Научный пособник том 2All Tom 2 UA

Швидкість u називають груповою швидкістю.

Групова швидкість – це швидкість переміщення амплітуди, і, отже, енергії, яка переноситься групою (хвильовим імпульсом).

Таким чином, монохроматична хвиля характеризується фазовою швидкіс-

тю v = ωk , що означає швидкість переміщення фазової площини, а хвильовий

імпульс характеризується груповою швидкістю u = ddkω , яка відповідна швидко-

сті розповсюдження енергії цього поля.

Групова і фазова швидкості зв’язані співвідношенням:

групова швидкості не співпадають, Якщо фазова швидкість не залежить від до-

При гідролокації, радіолокації і так далі вимірюють саме групову швидкість, оскільки робота більшості приймальних пристроїв підпорядковується принципу суперпозиції, який означає, що результат декількох одночасних дій є просто сумою результатів, викликаних кожною дією окремо.

§12 Ефект Доплера в акустиці

Ефектом Доплера* називається зміна частоти хвиль, які реєструються

________________________________________________________________________________

*Доплер Іоганн Крістіан (1803–1853), австрійський математик, фізик і астроном.

49

Хвилі

Нехай приймач П звукових хвиль в газоподібному (або рідкому) середовищі нерухомий відносно його, а джерело І віддаляється з швидкістю vr1 . Шви-

дкість направлена уздовж прямої, що сполучає джерело і приймач (рис. 12.1). Т0

– період коливань джерела. За цей час джерело переміститься на відстань

де ν0 – частота коливань джерела.

При русі джерела довжина хвилі λ в середовищі відрізняється від довжини хвилі λ0 при нерухомому джерелі:

вказаної прямій.

50

Хвилі

Розділ 3. Електромагнітні хвилі

§13 Рівняння Максвелла

Рівняння Максвелла – це фундаментальні рівняння класичної макроскопічної електродинаміки, що описують електромагнітні явища в будь-якому середовищі, у тому числі і у вакуумі. Вони сформульовані в 60-х роках XIX століття англійським ученим Дж. Максвелллом* на основі узагальнення експериментальних законів, що встановлюють зв’язок між електричними і магнітними явищами і розвивають ідеї Майкла Фарадея про те, що взаємодія між електричне зарядженими тілами здійснюється за допомогою електромагнітного поля.

Перше рівняння є узагальненням закону електромагнітної індукції. Максвелл припустив, що змінне магнітне поле завжди (а не тільки в провіднику) породжує вихрове електричне поле, яке не залежить від того, є в ньому провідник чи ні. Згідно цьому рівнянню

тобто циркуляція вектора напруженості електричного поля (ерс індукції) визначається швидкістю зміни потоку вектора магнітної індукції крізь поверхню, обмежену даним контуром. Тут знак « – » відповідає правилу Ленца для напряму індукційного струму.

Друге рівняння Максвелла є узагальненням на змінні поля експериментального закону Біо-Савара-Лапласа, який стверджує, що навколо провідників із струмом існує магнітне поле. Максвелл висловив гіпотезу, що магнітне поле породжується не тільки струмами, які протікають в провіднику, а також змінними електричними полями в діелектриках або вакуумі. Величина, що пропорційна швидкості зміни електричного поля в часі, була названа Максвеллом струмом зміщення. Він порушує магнітне поле за тим же законом, що і струм провідності. Повний струм, який дорівнює сумі струму зсуву і струму провідності, завжди є замкнутим. Друге рівняння Максвелла має вигляд:

тобто циркуляція вектора напруженості магнітного поля (сума скалярних добу-

тків вектора H у даній точці контуру на нескінченно малий відрізок контуру dl) визначається повним струмом через довільну поверхню S, обмежену даним контуромr . Тут

jпров

r

εε0 ∂∂Et = rjзм – густина струму зміщення.

________________________________________________________________________________

*Максвелл Джеймс Клерк (1831–1879), англійський фізик.

