Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Научный пособник том 2All Tom 2 UA

.pdf
Скачиваний:
103
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
3.77 Mб
Скачать

Коливання

Із сказаного випливає, що гармонічне коливання може бути задане за допомогою вектора, довжина якого дорівнює амплітуді коливання, а напрям вектора утворює з віссю х кут, якій дорівнює фазі коливання. Отримана схема на-

зивається векторною діаграмою.

5.2 Додавання однаково напрямлених гармонічних коливань

Додавання двох однаково напрямлених гармонічних коливань можна поспостерігати на прикладі коливань кульки, що підвішена на пружині у вагоні. Кулька коливається на пружині відносно точки підвісу і разом з вагоном коливається на ресорах відносно Землі (рис. 5.2). Обидва коливання мають однако-

вий напрям.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а). Розглянемо додавання коливань однакової

 

 

 

 

 

 

 

 

частоти, тобто ω1 = ω2 = ω0 . Зсув х тіла,

що коли-

 

 

 

 

 

 

 

 

вається, буде дорівнюватиме сумі зсувів х1 і х2, які

 

 

 

 

 

 

 

 

описуються рівняннями:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 = A1 cos(ω0t + ϕ01 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 = A2 cos(ω0t + ϕ02 ).

(5.1)

 

 

 

 

 

Рисунок 5.2

 

 

Обидва коливання представимо у вигляді векторів A1

r

 

 

 

і A2

і додамо їх за

правилом паралелограма (рис. 5.3). Проекція вектора A на вісь х дорівнює сумі

проекцій складових векторів:

х=х1+х2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

Отже, вектор A є результуючим ко-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ливанням. Цей вектор обертається з тією

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ж кутовою швидкістю ω0, як і вектори A1 і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2 , так що результуючий рух буде гармо-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

γ

 

 

 

 

нічним коливанням з тією ж частотою ω0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ02

 

 

γ

 

 

 

ϕ0

 

 

 

 

амплітудою А і початковою фазою ϕ0:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕA1

 

 

 

 

 

 

x = x1 + x2 = Acos(ω0t + ϕ0 ).

(5.2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З рис. 5.3 за теоремою косинусів ви-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

01

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

x1

 

 

 

x2

пливає:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

A2 = A2

+ A2

+ 2A A cos γ .

(5.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

1

2

 

 

 

Рисунок 5.3

 

 

 

Знайдемо амплітуду А результуючо-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

го коливання, зробивши заміну в (5.3):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = A2

+ A2

+ 2A A cos(ϕ

02

− ϕ

01

).

 

 

(5.4)

 

 

 

 

 

1

2

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

З рис. 5.3 визначаємо початкову фазу ϕ0 результуючого коливання:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg ϕ0 =

 

A1 sin ϕ01 + A2 sin ϕ02

.

 

 

(5.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1 cosϕ01 + A2 cosϕ02

 

 

 

 

19

Коливання

Отже, подання гармонічних коливань за допомогою векторів дозволяє звести додавання декількох коливань до операції додавання векторів.

б). Розглянемо додавання однаково напрямлених коливань з різними, але близькими частотами. У результаті виникають негармонічні коливання які називають биттям.

Позначимо частоту одного коливання ω, а частоту другого – (ω+Δω). За умовою Δω<<ω. Вважатимемо, що амплітуди обох коливань однакові і дорівнюють А. За початок відліку часу приймемо момент, коли початкові фази дорівнювали нулю. Тоді рівняння коливань матимуть вигляд:

x1 = Acos ωt ,

(5.6)

x2 = Acos(ω + ω)t .

(5.7)

Результуюче коливання опишеться рівнянням

x = x + x

2

= A(cosωt + cos(ω + ω)t)= 2Acos

ωt

cosωt ,

 

1

2

 

 

 

 

(у другому співмножнику нехтуємо доданком Δω/2 в порівнянні з ω). Таким чином, рівняння, що описує биття, має вигляд:

 

 

ω

 

 

x =

2Acos

t

cosωt .

(5.8)

2

 

 

 

 

 

Зміна х визначатиметься частотою ω, а вираз під знаком модуля міняється поволі і визначає амплітуду биття. Знак модуля поставили тому, що амплітуда за визначенням величина додатна.

