MathCad_Metoda_Lab

Продовження таблиці 7.2

40

7.3 Контрольні запитання

1.Пояснити призначення команд меню Symbolics, кнопок панелі інструментів

Symbolic.

2.Які символьні перетворення можна виконати у Mathcad?

3.Поясніть виконання кожного завдання.

4.Які переваги має виконання символьних перетворень із застосуванням символьного знака рівності і директив з панелі інструментів Symbolic?

Лабораторна робота №8 Розв’язання алгебраїчних, трансцендентних рівнянь, систем лінійних і

нелінійних рівнянь, нерівностей у Mathcad

Мета роботи: набуття навиків застосування Mathcad для розв’язання рівнянь, нерівностей, систем рівнянь.

8.1 Числове розв’язання рівнянь у Mathcad

Для числового розв’язання рівняння вигляду F (x) = 0 треба спочатку знайти

інтервал, що містить корінь або початкове наближення кореня (наприклад, за графіком функції F (x) ). Далі присвоїти змінній значення початкового наближення

і застосувати функцію root:

root(< вираз ( F (x) ) >, <ім’я змінної ( x )>) .

Ця функція повертає значення кореня. Якщо рівняння має декілька коренів, результат залежить від вибору початкового наближення.

Функцію root також можна використати, задавши замість початкового наближення координати a, b початку і кінця інтервалу, що містить корінь (вираз має

мати на кінцях інтервалу значення різного знака ):

root(<вираз ( F (x) ) >, <ім’я змінної ( x ) >, a, b).

Функція повертає корінь, що належить заданому інтервалу.

Для пошуку усіх коренів поліному степені n можна використати функцію polyroots:

polyroots(B),

де B – вектор (n+1) коефіцієнтів поліному, що складений за зростанням його степенів.

41

8.2 Символьне розв’язання рівнянь і нерівностей у Mathcad

Рівняння або нерівність у символьному вигляді можна розв’язати за допомогою команди Simbolics/Variable/Solve. Для цього треба записати рівняння або нерівність, використовуючи для вводу знаків операцій співставлення панель інструментів Boolean (або комбінації клавіш, що з’являються у спливаючих підказках), у виразі виділити змінну, відносно якої слід розв’язати рівняння (нерівність) і використати команду Simbolics/Variable/Solve.

Для пошуку символьного розв’язку може бути використана директива solve і символьний знак рівності

<рівняння (нерівність) > solve, < ім’я змінної >→

<вираз > solve, < ім’я змінної >→

У першому випадку визначається розв’язок рівняння (нерівності), у другому – значення змінної, при якому значення виразу дорівнює нулю.

Крім цього, для розв’язання рівняння у символьному і числовому вигляді можна застосувати блок розв’язання (п.п. 8.3, 8.4).

На рис. 8.1 наведений документ Mathcad, у якому розв’язано рівняння

5x3 + 7x2 − 9x − 3 = 0 .

8.3 Числове розв’язання систем рівнянь у Mathcad

Для розв’язання систем лінійних рівнянь вигляду A × X = B , де A - матриця коефіцієнтів, B - вектор вільних членів, X - вектор коренів в Mathcad є функція lsolve, яка повертає вектор коренів, а її аргументами є матриця коефіцієнтів і вектор вільних членів

lsolve( A, B) .

Систему лінійних або нелінійних рівнянь можна розв’язати із застосуванням блока розв’язання Given – find (minerr). Цей блок має таку структуру:

1.Завдання початкових наближень коренів.

2.Директива Given.

3.Рівняння.

4.Додаткові обмежуючі умови – задаються у вигляді нерівностей або рівнянь, які мають виконуватися для коренів системи.

5.Вираз із застосуванням функції find або minerr у вигляді

42

x

Застосовуємо функцію root для пошуку кореня, задав інтервал його існування

Для пошуку коренів поліному також можна застосувати функцію polyroots. Для цього формуємо вектор В коефіцієнтів поліному. Функція polyroots повертає вектор коренів

Для символьного роз'язання рівняння застосуємо директиву символьних перетворень solve

Рисунок 8.1 – Приклад застосування Mathcad для розв’язання рівняння

43

Функції find і minerr повертають вектор розв’язку системи рівнянь. Різниця між функціями find і minerr полягає у тому, що функція find може бути застосована, якщо розв’язок існує. При спробі застосувати цю функцію у разі відсутності коренів виникає помилка. Функція minerr застосовується для пошуку значень змінних, що забезпечують мінімальну середньоквадратичну погрішність, навіть якщо точний розв’язок не існує.

Рисунок 8.2 - Числове розв’язання системи нелінійних рівнянь (приклад)

8.4 Символьне розв’язання систем рівнянь у Mathcad

Для символьного розв’язання систем лінійних або нелінійних рівнянь можна застосувати директиву символьних перетворень solve. Для цього слід сформувати вектор, кожний елемент якого є одне з рівнянь системи. Далі виконати символьні перетворення таким чином:

44

Результатом буде матриця, елементи стовпців якої є значення коренів у тому порядку, як були записані імена змінних після директиви solve.

Блок розв’язання Given – find (minerr) можна застосувати для пошуку символьного розв’язку системи рівнянь. На відміну від числового розв’язку, в цьому випадку не треба задавати початкові наближення коренів і треба застосувати символьний знак рівності

Функція повертає матрицю, елементи рядків якої є значення коренів у тому порядку, як були записані імена змінних при визові функції find або minerr.

На рис.8.3 наведений документ Mathcad, у якому знайдений розв’язок системи нелінійних рівнянь з попереднього прикладу у символьному вигляді.

.

.

Рисунок 8.3 – Символьне розв’язання системи нелінійних рівнянь (приклад)

45