51

Хвилі

Третє рівняння Максвелла відображає дослідні факти про відсутність магнітних зарядів, аналогічних електричним:

тобто потік вектора магнітної індукції крізь довільну замкнену поверхню S рівний нулю. Це означає, що магнітне поле породжується електричними струмами або рухомими електричними зарядами.

Четверте рівняння Максвелла є узагальненням теореми Гаусса для електростатичного поля на будь-яке електричне поле, як стаціонарне так і змінне:

тобто потік вектора електричної індукції крізь довільну замкнену поверхню S визначається електричним зарядом, що знаходиться усередині цієї поверхні (у об’ємі V, обмеженому поверхнею S).

Рівняння Максвелла (13.1−13.4) не утворюють повної замкненої системи, що дозволяє розраховувати електромагнітні процеси за наявності матеріального

середовища. Їхrдоповнюють співвідношеннями, що зв’язують вектори E і D , B і H , а також j . Зв’язок між цими величинами визначається властивостями середовища та його станом.

Ці співвідношення називають рівняннями стану або матеріальними рівняннями. Вони описують електромагнітні властивості середовища і для кожного конкретного середовища мають певну форму. Для більшості ізотропних середовищ рівняння стану мають просту лінійну форму:

З рівнянь Максвелла випливає, що змінне електричне поле породжує магнітне поле, яке теж виявляється змінним. Таке змінне магнітне поле у свою чергу породжує електричне і так далі. Звідси випливає важливий висновок про існування нового фізичного явища: електромагнітне поле здатне існувати самостійно – без електричних зарядів і струмів. При цьому зміна його стану обов’язково має хвильовий характер. Таким чином, якщо порушити за допомогою зарядів, що коливаються, змінне електромагнітне поле, то в навколишньому просторі виникає послідовність взаємних перетворень електричного і магні-

52

Хвилі

тного полів, які розповсюджуються від точки до точки. Цей процес буде періодичним в часі і в просторі і, отже, є електромагнітною хвилею (ЕМХ).

У разі однорідного нейтрального непровідного середовища з сталою проникністю ε і μ з рівнянь Максвелла отримують рівняння вигляду:

Рівняння (13.8) і (13.9) є типовими хвильовими рівняннями (див. формулу (9.11)). Всяка функція, що задовольняє такому рівнянню, описує деяку хвилю. Отже, рівняння (13.8) і (13.9) указують на те, що електромагнітні поля можуть існувати у вигляді електромагнітних хвиль. Порівняння з виразом (9.11) дозволяє зробити висновок про те, що фазова швидкість електромагнітних хвиль дорівнює

§14 Електромагнітні хвилі

14.1 Плоска електромагнітна хвиля

Розглянемо електромагнітну хвилю, що розповсюджується вr нейтральному непровідному середовищі зі сталою проникністю ε і μ ( j =0, ε=const,

μ=const)v . Спрямуємоv вісь х перпендикулярно хвильовим поверхням. Тоді вектори E і H , а також і їх компоненти за координатними осями не залежатимуть від координат у і z. При цьому рівняння (13.8) і (13.9) спрощуються і приймають вигляд:

Індекси у і z при Ey і Hz підкреслюють ті обставини, що вектори E і

H спрямовані уздовж взаємно перпендикулярних осей у і z. (Нагадаємо, що в цьому випадку Ex=Ez=0, а Hx=Hy=0).

Розв’язком рівняння (14.1) є функція:

У цих формулах ω − циклічна частота хвилі; k = 2λπ − хвильове число, α1 і α2 –

початкові фази коливань в точці з координатою х=0.

53

Хвилі

Коливання електричного і магнітного векторів в електромагнітній хвилі відбуваються з однаковою фазою. Поклавши α1=α2=0, отримаємо:

Помноживши рівняння (14.5) на одиничний вектор осі у, а рівняння (14.6) − на одиничний вектор осі z, отримаємо рівняння плоскої електромагнітної монохроматичної хвилі у векторному вигляді:

На рис. 14.1 показана «моментальна фотографія» плоскої монохроматичної хвилі. З рисунка

видно, що вектори E і H утворюють з напрямом розповсюдження хвилі правогвинтову систему.

