lim

+2x −4

3x3 +

x→∞

∞

Решение. Здесь имеем неопределенность вида

. Числитель и знаме-

∞

натель дроби разделим на x3 :

+2x −4

∞

−

lim

=lim

3x3 +1

x→∞

∞

x→∞

3 +

Пример 3.15. Вычислить

lim

+2x +1

+5x

x→−1 x2

Решение. Непосредственная подстановка значения x = −1, дает неопреде-

. Так как числитель и знаменатель многочлены, то их можно

ленность вида

разложить на множители. Тогда

lim

+2x +1

=lim

(x +1)2

=lim

x +1

=0 .

+5x +

(x +1)(x +

x→−1 x2

x→−1

x→−1 x +4

Пример 3.16. Вычислить

lim

x −2

x2 +5

−3

x→2

Решение. Как и в предыдущем примере, здесь неопределенность вида

умножив числитель и знаменатель дроби на

. Раскроем неопределенность,

x2 +5 −3):

выражение, сопряженное выражению (

lim

x −2

=lim

(x −2)( x2 +5 +3)

( x2 +5 −3)( x2 +5 +3)

x→2

x2 +5 −3

x→2

= lim

(x −2)( x2 +5 +3)

= lim

(x −2)( x2 +5 +3)

+5 −

x2 −4

x→2

= lim

(x − 2)

( x2 +5 +3)

= lim

( x2 +5 +3)

3 +3

(x − 2) (x

+ 2)

x + 2

x→2

Пример 3.17. Вычислить

1) lim

1−cos x ;

lim cos(πx / 2) .

x→0

x→1

1− x

Решение. Здесь для раскрытия неопределенности вида

воспользуем-

ся первым замечательным пределом.

lim

1−cos x

=lim

2sin2 (x / 2)

lim

sin(x / 2) 2

x→0

2 x→0

x / 2

2) Пусть t = x −1. Тогда x = t +1 и t → 0 при x →1. Следовательно,

cos πx

π(t +1)

πt

cos

lim

= −lim

1− x

x→1

t→0

−sin

πt

= π lim

sin

πt

π .

= −lim

t→0

2 t

→0

πt

Пример 3.18. Вычислить

lim

4x2 +1

lim

4x2 +1

x +1

x→+∞

x→−∞

Решение. Если x > 0

(x →+∞) , то

x2 = x . Тогда

lim

4x2 +1

= lim

x2 (4 +1/ x2 )

= lim

x (4 +1/ x2 )

= 2 .

x +1

x(1

+1/ x)

x(1+1/ x)

x→+∞

Если x < 0 (x → −∞) , то

= −x . Тогда

lim

4x2 +1

= lim

x2 (4 +1/ x2 )

= lim

−x (4 +1/ x2 )

= −2 .

x +1

x(1+1/ x)

x→−∞

Пример 3.19. Вычислить lim

−

х−1

−1

x→1

Решение. Имеем неопределенность вида {∞−∞}. Преобразуем функцию, стоящую под знаком предела, приводя дроби к общему знаменателю

−

={∞ −∞}= lim

2(х+1) −4

lim

х−1

−1

x→1

= lim

2(х−1)

= lim

=1.

х2 −1

х+

x→1

Пример 3.20. Вычислить lim 1+ 12 3x .

x→∞ x

Решение. Для раскрытия неопределенности {1∞} используем второй замечательный предел:

lim

= 1∞

}

=lim 1

=ex→∞ x

=e0 =1.

{

x→∞

Пример 3.21. Вычислить

lim ln(1+ x) .

x→0

3x −1

Решение. Из равенства (3.2) имеем lim

−1

= ln 3. Отсюда и равенства (3.1)

x→0

ln(1+ x)

lim

=lim

−1

−

ln3

x→0

Пример 3.22. Вычислить односторонние пределы:

1) lim

;

2) lim

x −1

1+31/ x

x→1±0

x→±0

Решение. 1) Если x <1, то x −1 < 0 и, следовательно, lim

= −∞. Если

x −1

x→1−0

x >1, то x −1 > 0 и, следовательно, и

lim

= +∞.

x→1+0 x −1

Если x < 0 , то lim

1 = −∞ и

lim

=1.

lim 3x = 0 . Следовательно,

+31/ x

x→−0

x→−0 1

Если x > 0 , то lim

= +∞ и

= 0 .

lim 3x = +∞. Следовательно, lim

+31/ x

x→+0

Пример 3.23. С помощью принципа замены эквивалентных вычислить:

lim

sin 4x

;

2) lim

1 −cos 2x .

ln(1 + 4x)

x→0

tg3x

Решение. 1) Имеем sin 4x 4x , ln(1 + 4x) 4x (см. таблицу эквивалентных бесконечно малых функций). Тогда

lim

sin 4x

= lim

=1.

