MathCad_Metoda_Lab
.pdf
Лабораторна робота №5 Робота з комплексними числами
Мета роботи: вивчити особливості роботи в пакеті Mathcad з комплексними числами та функціями комплексних змінних.
5.1.Застосування Mathcad для роботи з комплексними числами
Як відомо з математики, раціональні числа розташовуються на числовій осі. На відміну від них комплексні числа складаються з двох складових: реальної та уявної і розташовуються на числовій площині з двох сторін від горизонтальної числової вісі. Таким чином натуральні та раціональні числа є окремим випадком комплексних чисел. В багатьох алгоритмічних мовах комплексні числа відсутні, а в пакеті Mathcad вони являються однією з основних його складових.
Для того щоб сформувати уявну частину комплексного числа її помножають на 1i без знака множення проміж одиницею і латинською буквою i. Таким чином у пакеті Mathcad відокремлюють уявну одиницю від звичайної змінної i.
|
Комплексні числа можуть бути представлені в трьох формах: |
|
- |
алгебраїчній |
a + b *1i; |
- |
експоненціальній |
reϕ*1i ; |
- |
тригонометричній |
r(cosϕ + sin ϕ *1i). |
де a , b - дійсна і уявна частини комплексного числа, r = 
a2 + b2 - модуль комплексного числа, ϕ - аргумент комплексного числа – кут (у радіанах) між вектором, проведеним через точки з координатами ( a , b ) і (0, 0) і додатним напрямком дійсної вісі.
В пакеті Mathcad є декілька внутрішніх функцій для роботи з комплексними числами. Найчастіше з них використовуються такі функції:
-Re(z) – виділення дійсної частини комплексного числа; - аргумент
-Im(z) - виділення уявної частини комплексного числа;
-arg(z) – визначення аргументу комплексного числа;
-z - визначення модуля комплексного числа.
Зкомплексними числами можна виконувати всі ті ж дії, що і з раціональними, тому що в пакеті Mathcad раціональні числа являються окремим випадком комплексних чисел з нульовою уявною частиною.
Комплексно-спряжене число – це комплексне число, в якому змінено лише знак уявної частини. Для одержання комплексно спряженого числа необхідно, знаходячись курсором на комплексному числі (або його змінній) натиснути на дві
клавіші Shift + ”.
Для зображення комплексного числа на комплексній площині в декартовій системі координат необхідно сформувати додатковий вектор з двох елементів. Перший елемент 0+j0 є координатами початку системи координат, а другий – зображуване комплексне число. Оскільки нульові значення в вектори і матриці при такому їх способі формування не заносять, вся операція формування додаткового вектора складається з наступної схеми набору:
30
Z [ 1 = 1 + 2 i
Квадратна відкриваюча дужка після змінної Z в попередньому виразі передбачена для завдання індексу елемента вектора чи матриці. Оскільки відрахунок у векторах по умовчанню здійснюється з 0, то одиниця в даному разі вказує на другий елемент вектора.
Після цього викликається декартовий графік і вводиться функція Re(z) по горизонтальній вісі і функція Im(z) по вертикальній. Для зображення декількох комплексних чисел на одному графіці необхідно через кому занести вказані функції для кожного із зображуваних на графіці комплексних чисел, виконуючи це по кожній із осей в одній і тій же послідовності.
Для повороту комплексного числа його необхідно помножити на вираз eϕ*1i , де ϕ - заданий кут повороту.
При рішенні алгебраїчних чи трансцендентних рівнянь однієї змінної для отримання комплексного кореня необхідно початкове його наближення задавати в комплексному вигляді.
При рішенні систем алгебраїчних рівнянь з допомогою розв’язуючого блоку кожне рівняння з комплексними коефіцієнтами еквівалентно двом: окремо по дійсній і уявній частинам.
5.2 Завдання
1.Ввести комплексні числа А, В (табл. 5.1) у алгебраїчній, тригонометричній
іекспоненціальній формах.
2.Виконати математичні дії з комплексними числами згідно завдання табл. 5.1, а також отримати комплексно спряжене комплексне число.
3.Визначити дійсні, уявні частини, модулі і аргументи чисел А, В і результату, отриманого по п. 3.
4.Виконати повороти комплексних чисел на задані у табл. 5.1 кути.
5.Зобразити у декартовій і полярній системах координат початкові та повернуті комплексні числа, а також результати виконання математичних дій з комплексними числами.