У фіксованій точці простору вектори E і H

змінюються з часом за гармонічним законом.

Рисунок 14.1

14.2 Експериментальне дослідження електромагнітних хвиль

Перші досліди з несвітловими електромагнітними хвилями були здійснені Г. Герцем* в 1888 році. За допомогою великих металевих дзеркал і асфальтової призми (розміром більше 1 м і масою 1200 кг) Герц здійснив віддзеркалення і заломлення електромагнітних хвиль і виявив, що обидва ці явища підпорядковуються законам, встановленим в оптиці для світлових хвиль. Відбивши плоску біжучу хвилю за допомогою металевого дзеркала у зворотному напрямі, Герц отримав стоячу хвилю. Відстань між вузлами і пучностями дозволяла визначити довжину хвилі λ. Помноживши довжину хвилі на відому частоту коливань, Герц розрахував швидкість електромагнітних хвиль. Вона виявилася близькою до швидкості світла. Розташовуючи на шляху хвиль ґрати з паралельних один одному мідних дротів, Герц виявив, що при обертанні ґрат навколо променя інтенсивність хвиль, які пройшли крізь грати, сильно змінюється. Коли дроти, які

створюють ґрати, були перпендикулярні вектору E хвиля проходила крізь ґра-

ти без перешкод. При розташуванні дротів паралельно E хвиля крізь грати не проходила. Таким чином, була доведена поперечність електромагнітних хвиль.

Передача повідомлення за допомогою електромагнітних хвиль була вперше здійснена в 1896 році О.С. Поповим*.

________________________________________________________________________________

*Герц Генріх Рудольф (1857–1894), німецький фізик. *Попов Олександр Степанович (1859–1906), російський фізик.

54

Хвилі

14.2Основні властивості електромагнітних хвиль

1.Електромагнітні хвилі – це електромагнітні коливання, що розповсюджуються в просторі з кінцевою швидкістю. З теорії Максвелла випливає, що електромагнітні коливання розповсюджуються у вакуумі із швидкістю світла:

2.Швидкість розповсюдження електромагнітних хвиль в однорідному ізотропному середовищі дорівнює

3.Електромагнітна хвиля – поперечна хвиля. Це означає, що Er . vr H vr,

тобто напрям коливань векторів E і H перпендикулярно напряму розповсюдження хвилі.

4.Електромагнітні хвилі переносять енергію. Об’ємна густина енергіїw електромагнітного поля складається з об’ємної густини енергії електричного поля wел і об’ємної густини енергії магнітного поля wм :

Перенесення енергії хвилею прийнято характеризувати вектором густини потоку енергії. Для механічних хвиль цей вектор називається вектором Умова. Нагадаємо, що вектор Умова дорівнює добутку об’ємної густини енергії на вектор фазової швидкості хвилі, тобто

j = w vr.

Для електромагнітних хвиль вводять аналогічний вектор, який називають

вектором Пойнтінга*. Вектор Пойнтінга S − векторна фізична величина, чисельно дорівнює енергії, яка переноситься електромагнітною хвилею за одиницю часу через одиничну площину, що розташована перпендикулярно напряму розповсюдження хвилі.

Отримаємо формулу, що зв’язує вектор Пойнтінга з характеристиками

_______________________________________________________________________________

*Пойнтінг Джон Генрі (1852–1914), англійський фізик

55

Хвилі

Вектори E і H взаємно перпендикулярні, тобто кут між ними 90°, а sin 90o =1. Отже, вектор Пойнтінга можна представити як векторний добуток векто-

5.Електромагнітним хвилям, як і будь-яким хвилям, властиві інтерференція, дифракція, а також поляризація.

6.Електромагнітні хвилі поглинаються середовищем, а в діелектрику, окрім цього, зазнають дисперсію.

14.4 Шкала електромагнітних хвиль

Електромагнітні хвилі прийнято умовно класифікувати за довжинами хвиль у вакуумі λ = c / ν або за частотою ν = ω/ 2π (рис. 14.2). Між сусідніми діапазонами шкали електромагнітних хвиль немає різких границь. Докладніша класифікація дана в таблиці 14.1.