Таким чином, биття можна розглядати як майже гармонічне коливання з поволі змінною амплітудою. Графік функції (5.8) наданий на рис. 5.4. Амплі-

туда A(t) = 2Acos 2ωt характеризує розмах коливань при битті. Циклічна час-

тота Δω називається циклічною частотою биття. Період биття

Рисунок 5.4

T =

2π

.

(5.9)

б ω

Биття використовують для вимірювання частоти коливань шляхом їх порівняння з частотою еталонних коливань, наприклад, при настройці музичних інструментів.

20

Коливання

5.3 Додавання взаємно перпендикулярних коливань

Додавання взаємно перпендикулярних коливань можна спостерігати на прикладі кульки, яка закріплена на пружинах у вагоні (рис. 5.5). Кулька коливається на пружинах уздовж напряму руху вагону і разом з вагоном коливається на ресорах перпендикулярно напряму руху.

а). Нехай точка здійснює гармонічні коливання однієї і тієї ж частоти, які відбуваються уздовж координатних осей х і у. Початок відліку виберемо так, щоб початкова фаза першого коливання була рівною нулю. Тоді рівняння коливань запишуться таким чином:

Рисунок 5.5

x = A1 cosωt

 

 

y = A cos(ωt + α),

(5.10)

 

2

 

де α = ϕ02 − ϕ01

– різниця фаз коливань, що складаються. Ці два рівняння

складають систему, яка задає траєкторію руху в параметричній формі. Щоб отримати рівняння траєкторії у звичайній формі, виключимо з (5.10) параметр t. З першого рівняння

отже

y

A1

A 2

A 1

x

A2

Рисунок 5.6

cosωt =

x

,

 

 

 

 

 

 

(5.11)

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

x

2

 

sin ωt =

1 cos

ωt =

 

 

. (5.12)

 

1

A

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

З другого рівняння системи (5.10) за формулою косинуса суми маємо:

y = cos(ωt + α)= cosωt cosα − sin ωt sin α.(5.13)

A2

У вираз (5.13) підставимо замість sin ωt і cosωt їх значення за формулами (5.11) і (5.12). У результаті отримаємо:

A1

y

y

x

 

 

x

2

 

 

 

A

= A

cosα −

 

A

 

(5.14)

 

 

1

sin α.

A2

 

2

1

 

 

1

 

 

 

Після математичних перетворень це рів-

 

A1

 

x

няння можна привести до вигляду (спробуйте

 

A 2

виконати це самостійно):

 

 

 

 

Рисунок 5.7

x2

+ y2

2xy cosα = sin2 α.

(5.15)

A2

A2

A1 A2

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

21

Коливання

З аналітичної геометрії відомо, що рівняння (5.15) є рівнянням еліпса, осі якого орієнтовані відносно координатних осей x і у довільно.

Розглянемо деякі окремі випадки.

1. Різниця фаз коливань, що складаються α = ϕ = 0 . У цьому разі рівняння (5.15) набуває такого вигляду:

 

x

 

y

2

 

 

 

= 0.

A

A

 

 

 

1

 

2

 

 

Знього випливає рівняння прямої, що проходить через початок координат

ілежить у I і III чвертях (рис. 5.6)

 

y =

 

A2

 

x .

 

(5.16)

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2. Різниця фаз коливань, що складаються α =

ϕ = ±π.

Рівняння (5.15) прийме вигляд:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0.

 

 

A

+ A

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

Знього випливає рівняння прямої, що проходить через початок координат

ілежить у II і IV чвертях (рис. 5.7):

 

y = −

 

A2

 

x .

 

(5.17)

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

π .

3. Різниця фаз коливань, що складаються α =

ϕ = ±

Рівняння (5.15) переходить в наступне:

 

2

 

 

 

x2

+

 

y2

=1,

 

(5.18)

 

A2

 

A2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

тобто в канонічне рівняння еліпса. Піввісь еліпса дорівнює відповідним амплітудам. Якщо A1 = A2 = R то еліпс вироджується в коло

 

 

 

y

π

 

 

A

2

α= − 2

 

 

A1

A1

 

2

π

α= 2

 

 

 

A

 

 

Рисунок 5.8

 

 

x2 + y2 = R2 .