ln(1 + 4x)

x→0

2) Из

таблицы эквивалентных бесконечно

малых

функций имеем:

1−cos 2x

(2x)2

= 2x2 , tg3x 3x . Поэтому

lim

1 −cos 2x

= lim

2x2

= lim

= 0 .

tg3x

x→0

Задания для самостоятельного решения

3.23. Пользуясь определением предела функции в точке, доказать, что:

1) lim(3x + 2) =8;

2) lim(4 + 2х) = 4 ;

3) lim

=1;

x→2

x→0

x→1

4) lim

=1;

5) lim cos x = cos x ;

6) lim

x = x .

x→∞ х−2

x→x0

3.24. Доказать, что функция

f (x) = x2 при x → 0 является бесконечно

малой. При каких значениях переменной x значения функции будут отличаться от нуля меньше, чем на: 1) 0,01; 2) 0,001.

3.25. Для функции f (x) = 2x +3 и заданного числа ε > 0 указать число δ такое, что для каждого x , удовлетворяющего условию 0 <| x −3 |<δ . Справед-

ливо неравенство | (2x +3) −9 |<ε , если:

1)	ε =1;						2) ε = 0,5;
3.26.		Найти:				1
1)			2x	2	+	1		;
1)	lim		2x		+	x	−sinπx	;
	x→1					x
3)	lim((4x2 −1)cos x) ;
	x→2

3)	ε = 0,01;				4) ε =ε0 .
2)	lim (2x + cos x) ;
	x→π	/ 2
4)	lim		x2	−2x +1	;
				x +1
	x→1

5) lim(3 − x)10 ;

x→2

7) lim(2x2 − 2x +1) ;

x→2

9) lim

−3x + 4

;

x2 −4

x→1

3.27.

Найти:

1) lim

;

+ 2

x→∞ x2

xlim→+∞

(

x(x +1) − x);

xlim→+∞

(x +

x +5 );

lim

x2 +3 + 4 81x4 +1

;

5 x5 −1

x→±∞

xlim→+∞(

x2 +1 − x);

11)

lim

x2 −1 −

3 8x3 +1

;

3 x3 −1

x→−∞

13)

lim

x2 + 2 −

3 x3 −1

;

4 x4 +8

x→+∞

15)

limx→∞(

x2 −1 −

x2 +1);

17)

xlim→±∞ x(

x2 +1 − x);

19)

xlim→±∞

(x −

x2 + x +3 );

21)

lim

2 −7x +1

;

3x x2

x→∞

23)

lim (

х+5 −

х) ;

x→+∞

25)

lim (

х2 +10х − х) ;

x→±∞

27)

lim

3х +1

;

3х −1

x→±∞

3.28.

Найти:

1) lim

− x2 + 2х

;

x2 + х

x→0

6) lim

3 + x −1

;

x + 2

x→1

lim

+ 2

;

(x −1)8

x→2

10) lim

x2 +8x − x

x +3 +

x→1

lim

x2 + 2 − 3

x3 −1

;

x4 +

x→−∞

x2 +1);

4) limx→∞(

x2 + 2x −

xlim→+∞(

x + 2 − x);

lim

x +

;

x +1

x→+∞

10)

xlim→−∞(

x2 +1 + x);

12)

lim

x2 + 2 −

3 x3 −1

;

4 x4 +8

x→−∞

14)

lim

x2 +1 −

;

x3 + x − x

x→∞

16)

xlim→±∞(

x2 − 2 − x);

x2 −5x +1);

18)

xlim→±∞(

x2 − 2x −1 −

20)

xlim→+∞

x (3 (x +1)2 − 3 (x −1)2 );

22)

lim

+ arcctgx

;

x→±∞

x +

24)

lim (

2х+1 −

х+ 2) ;

x→+∞

26)

lim (

4х2 +3х − 2х) ;

x→+∞

28)

lim

2 5х

−3

5х

+ 4

x→±∞

lim

− 4

;

+ 2

x→−2

3)	lim	3 − x		;

	x→3 x3 − 27
5)	lim	2x2 − x −3				;
		2x2 −5x +3
	x→3 / 2
7)	lim		2x2 −7x − 4					;
							3
	x→−1/ 2 −2x2 +5x +
9)	lim	3x2 + 2x −1			;
			27x3 −1
	x→1/ 3

11)

lim

2х+3 −3

;

3 − x

x→3

13)

lim

2 −

6 + х ;

x→−2

7 − х −3

15)

lim

4х+1 −3

;

х+ 2 −2

x→−2

17)

lim

х− 3х+ 4

;

16 − х2

x→4

19)

lim

х −8

;