Таблиця 5.1 - Вихідні дані до лабораторної роботи № 5
Варі- |
A |
B |
|
Математична |
Кут повороту |
||
ант |
|
дія |
в градусах |
||||
|
|
|
|||||
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
6 |
|
1 |
1 + j2 |
2 - j3 |
|
A + B |
- 90 |
||
2 |
3 + j4 |
3 - j1 |
|
A – B |
+ 45 |
||
3 |
-4 + j1 |
2 + j2 |
|
A * B |
- 60 |
||
4 |
2 + j5 |
-3 - j4 |
|
A / B |
+ 30 |
||
5 |
-1 + j3 |
4 + j6 |
|
|
|
|
- 30 |
|
|
A |
|||||
6 |
-3 + j2 |
-5 + j2 |
|
B2 |
- 45 |
||
7 |
5 – j3 |
-2 – j2 |
|
A + B |
+ 90 |
||
|
|
|
31 |
|
|
|
|
Продовження таблиці 5.1
1 |
2 |
3 |
4 |
|
6 |
|
8 |
7 + j4 |
-6 + j3 |
A – B |
+ 120 |
||
9 |
2 – j1 |
4 + j2 |
A * B |
+ 150 |
||
10 |
-4 + j3 |
2 – j1 |
A / B |
+ 180 |
||
11 |
2 – j3 |
3 + j4 |
|
|
|
- 120 |
|
A |
|||||
12 |
3 – j1 |
1 + j2 |
B 2 |
- 150 |
||
13 |
2 + j2 |
3 + j4 |
A3 |
- 180 |
||
14 |
-3 – j4 |
4 + j1 |
A + B |
+ 10 |
||
15 |
4 + j6 |
2 + j5 |
A – B |
- 10 |
||
5.3 Контрольні запитання
1.Чим відрізняються раціональні та комплексні (ірраціональні) числа?
2.Призначення функцій для роботи з комплексними числами.
3.Комплексно спряжені числа та їх отримання.
4.Зображення комплексних чисел у декартовій і полярній системах координат.
5.Як виконати поворот комплексного числа на заданий кут?
6.Як виконати перехід від градусів в радіани і навпаки?
7.Яка особливість отримання комплексних коренів функції однієї змінної?
8.Яка особливість вирішення алгебраїчних рівнянь і їх систем з комплексними коефіцієнтами?
9.Як формуються додаткові вектори при побудові комплексних чисел на графіках?
Лабораторна робота №6 Обчислення суми, добутку, інтегрування, диференціювання,
визначення границь у Mathcad
Мета роботи: набуття навиків визначення границь, інтегрування, диференціювання, обчислення суми і добутку.
6.1 Застосування Mathcad для виконання числень
Для обчислення суми, добутку, інтегрування, диференціювання, визначення границь у Mathcad є спеціальні оператори. Ввід цих операторів виконується за
допомогою панелі інструментів Calculus (рис. 6.1), що визивається кнопкою 
панелі інструментів Math.
Рисунок 6.1 – Панель інструментів Calculus
32
Кнопки панелі інструментів Calculus призначені (зліва направо) для: числення першої похідної, похідних вищих порядків (функції однієї або кількох змінних), вводу символу нескінченності, числення визначеного інтеграла, суми, добутку, невизначеного інтеграла, суми і добутку з використанням у якості індексу змінної, що приймає значення з заданого діапазону, визначення границь.
Числення границь і невизначених інтегралів здійснюється тільки у символьному вигляді, тому у виразах слід використовувати символьний знак рівності (→). Для його вводу використовується відповідна кнопка панелі інструментів Evaluation, Symbolic або комбінація клавіш Ctrl+ . . Усі інші дії можуть виконуватися як у символьному (символьний знак рівності), так і у чисельному (знак =) вигляді.
Усі оператори можуть бути використані при завданні функцій користувача.
6.2 Завдання
Завдання до лабораторної роботи наведено у табл. 6.1, 6.2.
1.Визначити границю (графа 2 табл. 6.1). Побудувати графік функції, границю якої визначено. Якщо функція при заданому значенні аргументу потерпає розрив, визначити односторонні границі.
2.Знайти первісну функцію від функції f (x) (графа 3 табл. 6.1).
b
3. Знайти інтеграл ∫ f (x)dx у числовому і символьному вигляді. Значення
a
меж інтегрування наведені у графах 4, 5, підінтегральна функція – у графі 3 табл. 6.1. Ввести функцію для визначення значення цього інтеграла при будь-яких значеннях меж інтегрування. Застосувати введену функцію для визначення
інтеграла для двох пар значень меж інтегрування, наприклад (a, b) і (0, a2 ) .