(5.19)

 

Випадки α=π/2 і α=Δφ=−π/2 відрізня-

 

ються напрямом руху за еліпсом або колом

x

(рис. 5.8).

 

Якщо точка одночасно

коливається в

двох взаємно-перпендикулярних напрямах так, а частоти відносяться як цілі числа (тобто частоти кратні), то вона рухатиметься уздовж замкненої кривої, форма якої залежить від відношення амплітуд A2 A1 , кратності

22

Коливання

частот ω2 ω1 і різниці початкових фаз ϕ.

Такі замкнені траєкторії точки, що одночасно здійснює гармонічні коливання у двох взаємно перпендикулярних напрямах, називаються фігурами Ліссажу*. Фігури Ліссажу вписуються в прямокутник, сторони якого паралельні осям координат 0x і 0y і дорівнюють відповідно 2А1 і 2А2.

Відношення частот ωy ωx дорівнює відношенню числа точок дотикання

фігури Ліссажу до відповідних горизонтальних і вертикальних сторін прямокутника, в який вона вписана.

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

A 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

*

 

 

A 1

 

 

 

 

 

 

A 2

ϕ1 −ϕ2 =π2

Рисунок 5.9

основі досить зручного зами коливань, а також

ωy

=

n

x

.

(5.20)

ωx

 

 

 

ny

 

Приклад:

Число точок дотикання фігури з гори- A1 x зонтальними сторонами: nx=4, число точок дотикання з вертикальними сторонами: ny=2

(рис. 5.9). Відношення частот

ωy = 4 = 2 .

ωx 2

Спостереження фігур Ліссажу лежить в методу дослідження співвідношень між частотами і фаформи коливань.

§6 Згасаючі коливання

Уреальних фізичних системах, що беруть участь в коливальному русі, завжди присутні сили опору (внутрішнє тертя, опір середовища, втрати енергії за рахунок нагрівання провідників і т. п.), дія яких зменшує енергію системи. Зменшення енергії приводить до згасання коливань.

6.1Згасаючі коливання пружинного маятника

Уреальних умовах на кульку маси m, що здійснює коливання уздовж осі 0x під дією сили пружності, діє також сила опору. Припустимо, що це сила вязкого тертя. При малих швидкостях вона пропорційна швидкості:

F = −r v = −r dx ,

(6.1)

c

dt

 

де r – коефіцієнт опору. Знак ““ обумовлений тим, що сила і швидкість мають протилежні напрями. У цьому випадку другий закон Ньютона запишеться у вигляді:

kx r

dx

= m

d 2 x

.

(6.2)

dt

dt2

 

 

 

 

________________________________________________________________________________

*Ліссажу Жан Ентуан (1822–1880), французький фізик.

23

Коливання

Розділивши обидві частини отриманого рівняння на m, перепишемо його таким чином:

 

d 2 x

+

r dx

+

 

k

x = 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt 2

 

m dt

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

або

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

&&

 

 

&

 

 

де позначено:

 

 

x + 2βx + ω0 x = 0 ,

 

r

 

 

 

 

 

 

 

k

 

β =

 

,

 

 

 

 

 

ω02 =

.

2m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

(6.2а)

(6.3)

Величину β називають коефіцієнтом згасання. Нагадаємо, що ω0 – власна частота коливань, тобто частота, з якою здійснювалися б вільні коливання за відсутності тертя.

Рівняння (6.3) називають диференціальним рівнянням згасаючих коливань. Розв’язок рівняння (6.3) залежить від співвідношення між коефіцієнтом згасання β і власною частотою ω0. Якщо загасання невелике (β<ω0), то його розв’язок має вигляд:

x(t)= A e−βt

cos(ωt + ϕ

0

),

(6.4)

0

 

 

 

 

де ω = ω2

−β2

,

 

 

(6.5)

0

 

 

 

 

 

ω – частота згасаючих коливань.

Згідно (6.4) рух маятника можна розглядати як коливання з частотою ω і амплітудою А, яка змінюється згідно із законом

Рисунок 6.1

A = A(t)= A e−βt .

(6.6)

0

 

Графік функції x(t) наведений на рис. 6.1.

6.2 Згасаючі коливання в коливальному контурі

Всякий реальний контур (рис. 6.2) має активний опір (R0). Енергія, яка запасена в контурі, витрачається в цьому опорі на нагрівання, тому вільні коливання згасають.