56

Хвилі

Відзначимо, що різні види електромагнітного випромінювання відрізняються лише довжиною хвилі (або, що те ж саме, частотою). Залежно від довжини хвилі (частоти) міняються властивості хвиль, їх дії, способи отримання і назви окремих ділянок.

Таблиця 14.1. Шкала електромагнітних хвиль

15.1 Радіохвилі

Постійні струми створюють магнітні поля, що не змінюються з часом. Якщо по дроту пропустити змінний струм високої частоти, то навколо дроту виникають змінні електричне і магнітне поля, які створюють разом електромагнітне поле.

Явище збудження змінним струмом електромагнітних полів прийнято називати випромінюванням електромагнітних коливань або випромінюванням електромагнітних хвиль. При своєму розповсюдженні електромагнітне поле втрачає зв’язок з дротом, навколо якого воно спочатку створилося. Якщо вимкнути струм в дроті, то електромагнітна хвиля продовжить свій рух в просторі. Зустрічаючи на своєму шляху провідники, магнітні складові електромагнітних коливань порушують в цих провідниках змінне електричне поле. Це електричне поле створює такий же змінний струм, як струм, що порушив електромагнітні хвилі, тільки слабкіший. На цьому явищі заснована техніка радіопередачі і радіоприйому.

Вперше електромагнітні хвилі були отримані Г. Герцем* в 1888 році.

________________________________________________________________________________

*Герц Генріх Рудольф (1857–1894), німецький фізик.

57

Хвилі

У його дослідній установці випромінювачем електромагнітних хвиль був вібратор, який складався з двох стрижнів з кулями на кінцях (рис. 15.1). Джерелом напруги служила індукційна котушка Румкорфа. Виявлялася хвиля за допомогою резонатора, що є незамкнутим витком дроту, також з кулями на кінцях. Половинки вібратора заря-

джали до такої високої напруги, що між внутрі-

шніми кулями через повітря проскакувала іскра.

Відбувався електричний розряд. У цей момент, що тривав долі секунди, вібратор випромінював серію згасаючих електромагнітних хвиль. Перетинаючи дріт резонатора, розташованого поблизу, електромагнітна хвиля порушувала в ньому

електричні коливання. Про це свідчила дуже слабка іскра, що з’являлася між кулями резонатора.

Не можна називати електромагнітним полем постійні електричне і магнітне поля, що існують в якому-небудь місці простору. В цьому випадку обидва поля існують самостійно і не взаємодіють між собою. А електромагнітне поле завжди є поєднанням рівноправних змінних електричного і магнітного полів, що взаємодіють один з одним.

15.2 Електромагнітні хвилі оптичного діапазону

Всі тіла, нагріті до високої температури, світяться, тобто є джерелами видимого випромінювання. При звичайних температурах вони є джерелами невидимого інфрачервоного випромінювання.

З курсу квантової механіки (див. § 39) відомо, що електрони в атомах розподіляються за енергетичними рівнями. Кожному енергетичному рівню відповідає своє значення енергії. Якщо речовину нагрівати, то електрони переходять на вищі енергетичні рівні, які називаються збудженими. Відмітною особливістю збуджених станів є те, що електрони знаходяться в цих станах до 10–8 секунд. Повертаючись в основний стан, електрон випромінює енергію, що дорівнює різниці енергій цих рівнів.

Отже електромагнітне випромінювання оптичного діапазону пояснюється переходами електронів з вищих енергетичних рівнів на нижчі, тобто рівні з меншою енергією.

15.3 Рентгенівське випромінювання

Рентгенівське* випромінювання виникає при гальмуванні речовиною швидких електронів, які бомбардують цю речовину. Рентгенівське випромінювання буває двох типів.

________________________________________________________________________________

*Рентген Вільям Конрад (1845–1923), німецький фізик, лауреат Нобелівської премії 1901 р.

58