4. Знайти у числовому вигляді значення першої і другої похідних функції f (x) у точці x = a . Ввести функції для взяття цих похідних при будь-якому
значенні аргументу. Побудувати графіки заданої функції та її похідних у спільній системі координат.
n
5. Знайти суму ряду (сумою ряду є lim ∑ui , де ui - i - тий член ряду).
n→∞ i=1
Завдання наведено у графі 2 табл. 6.2.
6. Ввести функцію для виконання обчислень згідно із завданням з графи 3 табл. 6.2. Функція має бути придатна для роботи з вектором чи матрицею будь-якого розміру і мати один аргумент: матрицю чи вектор. Перевірити роботу функції для двох різних за розміром матрицях або векторах.
Для виконання цього завдання можуть бути корисні такі функції: mod(x, y) – функція повертає залишок від ділення числа x на y;
max(x, y, z,…) – функція повертає значення, що дорівнює найбільшому з її аргументів;
min(x, y, z,…) – функція повертає значення, що дорівнює найменшому з її аргументів.
33
Таблиця 6.1 – Завдання до лабораторної роботи №6
Варіа |
|
Визначити |
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
a |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нт |
|
границю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
5 |
|
||||||||||
1 |
lim |
|
|
|
|
x2 |
+ x − 1 |
|
|
x × sin 2x |
0 |
|
π |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x + 5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x →∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
lim |
|
|
|
|
|
|
1 + x |
|
|
|
|
|
x3 × ex |
0 |
|
0,5 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
|
lim |
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 ln(x + 1) |
0 |
|
0,9 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x →0 tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
4 |
lim x( |
|
|
x2 + 1 - x) |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
12 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x - 3 x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x →∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5 |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 + ln x |
4 |
|
4,7 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
- cos x |
|
|
|
|
|
|
x ln x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x → +0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6 |
lim |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
-1 |
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x → a x - a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
lim(1 − x)tg πx |
|
sin(ln(x)) |
− π |
π |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x →1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|||||||||||||||||||
8 |
lim |
eax − ebx |
|
|
|
(1 − tg 3x)2 |
− π |
0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x →0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
9 |
lim |
2arcsin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
-1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
3 + x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x →0 |
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x + 5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
||||||||||||||||||||||
10 |
lim 1 + |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
cos(4x) |
0 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x →∞ |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sin |
2 |
(x 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
11 |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 -1 |
||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
12 |
|
lim tg |
1 |
|
|
|
|
sin3 (x) cos2 (x) |
|
π |
3 π |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x →0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
3π |
|
||||
13 |
|
lim 1 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg x |
− π |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2 x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3π |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
14 |
|
lim |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin3 x |
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x →∞ |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15 |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3π |
π |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ 1)(x2 − 4) |
|
|
|
1 + tg x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x →0 x(x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
34
Таблиця 6.2 – |
|
Завдання до лабораторної роботи №6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ва |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функція |
ріа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
має обчислювати |
|||||||||
нт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||
1 |
arctg |
1 |
|
|
|
+ arctg |
1 |
|
|
+ ... + arctg |
|
|
|
|
1 |
|
+ ... |
|
добуток від’ємних елементів вектора |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 × i2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
3 |
+ |
|
|
5 |
|
|
|
+ ... + |
|
|
|
|
|
|
|
2i + 1 |
|
|
|
|
+ ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
кількість нульових елементів |
|||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
36 |
|
|
i2 (i +1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
