Шпора ОДМ( 2 модуль)

53

Если булева функция может быть представлена в нормальной дизъюктивной

форме без отрицания, то эта функция монотонна.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Возьмем произвольные значения и , причем . В этом случае условию

теоремы удовлетворяют следующие возможности:

Откуда следует, что для доказательства теоремы достаточно доказать

следующее утверждение:

если , то у ( ) = 1 у ( ) = 1

Докажем это утверждение.

Если у( ) = 1, то всегда найдется интервал, для которого выполняется

следующее условие:

xj1, xj2 … xjk = 1, где j1 = j2 = jk = 1

j - номер набора перем.без отрицания, тогда

j1 = j2 = jk = 1 xj1, xj2 … xjk = 1

значит у( ) = 1

Следствием теоремы является замкнутость класса монотонных функций.

Например:

y(х1,х2,х3) = х1х2 х1х3 х2х3 , где х2(z1,z2) = z1 z2

тогда: y(x1,x2(z1,z2)x3) = x1(z1 z2) x1x3 x3(z1 z2) = = x1z1 x2z2 x1x3 x3z1 x3z2

Так как результирующая функция не содержит отрицания, то она является

монотонной.