R

C

L

Рисунок 6.2

Отримаємо диференціальне рівняння згасаючих коливань, використовуючи закон збереження енергії. Втрати енергії дорівнюють кількості тепла, що виділяється на активному опорі:

d(Wел +Wм )= δQ .

(6.7)

Знак “–“ перед диференціалом означає, що енергія зменшується.

24

Коливання

Згідно (4.18) і (4.19):

 

 

q2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

W

 

=

,

 

 

 

W =

LI

.

 

 

2C

 

 

 

2

 

 

ел

 

 

 

 

 

м

 

 

За законом Джоуля Ленца

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

δQ = I 2 Rdt .

 

 

 

(6.8)

Записані співвідношення підставимо в (6.7) і знайдемо диференціал:

1

 

 

 

 

L

 

 

= I 2 Rdt .

 

 

 

 

2qdq +

 

2IdI

 

(6.9)

 

2

 

2C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розділивши (6.9) на добуток Ldt і врахувавши, що

 

 

 

 

 

I =

dq

,

 

 

 

 

 

 

 

dI

 

=

d 2q

,

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

dt2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отримаємо диференціальне рівняння другого порядку:

 

 

 

 

d

2q

+

 

R dq

+

 

1

 

q

= 0

(6.10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

або

 

 

dt 2

 

L dt

 

LC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&&

 

 

&

 

 

 

= 0 ,

 

 

 

(6.11)

де

 

q

+ 2βq + ω0 q

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

β =

,

 

 

 

 

 

 

ω02

=

 

 

.

 

2L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

LC

 

 

Рівняння (6.11) за своїм виглядом співпадає з диференціальним рівнянням (6.3) для згасаючих механічних коливань. Якщо згасання невелике (β <ω0 ), то

його рішення має вигляд:

 

 

 

q(t) = q0e−βt cos(ωt + ϕ0 ),

(6.12)

де

ω = ω02 − β2

(6.13)

частота згасаючих коливань.

 

 

Графік функції q(t) має той же вигляд, що і x(t) (див. рис. 6.1).

 

6.3 Основні характеристики згасаючих коливань

Величинами, які характеризують згасаючі коливання, є:

1. Коефіцієнт згасання (β) – скалярна фізична величина, що характеризує швидкість згасання.

[β]=1/с.

Для механічних коливань

β =

r

.

(6.14)

 

 

2m

 

25

Коливання

Для електромагнітних коливань

β =

R

.

(6.15)

 

 

2L

 

Чим більше коефіцієнт згасання, тим швидше зменшується амплітуда

(рис. 6.3).

2. Час релаксації (τ) – час, протя-

гом якого амплітуда коливань зменшується в е =2,71828... раз (е – основа натуральних логарифмів).

Знайдемо звязок між β і τ. Амплітуда згасаючих коливань зменшується згідно із законом (6.6)

 

Рисунок 6.3

 

 

 

 

 

 

A(t) = A e−β t .

 

 

 

 

 

 

 

 

0

Якщо t = τ то A(τ) =

A0

. Зробимо підстановку:

 

e

 

 

 

 

A0

 

 

 

 

 

 

 

 

= A e−βτ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

0

 

 

Звідси βτ =1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

τ =

(6.16)

 

 

 

 

 

 

 

β

 

3. Логарифмічний декремент згасання (λ) – безрозмірна величина,

кількісна характеристика швидкості згасання коливань, що чисельно дорівнює натуральному логарифму відношення двох наступних однієї за одною амплітуд A(t) і A(t +T ) в одну і ту ж сторону (див. рис. 6.1)

λ = ln

A(t)

(6.17)

A(t + T )

Встановимо звязок між логарифмічним декрементом згасання і коефіцієнтом згасання.

Ae−βt

λ= ln A0e0−β(t +T ) = ln eβT = βT .

λ =βT .

(6.18)

Середні значення логарифмічних декрементів деяких систем приведені в таблиці 6.1.

4. Число коливань за час релаксації Ne.

Ne =

τ

=

1

=

1

.

