Шпора ОДМ( 2 модуль)

41

9. x * x = E; x * x = ;

Множество вида М = {Ij, E, }

Ij – интервалы пораждающих множеств;

E – единичное множество;

- пустое множество;

и определенные на нем операции +, *, - есть булева алгебра или алгебра множеств. Булевы алгебры есть частный случай фундаментальных видов алгебр.

АЛГЕБРА БУЛЯ.

Булевой переменной является переменная, которая принимает значение 0 или 1.

Будем обозначать такую переменную Х. Если в некоторой алгебре Буля определены функции от к переменных, то будем называть еѐ к-значной, а

сигнатуру обозначать как Рк .

Операция обобщ-го сложения в случае булевых алгебр называют дизъюнкцией, а

операция обобщ-го умножения – конъюкцией.

Групповая операция обобщ. сложения :

х1 х2 ~ x1 + x2

Операция обобщенного умножения :

Установим выполдняется ли для данной алгебры законы теории множеств :

1. Дистрибутивный закон х1(х2 х3)=х1х2 х1х3

Составим таблицу :

42

1-й закон дистрибутивности применим к алгебре Буля. Аналогичная таблица для 2-го закона дистрибутивности.

(х1 х2) (х1 х3) = x1 (x2 & x3)

2.Проверим закон де Моргана.

Отрицание конъюкции есть дизъюнкция отрицания.

x 1& x 2 = x 1 x 2

43

Отрицание дизъюнкции равно конъюкции отрицания.

x 1 x 2 = x 1& x 2

Первый и второй законы де Моргана применимы для алгебры Буля.

ПРИОРИТЕТЫ АЛГЕБРЫ БУЛЯ.

1.–

2.&

ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ АЛГЕБРЫ БУЛЯ.

(АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ).

ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ ЭТИХ ОПЕРАЦИЙ.

1. « НЕ » - х x

01

10

2.х1 х2 « ИЛИ »

44

5. Эквиваленция х1 ~ х2 « ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА »

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ В АЛГЕБРЕ БУЛЯ.

Функция трех переменных :

45

Кроме табличного задания алгебры логики применяются различные аналитические методы. К ним относятся – дизъюктивная и коньюктивная форма.

Для представления в дизъюктивной соверш. норм. форме (ДСНФ) вводится фар-

кая функция единицы, которая соответствует конституентам, в которых функция принимает значение = 1.

Единичная функция записывается ,как элементарная конъюнкция, содержащая n – переменных и называется минитермом. Алгоритм представления функции алгебры логики в виде ДСНФ записывается в виде:

1)Выбрать в таблице функции все наборы аргументов , на которых функция обращ. в единицу

2)Вычислить конъюкцию, соответствующей этим наборам аргументам. При этом аргумент xi входит в данный набор как 1 , он вписывается без изменения в конъюнкцию, соответствующую данному набору. Если хi

входит как 0 ,то в конъюнкцию вписывается его отриц.

3)Все полученные конъюнкции соединены между собой знаками дизъюнкции.

Для примера запишем ДСНФ

f(х1,х2, х3) = x 1 x 2 x 3 x 1 x2 x 3 x 1 x 2 x3 x1 x 2 x 3 x1 x 2 x3

x1 x2 x 3

Для представления функции алгебры логики в КСНФ вводится хар-кая функция О ,которая соответствует набору, на котором функция принимает значение О. Функция нуля записывается как элементарная дизъюнкция,

содержащая n-переменных и называется макситермом.

46

Алгоритм построения КСНФ:

1)Выбрать в таблице функции все наборы аргументов , на которых функция обращается в О.

2)Выписать дизъюнкции, соответствующие этим наборам. При этом если хi

входит как О, он вписывается без изменений в дизъюнкцию, если хi

входит как 1, то в дизъюнкцию вписывается его отрицание.

Для примера запишем КНФ

f(х1,х2, х3) = (x1 x2 x 3 ) & ( x 1 x 2 x 3)

По аналогии с теорией множеств при минимизации:

ДСНФ ДНФ КСНФ КНФ

ДНФ,КНФ – обозначения для сокращения макситермами и минитермами.

Номера мини- и макситермов являются дес-ными экв-ми соответствующего

48

Минимизация по методу Карно :

f(x1, x2, x3) = x 1 x 3 x2x3

ФУНКЦИОНАЛЬНО ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ.

Запишем таблицу функций 1-й перем.:

49

Сведем в таблицу :

Функционально-полной системой алгебры Буля – набор функций Рк, с помощью которых может быть выраженна любая функция из Рк.

Тривиальной функционально-полной системой является весь набор функций из Рк.

Базисом алгебры Буля называется функционально-полная система, которая перестает быть таковой при выбрасывании из неѐ любой функции.

Примером алгебры с функционально-полной системой, но не являющейся базисом является функция вида :

А = < M, , &, - >

На основании законов де Моргана из неѐ можно получить алгебры с базисами.

50

А1 = < M, , - > , А2 = < M, &, - >

Принцип нахождения функционально-полных систем и базисов для Рк .

Будем искать такой набор из Рк, с помощью которого можно представить функции дезъюнкции, конъюкции, отрицания, а следовательно и все остальные функции.

Для изучения свойств пространства Р2 , т. е. Функция от двух переменных,

представим все функции с помощью операций дезъюнкции, конъюкции и отрицания.

F1 = х1*х2

F2 = х1* x 2

F4 = x 1*х2

F6 = х1 х2 = x 1*х2 х1* x 2

F7 = х1 х2

F8 = x 1* x 2 = x 1 x 2

F9 = x 1 x 2 х1х2 = х1 х2

F10 = x 2

F11 = x 1 x 2 х1 x 2 х1х2 = x1 x 2

F12 = x 1

F13 = x 1 x 2 x 1х2 х1х2 = x 1 х2

F14 = x 1 x 2 x 1х2 х1 x 2 = x 1 x 2 = x 1 x 2

Для каждой из перечисленных функций существует двух ходовой логический элемент.