Свойства бинарных отношений

Пусть  задано на множестве X,   Х²

Рефлексивность:  х  Х х  х .

Антирефлексивность: х Х х  х.

Нерефлексивность:  х  Х (x, x)  .

Симметричность:  х, y  Х х  y => y  х.

Антисимметричность:  х, y  Х х  y, y  х x = y.

Транзитивность:  х, y, z  Х х  y, y  z => x  z.

Отношение порядка– антисимметрично, транзитивно.

Отношение нестрого порядка() - рефлексивно, антисимметрично, транзитивно.

Отношение строгого порядка() - антирефлексивно, антисимметрично, транзитивно.

В отношениях полногопорядка все элементы сравнимы между собой, а в отношенияхчастичногопорядка не все элементы сравнимы между собой.

Отношение эквивалентности(  ) - рефлексивно, симметрично, транзитивно.

Класс эквивалентностидлях:[ x ]= {yХ|xy }.

Обратноеотношениеполучается путём перестановки значений в парах исходного отношения.

Композиция отношенийи  - отношение, состоящее из пар ○  = {(x,z)|х у,y z }

Например:

Отношения изаданы на множестве Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6,}.

 = {(1,4), (2,5), (3,6), (4,1), (6,3)},

 = {(1,1), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,6)}.

Область определения D_ = {1, 2, 3, 4, 6}.

Область значений J _ = {1, 3, 4, 5, 6}.

Обратное отношение ^-1 = {(4,1), (5,2), (6,3), (1,4), (3,6)}.

Отношение  -антирефлексивно, не симметрично, не транзитивно.

Область определения D_ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Область значений J _ = {1, 3, 4, 5, 6}.

Отношение  -не рефлексивно, антисимметрично, не транзитивно.

Композиция ○ = {(1,5), (2,6), (3,6), (4,1), (6,4)}.

Например:

Отношение = { (x, y) | сравнение по модулю m, x,yN }.

Отношение сравнения по модулю m на множестве натуральных чисел: x = y mod m, что означает x и y имеют одинаковый остаток при делении на m (классы вычетов по модулю m).

Отрезок натурального ряда N₄={1,2,3,4}.

Отношение сравнения по модулю 2 на N₄ :

 = { (1,1),(1,3),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(4,2) ,(4,4)}.

Область определения D_= {1, 2, 3, 4}.

Область значений J _= {1, 2, 3, 4}.

Отношение - рефлексивно, симметрично, транзитивно.

Отношение - отношение эквивалентности.

Классы эквивалентности: [ 1 ]={ 1,3 }=[ 3 ]

[ 2 ]={ 2,4 }=[ 4 ].

Например:

Отношения изаданы на множестве N_{4 .}

 ={ (1,2), (2,3), (1,3), (3,4), (2,4), (1,4) }

={ (1,1),(2,2),(3,3),(4,4) }.

Область определения D_= { 1, 2, 3 }.

Область значений J _= { 2, 3, 4 }.

Отношение - антирефлексивно, антисимметрично, транзитивно.

Отношение - отношение строгого порядка.

Область определения D_= { 1, 2, 3 ,4 }.

Область значений J _= { 1, 2, 3, 4 }.

Отношение  - рефлексивно, симметрично, антисимметрично, транзитивно.

Отношение - отношение нестрогого частичного порядка.

Отношение - отношение эквивалентности.

Классы эквивалентности: [ 1 ]={ 1}

[ 2 ]={ 2 }

[ 3 ]={ 3 }

[ 4 ]={ 4 }.