Лабораторная работа № 5.

Тема. Программирование задач аналитической геометрии.

Цель работы: освоить на практике методы разработки алгоритмов и их программной реализации при решении задач с геометрическими объектами разного порядка.

Общие положения.

Множество материальных точек задается совокупностью координат и масс. При этом масса материальной точки всегда положительное число.

Центр тяжести множества материальных точек Gв трехмерном пространстве:

G=(X_g, Y_g, Z_g)– имеет координаты:

;;;

где m_i – массаi-ой точки.

Расстояние между двумя точками и:.

Прямая, проходящая через две точки на плоскости иописывается общим уравнением вида, где,,.

Отклонение точки Р от прямой будет:

и если d<0, то точка Р находится справа от прямой, при d>0 – слева от прямой, при d=0 – лежит на прямой, а за направление прямой условно принимаем направление от точки к точке.

Расстояние от точки Р до прямой будет:.

Координаты точки Р пересечения двух прямых и:

;, где;;.

Точка Р лежит внутри треугольника АВС, если она находится по одну сторону от прямых АВ, ВС и СА.

Треугольник с длинами a, b, c {c=max(a, b, c))}, тогда:

• прямоугольный, если c²=a²+b²;

• остроугольный, если c²<a²+b²;

• тупоугольный, если c²>a²+b².

Варианты заданий.

1. Из заданного множества точек определить выбрать такие из которых можно построить остроугольный треугольник максимальной площади.

2. Из заданного на плоскости множества точек найти такую, сумма расстояний от которой до остальных максимальна.

3. Построить два треугольника с вершинами в заданном множестве точек на плоскости так, чтобы один из них находился внутри другого.

4. Из заданного множества точек на плоскости выбрать три различные точки так, чтобы внутри треугольника вершинами которого являются эти точки, содержалось максимальное количество точек из заданного множества.

5. В трехмерном пространстве заданно множество материальных точек. Найти ту из них, которая наиболее близко расположена к центру тяжести этого множества.

6. На плоскости заданы множество точек Аи точкаDвне его. Подсчитать количество (не упорядоченных) различных троек точекa, b, cизАтаких, что четырехугольникabcdявляется параллелограммом.

7. На плоскости заданы множество точек А и точка D вне его. Найти в А две такие точки a и b, чтобы треугольник abd имел максимальную площадь.

8. На плоскости задано множество окружностей. Выбрать среди них окружность, пересекающуюся с максимальным количеством других окружностей.

9. На плоскости заданы множество точек Аи точкаdвне его. Определить количество прямых, проходящих через две различные точки множества А и точкуd.

10. Из заданного множества точек на плоскости выбрать две различные точки таким образом, чтобы по отношению к прямой, проходящей через эти точки, максимальное количество остальных точек располагалось справа от нее.

11. Даны два множества точек на плоскости. Из первого множества выбрать три различные точки так, чтобы треугольник с вершинами в этих точках содержал внутри себя максимальное количество точек второго множество.

12. Построить множество всех различных прямоугольных треугольников с вершинами в заданном множестве точек на плоскости и определить среди них треугольники с максимальной и минимальной площадью.

13. Из заданного множества точек на плоскости выбрать три, образующих треугольник максимального периметра.

14. В трехмерном пространстве задано множество материальных точек. Точка с максимальной массой исчезает, теряя десятую часть своей массы и раздавая оставшуюся часть своей массы поровну всем остальным точкам. Определить насколько изменится центр тяжести множества когда в нем останется половина от начального количества точек.

15. В трехмерном пространстве задано множество материальных точек. Отсортировать это точки в порядке удаления их от центра тяжести этого множества.