4 − 3

x→64

21)

lim

x3 +1

;

x +1

x→−1

23)

lim

7 + 2x −5

;

x −3

x→9

25)

lim

3 x − x

;

x −1

x→1

27)

lim

(1 + x3 ) −(1 +3x)

;

x3 + x2

x→0

29)

lim

3 x − 4

;

x2 −1

x→1

31)

lim

x −

3x −2

;

x→2

x2 −4

33)

lim

1 + x + x2 − 1− x + x2

;

x2 − x

x→0

35)

lim (x −2)

x −1 ;

x→2

x2 −4

4) lim

−4x −5

;

−2х−

x→−1 x

6) lim

3x2 + 2x −1

;

−х2 + x + 2

x→−1

8) lim

2 −11x + 6

;

2x2 −

5x −3

x→3

10)

lim

;

х+

4 − 2

x→0

12)

lim

х −

2 − х

;

x −1

x→1

14)

lim

4х+1 −3

;

х+ 2 −2

x→−2

16)

lim

х+1

;

х+

х+ 2

x→−1

х −1

18)

lim

;

х −

x→1

20) lim x2 − 4 ;

x→2 x − 2

22)

lim

x −3

;

x −

x→3

24)

lim

3 x −1

;

x2 −1

x→1

26)

lim

−

;

−1

x −1

x→1

28)

lim

9 + 2x −5

;

x→8

x −2

30)

lim

x4 − 4x2 + 4

;

x3 − 2x

x→ 2

32)

lim

5 − x −2

;

2 − x −1

x→1

34)

lim

x2 −3

;

x4 − 2x2 −3

x→ 3

36)

lim

−

;

−3x + 2

x→2

x(x −

37)

lim

+ 4 − 2

;

38)

lim

1 + x − 3

1 − x

;

+9 −3

x→0 x2

x→0

39)

lim

+ x + 4 −2

;

40)

lim

−

;

x +1

1− 3

x→−1

x→1

1 −

3.29. Используя первый замечательный предел, найти:

1) lim sin 2x ;

2) lim sin 2x ;

x→0

sin 5x

3) lim

sin2 3x

;

4) lim

1 −cos5x

;

sin2

xsin 5x

x→0

5) lim

;

6) lim arcsin x ;

tg2x

x→0

7) lim

sin x

;

8) lim sin 7x ;

sin 6x −sin 7x

x→0

sin 3x

9) lim

tg6x

;

10)

lim x2ctg5x ;

x→0

sin8x

x→0

11)

lim

1 −соs3x

;

12)

lim sin(1 − x)

;

x→0

tg2 6x

x→1

x2 −1

13)

lim

;

14)

lim

sin2 5x

;

arcsin12x

arcsin10x

x→0

15)

lim sin x − tgx ;

16)

limctg2

tg2 5x

;

x→0

4sin

2 x

x→0

17)

lim

cos x −cos a

;

18)

lim

1 −cos2 x

;

x − a

1 −cos x

x→a

x→0

19)

lim

sin3 αx

, (αβ ≠ 0) ;

20)

lim

1 −cos6x

;

sin3 βx

xsin 3x

x→0

21)

lim

sin x −sin a

;

22)

lim

sinπx2

;

x − a

sinπx3

x→a

x→1

23)

lim

cos x

;

24)

lim

x −1

;

x −π / 2

x→π

/ 2

x→1

sinπx

25)

lim sin(x − 2) ;

26)

lim sin x +sin1 ;

x→2

x2 − 4

x→−1

x +1

27)

lim cos 2x −cos 4

;

28)

lim ctg3 −ctgx ;

x→−2

4x +8

x→3

x −3

29) lim tg5 − tgx

;

30)

lim cos x −cos7

;

x→5

tg(x −5)

x→7

sin x −sin 7

31)

lim

1 + cos3x ;

32)

lim

| tg2x |

;

1 −cos 2x

x→π

/ 3

tg2 6x

x→0

33)

lim

1 − tgx

;

34)

lim

1 − 4sin

2 x

;

cos(x +π

/ 4)

/ 6)

x→π / 4

x→π / 6 sin(x −π

35)

lim

8cos3 x −1

;

36)

lim

8sin3 x +1

;

x / 2 −π / 6

6x +π

x→π / 3

x→−π / 6

37)

lim

8cos3 x −1

38)

lim (1 −sin x)tg2 x ;

x→−π / 3 sin(x +π / 3)

x→π / 2

39)

lim

ctgx −1

;

40)

lim sin

x + 4

ctg

πx

;

x→π / 4

3 cos 2x

x→−4

41)

lim

3 tgx −1

;

42)

lim

3 sin x − 3

sin1

sin 2x −

tgx −

tg1

x→π / 4

x→1

3.30. Используявторойзамечательныйпредел, найтиследующие пределы:

5 x

lim 1 +

;

lim 1 −

;

x +

x→∞

x +3 x+1

3x +1 2 x+1

lim

;

lim

;

3x −

x→∞ x − 2

x→∞

4x −1

x−1

;

lim

lim(1 +sin x)x ;

x→∞ 4x +1

x→0

4x +1

1− x

lim(1+cos x)−sec x ;

lim

1−x

;

x→0

x→∞

4x − 2

lim

;

10) lim x[ln(x +3) −ln x];

+ 2

x→∞ x

x→∞

11) lim x[ln x −ln(x + 2)];

x→∞

13) lim 1 + x x ; x→0 x −1

15) lim x +1 2 x+3 ; x→∞ x +3

17) lim 2x[ln(x +1) −ln(2 + x)] ;

x→∞

19) lim(1 + tg2 x)x2 ;

x→0

21) lim(cos x)ctg2 x ;

x→0

23) lim(x + ex ) x ;

x→0

				1
12)	lim(1 + 2x) x ;
	x→0
			x	x+2
14)	lim				;
14)	lim				;
	x→∞ x +3
			2x −1		1−x
16) lim			2x −1			;
16) lim						;
	x→∞	2x +3
18)	lim (sin 2x)tg2 2 x ;
	x→π	/ 4
20)	lim(1+3tg2 x)ctg2 x ;
	x→0
22)	lim		(tgx)tg2 x ;
	x→π	/ 4
				x	tgx
24)	lim		ctg		.
24)	lim		ctg	2	.
	x→π	/ 2		2

3.31.

1) lim

x→0

С помощью принципа замены эквивалентных вычислить пределы:

1 −cos x	;	2) lim ln(1 +sin 4x)		;
xln(1 −3x)
		x→0	esin 3x −1

3) lim arctg4x ; x→0 arcsin 2x

ln(2 −cos 4x) 5) lim 2 ;

x→0 ln (1+sin 2x)


7)	lim		1 + x + x2 −1				;
7)	lim		l−cos3x				;
	x→0		l−cos3x
9)	lim	sin		3 x ln(1 + 4x)				;
9)	lim	(e2 x		−1) 3	arcsin x			;
	x→0	(e2 x		−1) 3	arcsin x
11) lim			1 + x2		−1	;
11) lim			x(e4 x −1)			;
	x→0		x(e4 x −1)

4) lim		esin 5 x −1		;
	ln(1 + tg2x)
x→0
6) lim	4	1 + x2 −1	;
		ln cos x
x→0
8) lim	sin 2x +arcsin				2 4x −arctg2 5x			;
		3x +1 −cos 2x
x→0
10) lim		1 −cos x2					;
		xln(1 + arctg2x)
x→0
12) lim		ln(1 + x2 )				.
		x(1 + 4x)2 − x
x→0

ТЕМА 4

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ.

ТОЧКИ РАЗРЫВА И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ

Функция f (x)	называется непрерывной в точке x0 , если
lim f (x) = f (x0 ) .
x→x0
Функция f (x)	непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когда
lim f (x) = lim		f (x) = lim f (x) = f (x0 ) .
x→x0 −0	x→x0 +0	x→x0

Функция f (x) непрерывна на множестве X , если она непрерывна в ка-

ждой точке этого множества.

Функция f (x) называется непрерывной в точке x0 слева (справа), если

lim	f (x) = f (x0 )	lim f (x) = f (x0 )			)	.
x→x0 −0		(x→x0	+0		)
Если в точке	x0 функция не является непрерывной, то говорят, что она
имеет разрыв в точке x0 и точка x0 называется точкой разрыва.
Точка x0 называется точкой разрыва первого рода функции f (x) , если
пределы слева и справа ( lim f (x) и			lim	f (x) ) конечны. Если при этом
	x→x0 +0		x→x0 −0

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.03.2016855.04 Кб213Lipinsky_Osnovy_intellektualnoy_sobstvennosti.doc
#
03.03.2016400.4 Кб8logika-konspekt_lekcij.pdf
#
03.03.20161.12 Mб10LOGIKA_UMP_KL_STR_113_DLYa_PDF.pdf
#
03.03.201632.02 Mб17lМирошникова О.С. Microsoft Office Word.docx
#
03.03.20164.5 Mб277Manual_Maxwell_render.pdf
#
03.03.20161.44 Mб17matem_2_chast.pdf
#
03.03.2016626.51 Кб26MathCad_Metoda_Lab.pdf
#
03.03.20168.37 Mб25Mathematics of Economics and Business.pdf
#
03.03.20162.72 Mб18Mat_modeli_OSA_konspekt_lektsiy.pdf
#
03.03.20161.01 Mб21Mat_modeli_OSA_lab_rab.pdf
#
03.03.20166.75 Mб14Metodicheskie_ukazania.doc