Шпора ОДМ( 2 модуль)

31

Если конституента содержится соответственном максимальном интервале,

то в клетке ставится 1, если нет, то клетка остаѐтся пустой.

2-й шаг Состоит в том, что из множества простых импликант составляются

всевозможные подмножества, обладающие свойствами :

1.Элементы подмножества суммарно покрывают все конституенты функции.

2.При вычеркивании любого элемента подмножества свойство 1 не выполняется.

Подмножество, удовлетворяющее свойствам называется минимальными покрытиями таблицы Квайна.

ТЕОРЕМА Возможные минимальные покрытия таблицы Квайна представляют все

тупиковые формы функционального представления, среди которых содержатся и минимальные формы.

Доказательство:

Необходимость следует из того, что тупиковые и минимальные формы есть объединение простых импликант. Достаточность следует из того , что не возможно вычеркнуть простую импликанту, а следовательно любой первичный термин, без нарушения покрытия всех конституент функции.

СПОСОБЫ ПОКРЫТИЯ ТАБЛИЦЫ КВАЙНА

При первом способе выделяются простые импликанты, без которых невозможно представление функции. Их характерной особенностью является то,

что некоторые конституенты принадлежат только им. Для приведеннолго примера такими импликантами являются 0х1 1х0.

Объединение этих импликант называется ядром покрытия. Если ядро

32

покрытия не перекрывает все конституенты функции, то к нему добавляются дополнительные импликанты до полного покрытия. Все минимальные покрытия отыскиваются с помощью простого перебора.

Так для нашего примера: ядро покрытия покрывает конституенты

Констутиента 111 осталась непокрытой ,следовательно к ядру нужно добавить

еще одну импликанту. При этом получаем 2 минимальных покрытия:

{0х1 , 1х0 , х11} {0х1 , 1х0 , 11х}

Первому покрытию соответствует тупиковая форма

f = М 1М3 + М1 М 3 + М2 М3

а второму:

f = М 1 М3 + М1М3 + М1М2

Такой способ образования минимальных покрытий для функций с большим числом переменных затруднен при применении.

Рассмотрим другой ,более эффективный способ.

Для этого каждую простую импликанту таблицы Квайна представим с помощью множества. При этом будем считать ,что для таблицы Квайна множество – малые латинские буквы.

В этом случае конституенты покрываются следующими множествами.

001 – P1=a

011 – P3=a+b

33

100 – P4=c

110– P6=c+d

111– P7=b+d

Из этого следует, что все возможные минимальные покрытия представляются

множествам Р равным:

Р = а( а + b ) с ( с + d )( b + d)

Применяя, рассмотренные ранее, законы для операций над множествами:

Р = а( а + b ) c ( c + d )( b + d ) = ac ( b + d ) = acb + acd

Рассмотрим более сложный пример . Функция от четырех переменных:

Выпишем все образующие функцию конституенты, разбив на классы по

количеству единиц.

34

Объединяя их, получим: х10х х10х

Следовательно имеем одну минимизированную форму f1

P = a(b+c)(a+d)(e+f)a(b+d)(c+e)(a+f) = a(b+c)(e+f)(b+d)(c+e) = a(b+cd)(e+cf) = (ab+acd)(e+cf) = abe + abcf + acde + acdf

БУЛЕВА АЛГЕБРА

Алгебра – это множество М, с заданными на нем функциями, обладающими

свойствами замкнутости.

35

Алгебра – некоторое множество М , с определенными на этом множестве операциями. Все функции ,заданные на М ,обозначаются буквой S –сигнатура алгебры. Множество М – носитель алгебры. Произв. алгебра А обозначается:

А < М, S >

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ.

1. Алгебра А = < М , f0 > ,где f0 - двуместная функция, называется группой.

При этом f : a , b с , c = ab - обобщенное умножение С обладает свойствами:

- если (а,b М, то результат обобщенного умножения так же принадлежит М

[(ab) M]

Это свойство замкнутости;

- (ab)c = a(bc) - свойство ассоциативности

-(ax) = b , ya = c - существованиеединственного решения уравнения Группа , для которой выполнено условие:

ab = ba

называется коммутативной или абелевой группой.

ПРИМЕРЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ

N - множество натуральных чисел

R - множество целых чисел

Z - множество действительных чисел Определим алгебру вида:

А = < N, + , * , - >

Эта алгебра не является алгебраической системой А = < N < + , * , > - алгебраическая система

Причем в данном примере содержится алфавит из бесконечного числа элементов.

Существуют алгебры с конечным алфавитом. Примером такой алгебры есть алгебра подстановок.

Образовывающаяся алгебра подстановок с помощью перестановок 3-х элементов х1, х2,х3 .

36

Отметим возможные варианты.

Элементы носителя определяются следующим образом

Определим групповую операцию, как общий переход:

37

Проверим выполняется ли закон ассоциативности для данного примера:

(bd)f = cf =d b(df) = bc =d

то есть, закон выполняется.

Так же можно показать, что закон справедлив для любых элементов данной

алгебры .Видно, что алгебра замкнута, но не выполнено свойство коммутативности.

Поэтому алгебра – мультипликативная некоммутативная группа.

Алгебра вида А = < М , * , + >

Называется кольцом, если < М , + > есть аддитивная абелевая группа,

выполняется закон дистрибутивности.

Если операция обобщ. умн. кольца < М, * > содержит 1, то имеет место кольцо

с единицей.

Если умн. коммут. то кольцо – коммутат. Полем называется кольцо с единицей,

ненулевые элементы которого образуют группу по умножению. Если эта группа имеет конечное число элементов и является абелевой, то такие поля называются полями Галуа.

Рассмотрим примеры :

1.Множество действительных чисел с опер. слож. и умноженные есть

38

Из таблиц видно, что эта алгебра есть коммут. кольцо с 1.

3. А = < М, 0 , + > М{0,1,2,3,4,5,6} c = a + b mod 7

39

Для данного алфавита можно определить и обратную операцию вычитания.

а – в = а(-в)

Для данной алгебры составленна таблица :

По аналогии составляется таблица обратных элементов для деления.

1-1=1; 2-1=4; 3-1=5; 4-1=2; 5-1=3; 6-1=6;

Вышепреведенные алгебры являются полем Галуа.

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И ПОЛЯ ГАЛУА.

Как и в обычной алгебре можно решать системы уравнений и в полях Галуа.Возьмем следующую систему :

X1+3x2+6x3=2 4x1+5x2+2x3=1 2x2+x3=5

Будем решать систему по методу Гаусса :

40

5+3*6+6* =5+4+ =2+ =2 4*5+5*6=6+2=1 2*6=5

БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ.

Изоморфизмом между алгебрами называется взаимооднозначное соответствие между носителями и сигнатурами.

fi(x1,…xn) =xk (fi)[ (x1),… (xn)] = (xk)

Алгебры для которых существует изоморфизм называют изоморф-ми.

Очевидно, что законы справедливые для некоторой алгебры , также будут справедливы и для изоморфной с ней алгебры.

Булевы алгебры – алгебры вида :

A = < M, + , * , - > для которых справедливы следующие отношения :

хi M

1.xi + xj = xj + xi

2.xi * xj = xj * xi

3.(xi + xj) + xk = xi + (xj +xk)

4.(xi * xj) * xk = xi * (xj *xk)

5.(xi + xj) * xk = xi *xk+ xj*xk

6.xi + xj * xk = (xi + xj)(xi+xk)

7.xi+xj M, xi xj M

8.x = x; x = ; x + E = E; x + = x;