матриці |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
1 |
|
|
+ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
+ ... + |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
+ ... |
|
|
добуток максимальних елементів |
|||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
3 × 5 |
|
(2i -1)(2i + 1) |
|
|
|
|
рядків матриць |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
суму мінімальних елементів |
||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ... + |
|
|
|
|
|
|
|
+ ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стовпців матриці |
|||||||||||||||||||||
2 |
22 |
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
+ |
2 |
|
+ ... + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
+ ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
добуток елементів вектора, значення |
||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
яких належать інтервалу від 3,8 до |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(i +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45,6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
1 |
|
+ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
+ ... + |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
+ ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
добуток додатних елементів |
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 × 3 |
i(i +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
останнього рядка матриці. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
+ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
+ ... + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
+ ... |
|
|
більше з суми елементів першого |
|||||||||||||||||||||||||||||
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рядка і добутку елементів |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
4 × 7 |
|
|
|
(3i - 2)(3i +1) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
останнього стовпця матриці |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
1 |
+ |
|
1 |
+ ... + |
|
|
|
1 |
|
|
|
+ ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
менше з суми і добутку від’ємних |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
елементів вектора |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
5 |
1 + i2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
1 |
+ ... + |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
+ ... |
добуток елементів головної |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1× 2 × 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 × 3 × 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i × (i +1) × (i + 2) |
|
діагоналі матриці |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
якщо перший елемент вектора |
10 |
|
x + 2x2 + ... + i × xi |
+ ... , при x = 0,5 |
додатний, суму елементів вектора і |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
добуток ненульових елементів – у |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
протилежному випадку |
11 |
|
1 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+ ... |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
+ ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
частку суми і добутку елементів |
|||||||||||||||||||||||
1× 4 |
|
|
2 × |
5 |
|
|
|
i × |
(i + 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
матриці |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 |
|
1 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+ ... |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
+ ... |
|
різницю добутку і суми елементів |
|||||||||||||||||||||||||||
1× 7 |
|
|
3 ×9 |
|
(2i -1) × (2i + 5) |
|
вектора |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13 |
|
|
5 |
+ |
|
13 |
+ ... + |
3i + 2i |
|
+ ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
суму елементів парних рядків |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матриці |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
14 |
|
1 |
|
|
+ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
+ ... + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ... |
|
|
добуток елементів непарних |
||||||||||||||||||||||||
9 |
|
|
|
|
225 |
|
(2i -1)2 (2i +1)2 |
|
|
стовпців першого рядка матриці |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15 |
1 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
+ ... + |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
+ ... |
|
|
добуток елементів парних стовпців |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
парних рядків матриці |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 ×5 |
|
3 × 6 |
(n +1) × (n + 4) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
35
6.3 Контрольні запитання
1.Поясніть призначення кнопок панелі інструментів Calculus.
2.Як ввести оператор диференціювання, інтегрування, визначення границі?
3.Як виконати числення у символьному вигляді?
4.Поясніть особливості двох операторів обчислення суми (добутку).
5.Поясніть виконання кожного завдання.
Лабораторна робота №7 Використання символьних перетворень
Мета роботи: набуття навиків виконання символьних перетворень.
7.1 Виконання символьних перетворень у Mathcad
Символьні перетворення можна виконувати за допомогою:
-символьного знака рівності (вводиться комбінацією клавіш Ctrl + . або за допомогою панелей інструментів) і ключових слів (панель інструментів Symbolic);
-команд меню Symbolics.
Утабл. 7.1 наведено призначення команд меню і підменю Symbolics. Поряд з командою у дужках записані відповідні директиви символьних перетворень (ключові слова) панелі Symbolic.
Таблиця 7.1 – Команди меню Symbolics, директиви символьних перетворень панелі інструментів Symbolic
Команди меню
Symbolics, директиви Дія, що виконується символьних
перетворень
1 |
2 |
|
Evaluate |
(Розрахунки ) Перетворення виразів. |
|
|
Symbolically |
Символьні перетворення математичних виразів ( у тому |
|
|
числі символьне числення інтегралів, диференціювання, |
|
|
обчислення суми, добутку, спрощення виразів, виконання |
|
|
операцій з матрицями і те ін. ). Ця символьна операція |
|
|
використовується, якщо треба виконати усі можливі |
|
|
перетворення і представити вираз у максимально |
|
|
спрощеному вигляді. |
|
Floating Point |
Виконати символьне перетворення і арифметичні |
|
|
розрахунки у математичному виразі. У результаті усі числа |
|
(float) |
будуть представлені у формі з плаваючою комою. |
|
Complex |
Виконати символьне перетворення виразу з комплексними |
|
(сomplex) |
складовими. |
36
Продовження таблиці 7.1
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
Simplify |
|
|
|
|
|
Спростити виділений математичний вираз із використанням |
|
|
|
|
|
|
|
|
таких операцій: зведення подібних доданків, дробів до |
|
|
|
|
|
|
|
спільного знаменника, тригонометричні перетворення, |
|
|
|
|
|
|
|
інтегрування, диференціювання, обчислення суми і добутку. |
|
|
|
|
|
|
|
Ці ж дії виконуються при вводі після виразу символьного |
|
|
|
|
|
|
|
знака рівності. |
Expand (expand) |
|
|
|
|
|
Розкласти вираз за степенями, розкрити дужки. |
|
Factor |
|
|
|
|
|
Розкласти на множники. Можна застосувати для |
|
(factor) |
|
|
|
|
|
розкладення числа на прості множники. |
|
Collect (collect) |
|
|
|
|
|
Упорядкувати вираз за степенями виділеної змінної. |
|
Polynomial Coefficients |
Сформувати вектор коефіцієнтів заданого поліному за |
||||||
(coeffs) |
|
|
|
|
|
виділеною змінною (у порядку збільшення її степенів). |
|
Variable |
|
|
|
|
|
Виконання дій над виразом по відношенню до виділеної |
|
|
|
|
|
|
|
|
змінної. |
|
Solve |
|
|
|
|
|
Розв’язати рівняння, нерівність або знайти значення змінної, |
|
(solve) |
|
|
|
|
|
при якому заданий вираз дорівнює нулю. |
|
Substitute |
|
|
|
|
|
Підставлення – заміна виділеної змінної вмістом буфера |
|
|
|
|
|
|
|
обміну. Для поміщення виразу у буфер обміну можна |
|
(substitute) |
|
|
|
|
|
застосувати команду Copy. |
|
Differentiate |
|
|
|
|
|
Здифереціювати вираз за виділеною змінною. |
|
Integrate |
|
|
|
|
|
Зінтегрувати вираз за виділеною змінною. |
|
Expand to Series |
Розкласти в ряд – знайти кілька членів розкладення виразу в |
|||||
|
(series) |
|
|
|
|
|
ряд Тейлора відносно виділеної змінної. |
|
Convert to Partial |
Розкласти вираз на елементарні дроби. |
|||||
|
Fraction (parfrac) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Matrix |
|
|
|
|
|
Матричні операції |
|
|
Transpose ( МТ ) |
Транспонувати матрицю. |
|||||
|
Invert |
( М-1 ) |
Знайти обернену матрицю. |
||||
|
Determinant |
( |
|
М |
|
) |
Знайти визначник матриці. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Transform |
|
|
|
|
|
Перетворення |
|
|
Fourier |
Виконати пряме перетворення Фур’є відносно виділеної |
|||||
|
{fourier} |
|
|
|
|
|
змінної. |
|
Inverse Fourier |
Виконати обернене перетворення Фур’є відносно виділеної |
|||||
|
(invfourier) |
|
|
|
|
|
змінної. |
|
Laplace |
|
|
|
|
|
Виконати пряме перетворення Лапласа відносно виділеної |
|
(laplace) |
|
|
|
|
|
змінної. |
|
Inverse Laplace |
Виконати обернене перетворення Лапласа відносно |
|||||
|
(invlaplace) |
|
|
|
|
|
виділеної змінної. |
|
|
|
|
|
|
|
37 |
Продовження таблиці 7.1
1 |
2 |
|
|
Z |
Виконати пряме Z перетворення відносно виділеної |
|
(ztrans) |
змінної. |
|
Inverse Z |
Виконати обернене Z- перетворення відносно виділеної |
|
(invztrans) |
змінної. |
|
|
|
Evaluation Style |
Стиль перетворень – задає місце положення результату |
|
|
|
відносно вихідного виразу: під, поряд або замість нього. |
|
7.2 Завдання |
|
Завдання до лабораторної роботи наведено у табл. 7.2, 7.3. У роботі треба:
1.Над виразом з графи 2 табл. 7.2 послідовно виконати такі перетворення:
1.1.Розкласти на множники.
1.2.У отриманому виразі виконати заміну змінної x виразом з графи 3
табл. 7.2.
1.3.Розкрити дужки.
1.4.Упорядкувати вираз за степенями змінної x .
1.5.Знайти коефіцієнти багаточлена за змінною x .
1.6.Знайти корені отриманого багаточлена.
1.7. Виконати заміну змінної x виразом p × x sin(2x) + ln(5,3x) , результат
3
отримати у формі з плаваючою комою з сьома значущими цифрами – для парних варіантів і чотирма – для непарних.
2.Розкласти вираз з графи 4 табл. 7.2 на елементарні дроби.
3.Для парних варіантів зінтегрувати функцію з графи 2 табл. 7.2 за змінною
xна інтервалі [0, 7].
4.Для непарних варіантів здиференціювати функцію з графи 4 табл. 7.2 за змінною u .
5.Розв’язати рівняння (графа 2 табл. 7.3). Для варіантів 3, 8, 14, 15 результат отримати у формі з плаваючою комою з п’ятьма значущими цифрами.
