Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции по ДС.doc
Скачиваний:
14
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
1.19 Mб
Скачать
  1. Композиция машины Тьюринга

Вышеперечисленные способы описания МТ практически можно использовать только для несложных алгоритмов, т.к. для сложных описание становится слишком громоздким. Точно так же описание рекурсивных функций только с помощью простейших функций и операторов суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации было бы чрезвычайно громоздким. Поэтому примитивная или частичная рекурсивность функции доказывается с использованием других функций, примитивная или частичная рекурсивность которых уже доказана.

Аналогично этому, машины Тьюринга для сложных алгоритмов могут строиться с использованием уже имеющихся МТ. Такое построение называется композицией МТ.

Опишем 4 основных способа композиции МТ :

- последовательная композиция ( суперпозиция );

- параллельная композиция;

- разветвление

- цикл

Последовательной композицией машин и , вычисляющих словарные функции и в алфавите А , называется машина Т , вычисляющая функцию . Последовательная композиция изображается следующим образом :

T1

T2

и обозначается .

Последовательная композиция используется обычно для описания линейных участков алгоритмов.

Доказательство теоремы о возможности построения машины T , являющейся последовательной композицией двух произвольных машин и осуществляется путем отождествления заключительного состояния с начальным состоянием .

Пример 3. Построить алгоритм умножения 2*Х в унарном коде с использованием машины копирования , переводящей слово  в слово * и машины сложения . Искомая МТ выглядит следующим образом :

Параллельной композицией машин и , вычисляющих словарные функции и в алфавитах А и В соответственно, называется машина Т , вычисляющая словарную функцию . Здесь знак используется для разделения слов при параллельной композиции МТ.

Т

Параллельная композиция МТ и изображается следующим образом :

и обозначается : .

Фактически параллельная композиция двух МТ получает на вход слово, состоящее из 2-х слов в разных алфавитах и на выходе выдает слово , состоящее из 2-х слов , т.е. представляет собой две одновременно и независимо работающие машины.

Для реализации параллельной композиции используется машина с двухэтажной лентой. Необходимость в этом вызвана тем, что вычисление и во времени происходит последовательно, и , вычисленная , например, первой, может потребовать больше места, чем , и испортить слово . Машина с двухэтажной лентой работает следующим образом : слово  переписывается на второй этаж и стирается на первом, вычисляется на первом этаже, вычисляется на втором этаже и затем переписывается на первый этаж, возможно, со сдвигом.

Для реализации параллельной композиции n машин используется nэтажная лента.

Команда МТ с двухэтажной лентой записывается следующим образом :, где - буквы, записанные соответственно на первом и втором этажах.

Пример 4. Реализовать параллельную композицию машин и , вычисляющих функции в двоичной системе счисления и a + b в унарной системе.

Входное слово имеет вид : .

Опишем работу МТ системой команд :

Движение вправо до слова 

Перезапись слова  на второй этаж

Движение влево до слова 

Прибавление 1 к числу Х.

Движение вправо к слову .

Перепись  на 1-й этаж с одновременным сложением чисел a и b .

Стирание младшей 1 в слове .

В данном примере реализацию композиции можно было бы осуществить и с одноэтажной лентой, но он служит также для иллюстрации способа построения МТ с двухэтажной лентой.

На конкретных примерах входных данных самостоятельно покажите функционирование описанной МТ в виде последовательности конфигураций.

Разветвление в композиции МТ. Если заданы машины и , вычисляющие словарные функции и , и машина , вычисляющая некоторый предикат P() с восстановлением ( т.е. без стирания слова ) , то для реализации разветвления может быть построена машина Т , вычисляющая функцию :

Разветвление машин Тьюринга на схемах композиции изображается следующим образом :

=’и’



=’л’

и обозначается , Здесь  - результат работы машины , принимающий значения «и» (истина) и «л» (ложь).

Машина Т представляет собой последовательную композицию машин и ; система команд машины имеет вид :

где - начальные состояния машин соответственно. Команды в фигурных скобках, добавленные к системе команд и , как раз и реализуют передачу управления одной из машин , по результату работы машины .

Цикл в композиции МТ реализуется по тем же принципам что и разветвление. Циклическим будем считать следующий алгоритм :

« пока P()=’ истина ’, выполнять  », где  - слово на ленте перед первым выполнением Т и после очередного выполнения Т.

Для реализации такого цикла используется следующая схема :

=’л’



=’и’

Машина выделяет из слова  слово , которое является результатом работы всей композиции при =л.

Пример 5. Построить композицию МТ для реализации алгоритма умножения двух чисел x и y , заданных в унарном коде.

Для построения композиции вначале составим блок-схему алгоритма (рис 3.2.).

=’л’

=’и’

Рис 3.3 Композиция МТ, вычисляющая

Здесь - вычисляет с восстановлением предикат ;

- стирает все непустые символы на ленте ( Z=0);

- выполняет операцию сложения Z+X в унарном коде;

- уменьшает Y на 1 ( стирает самый левый символ 1);

- конечное состояние всей МТ.

Следует отметить, что во всех случаях в начале алгоритма нужно вставлять проверку исходных данных на особые значения ( чаще всего на 0 ), несоблюдение этого требования может привести к зацикливанию.

Композиция МТ может применяться для построения сложных алгоритмов. Возникает вопрос : всякий ли алгоритм можно реализовать в виде композиции МТ ? Ответ на этот вопрос дает Тезис Тьюринга , аналог тезиса Черча : всякий алгоритм может быть реализован с помощью машин Тьюринга и наоборот, всякий процесс, реализуемый машиной Тьюринга, является алгоритмом.

Тезис Тьюринга не является теоремой, доказать его невозможно, т.к. он содержит неформальное понятие « алгоритм ». Однако многолетняя математическая практика является надежным подтверждением этого тезиса : за 50 лет не было найдено алгоритма в интуитивном смысле, который нельзя было бы реализовать с помощью машин Тьюринга.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]