(6.19)

T

βT

 

 

 

 

λ

 

26

Коливання

5. Добротність коливальної системи (Q) – безрозмірна фізична ве-

личина, яка характеризує резонансні властивості лінійної коливальної системи, що дорівнює добутку 2π на відношення енергії W(t) коливань системи в даний момент часу t до втрат енергії за один період Т:

Q = 2πW (t) , (6.20)

WT

де WT =W (t) W (t + T ) .

Якщо згасання невелике, то можна вважати, що

Q =

π .

(6.21)

 

λ

 

Великим значенням Q відповідає слабке згасання. Типові значення добротності деяких систем приведені в таблиці 6.1.

Таблиця 6.1. Середні значення логарифмічних декрементів згасання λ і типові значення добротності Q деяких систем

Коливальна система

Декремент згасання, λ

Добротність, Q

Радіоконтури звичайні

0,02 ÷ 0,05

10 ÷ 100

Камертон

0,001

100

Кварцова пластинка

10−4 ÷ 10−5

2·10

НВЧ резонатори

10−3 ÷ 10−4

103 ÷ 104

Оптичний резонатор

10−6 ÷ 10−7

106 ÷ 107

Сейсмічні хвилі

 

25 ÷ 1400

Струна (скрипка, рояль)

 

1000

6. Енергія коливань. Оскільки енергія коливань пропорційна квадрату амплітуди (див. формулу (4.4)), то закон зміни енергії при згасаючих коливаннях прийме вигляд:

W (t) =W e2βt

,

(6.22)

 

0

 

 

 

 

де відповідно до (4.4):

kA2

 

 

 

 

 

 

 

W =

0

.

(6.23)

 

0

2

 

 

 

 

 

 

 

6.4 Аперіодичний процес

Розглянемо, яким буде характер руху при великих коефіцієнтах згасання. Згідно з (6.5) частота згасаючих коливань:

ω = ω02 − β2 ,

T =

2π

.

 

 

 

ω

Якщо β = ω0 , то частота згасаючих коливань обертається в нуль, а період

– в нескінченність, тобто, рух перестає бути періодичним.

27

Коливання

Якщо β > ω0 , то рух носить аперіодичний (неперіодичний) характер. Це

означає, що виведена з положення рівноваги система повертається в положення рівноваги, не здійснюючи коливань.

x

На рис. 6.4 наведені графіки

1

зміни координати при аперіодичному

 

процесі залежно від початкових умов:

x

 

2

 

1 – напрям відхилення і напрям

0

 

 

початкової швидкості співпадають;

 

 

 

 

2 – напрям відхилення і напрям

 

 

 

t

початкової швидкості протилежні,

 

 

 

 

3

 

але швидкість маленька;

 

 

3 – напрям відхилення і напрям

Рисунок 6.4

початкової швидкості протилежні.

Таким чином, при

β ≥ ω0

коли-

 

вальна система переходить до аперіодичного процесу.

На практиці нерідко виникає завдання погашення коливань у момент їх виникнення (наприклад, коливання стрілки вимірювального приладу, коливань кузова автомобіля). Пристрої, які дозволяють збільшити згасання коливальної системи, називаються демпферами або амортизаторами.

§7 Вимушені коливання

Щоб викликати вимушені коливання потрібно надавати на систему зовнішню дію, що періодично змінюється.

7.1 Вимушені механічні коливання

Як коливальну систему розглянемо пружинний маятник, що здійснює коливальний рух уздовж осі 0x (див. п. 3.1). Змінна зовнішня сила, що прикладена до системи і викликає її механічні коливання, називається змушуючої силою. Нехай змушуюча сила змінюється згідно із законом

F(t) = F0 cos Ωt ,

(7.1)

де Ω – частота змушуючої сили, а F0 – її амплітудне значення. Окрім змушуючої сили на маятник діють також ті сили, що і при вільних коливаннях, тобто квазіпружна сила і сила опору (див. п. 6.1). Запишемо другий закон Ньютона:

kx r

dx

+ F

cosΩt = m

d 2 x

.

 

 

 

dt

0

 

dt2

 

 

 

 

 

Розділивши це рівняння на m, перепишемо його у вигляді:

d 2 x

 

r dx

 

k

 

F

 

 

 

+

 

 

 

+

 

x =

0

cosΩt ,

(7.2)

dt2

m dt

m

m

 

 

 

 

 

28