6.Для варіантів 1-8 визначити точки екстремуму функції (графа 3 табл. 7.3), побудувати графіки функції та її похідної. На графіку позначити точки екстремуму.
7.Для варіантів 8-15 визначити точки перетину графіком функції (графа 3 табл. 7.3) вісі абсцис, побудувати графік функції та її дотичних у знайдених токах
перетину. Рівняння дотичної функції f (x) у точці з координатою x = x0 має вигляд
y(x) = f (x0 ) + f ′(x0 ) × (x - x0 ) .
8. Скласти кілька невеликих за розміром матриць (розміри матриць задати самостійно у залежності від операцій і дій над ними), елементами яких є змінні або вирази. Виконати транспонування, визначення оберненої матриці, знайти її визначник, а також дії над матрицями у символьному вигляді.
9. Ознайомитися з можливими стилями символьних перетворень і способом їх завдання (Symbolics/Evaluation Style).
38
Усі перетворення, якщо це можливо, виконати двома способами: з використанням символьного знака рівності та відповідних ключових слів і команд
меню Symbolics.
Таблиця 7.2 – Завдання до лабораторної роботи №7
Ва |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ріа |
|
|
Вихідні вирази |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
нт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
x4 + 11x3 − 27x2 − 243x + 594 |
|
x + 3 |
|
|
− 12u 2 − 56u − 102 − u3 |
||||||||||||
5 |
|
|
|
5u 2 − 2u − 24 + u3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
x4 + 9x3 − 37x2 − 9x + 36 |
|
x2 |
|
|
21u − 32u 2 + 535 − 5u3 + u 4 |
|
|||||||||||
|
|
|
− 73u + 9u 2 − 273 + u3 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2x4 + 18x3 − 74x2 − 18x + 72 |
0,5x |
|
|
− 428u − 48u 2 − 117u3 − 90u 4 − 630 − 15u5 |
|||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
45u + 30u 2 + 5u3 + 9u 4 + 6u5 + u6 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
9x4 + 27x3 − 27x2 − 63x + 54 |
2x |
|
|
− 116u − 116u 2 − 48u3 − 136 − 3u 4 + u5 |
|||||||||||||
|
|
− 267u − 49u 2 + 3u3 − 360 + u 4 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5 |
4x3 + 36x2 + 24x − 64 |
|
x + 7 |
|
|
21u6 + 14u 4 + 6u 2 + 2 + u |
|
|||||||||||
|
|
|
9u3 + 6u + 3u 2 + 2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6 |
2x4 + 10x3 − 46x2 − 90x + 252 |
3x2 |
|
16u3 + 61u + 2u8 + 7u 6 + 1 |
||||||||||||||
|
|
10u3 + 35u + 2u 2 + 7 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7 |
50x3 + 450x2 + 300x − 800 |
|
x − 2 |
|
|
13u 2 − 3 + 2u3 + 24u |
|
|||||||||||
|
|
|
24u 2 − 25 + 10u3 − 10u + u 4 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
8 |
4x4 + 4x3 − 28x2 − 4x + 24 |
3x |
|
|
2u 3 − 107 + u 4 |
− 69u − 15u 2 |
|
|||||||||||
|
|
25u 3 + 150 + 10u 4 |
+ 60u + u 5 + 6u 2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
9 |
3x4 − 3x3 − 21x2 + 39x − 18 |
5x − 8 |
|
u 4 + 7u − 5u 2 + 5 − u3 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
u5 + 6u 2 − u3 − 6 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
10 |
x4 − 6x3 − 21x2 + 34x + 48 |
9 − |
x |
|
|
9u3 + 13u + 41u 2 + 28 − 15u5 − 32u 4 |
|
|||||||||||
|
|
|
18u5 + 25u3 + 45u 4 + 45u 2 + 7u |
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||
11 |
4x3 − 40x2 + 68x − 32 |
|
x |
|
|
|
u 4 + 4u − u 2 − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
u5 + 4u 2 + 2u3 + 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
12 |
10x3 + 20x2 − 90x − 180 |
− 2x |
|
|
7u3 + 28 + u 4 + 4u − u 2 |
|||||||||||||
|
|
u 4 + 4u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
13 |
4x4 − 48x3 + 148x2 − 168x + 64 |
|
x |
|
|
|
30u3 + 87u 2 + 22u + 56 − 15u 4 |
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
9u 4 + 39u3 + 18u 2 + 26u + 8 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
39