10.1. Составить уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой m , а прямая l является касательной к окружности. Написать уравнения верхней полуокружности, нижней, правой, левой.

Для построения окружности необходимо знать центр окружности и радиус.

Центр окружности нам задан, а радиус окружности – это расстояние от центра к касательной.

Найдем расстояние от точки M до прямой L.

, где

A = 2, B = 3, C = 1

Составим уравнение окружности

Ответ:

10.2. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах данного эллипса, а третья – в центре окружности.

Для нахождения площади треугольника необходимо найти его три точки. Эти точки можно получить, если привести уравнения кривых к каноническому виду.

По одному только виду трудно сразу сказать, к какому типу кривой принадлежит уравнение. Сначала его необходимо привести к каноническому виду.

–уравнение окружности

–одну точку нашли

Приведём к каноническому виду уравнение

–уравнение эллипса

Найдём фокусное расстояние

Так как параметр , то эллипс расположен вдоль оси OY:

Мы получили три точки треугольника, найдём его площадь

, ,.

Ответ: 10.

Примечание. Всегда нужно смотреть на соотношение коэффициентов a и b. Если a > b, то эллипс (гипербола), вытянута по горизонтали и фокусы, соответственно, на горизонтальной прямой. Если a < b, то вытянута по вертикали.

10.3. Найти уравнения гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах данного эллипса.

Приведём уравнение к каноническому виду

, .

Найдём фокусы эллипса

Теперь рассмотрим для гиперболы

,

Найдём параметр b гиперболы

Составим уравнение гиперболы

Ответ:

10.4. Составить каноническое уравнение параболы, фокус которой лежит на оси OX слева от начала координат, а параметр P равен расстоянию от фокуса данной гиперболы до асимптоты.

Приведём к каноническому виду уравнение гиперболы

Получим:

Гипербола имеет две асимптоты, но расстояние от любого фокуса до любой из них одинаково.

Асимптота проходит через начало координат и точку (a, b)

Составим уравнение прямой

Составим уравнение параболы, следует также учесть что, по заданию фокус лежит на оси ОХ, слева от начала координат.

Ответ: .

10.5. Составить каноническое уравнение параболы, фокусы которой совпадают с фокусами данного эллипса. Написать уравнение директрисы.

Приведём к каноническому виду

Фокус параболы находится

Отсюда находим параметр P.

Составим уравнение параболы

Составим уравнение директрисы. Директриса – это прямая, в данном случае вертикальная.

Уравнение директрисы

Ответ: ,

11. Полярная система координат

11.1. Построить в полярной системе координат кривую. Написать ее уравнение в декартовых координатах.

Составим таблицу соответствий и построим график данной функции

	0	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165	180
	1	0.5	0.13	0	0.13	0.5	1	1.5	1.87	2	1.87	1.5	1

Это график кардиоиды.

Напишем уравнение функции в декартовых координатах.

Если полюс полярной системы координат находится в начале прямоугольной системы координат, а положительная ось ОХ совпадает с полярной осью, а ось ОУ перпендикулярна ОХ, то зависимость между координатами следующая:

–в заданной функции содержится синус, который можем выразить из формулы и подставить в исходную функцию:. Заменими получим функцию, заданную в полярной системе координат в неявном виде.

Ответ: .

0