Линейная алгебра Определители
Примеры решений Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
Составитель: Смирном А. Н.
Издание первое, 2014.
Оглавление
Линейная алгебра
1. Определители 2
2. Матрицы 4
3. Решение систем линейных уравнений 8
4. Ранг матрицы. Разрешимость систем 12
5. Линейное пространство 17
6. Векторная алгебра 28
Аналитическая геометрия
7. Плоскость в пространстве 39
8. Прямая в пространстве 43
9. Прямая на плоскости 48
10. Кривые второго порядка 53
1
1.
Полярная система координат 58
Линейная алгебра
Определители
1.1. Вычислить определитель второго порядка
Ответ: 5
1.2. Вычислить определитель третьего порядка
Способ 1. Метод треугольника
Ответ: 184
Способ 2. Метод раскрытия по строке (или столбцу). Раскроем по второй строке.
Ответ: 184
1.3. Вычислить определитель четвертого порядка, преобразовав его так, чтобы три элемента некоторого ряда равнялись нулю, и разложить полученный определитель по элементам этого ряда.
И
спользуя
свойства определителей, его нужно
преобразовать так, чтоб в каком, либо
столбце или строке стало три элемента
нуля.
В данном задании проще всего к такому виду привести вторую строку, т.к. в ней уже содержится один ноль, а остальные числа не большие и удобны для преобразования.
Т
еперь
во второй строке появилось два нуля.
Далее, ко второму столбцу прибавим
четвёртый, умноженный на два.
К первому столбцу прибавим четвёртый, т.е. почленно прибавим элементы четвёртого столбца к элементам первого.
Теперь во второй
строке появилось три нуля. То, ч
то
и требовалось сделать. Далее раскроем
данный определитель по второй строке.
Получилось, что в первых трёх определителях множители равны нулю, значит дальше их можно и не раскрывать, т.к. они всё равно обернутся в ноль. Раскроем только определитель в четвёртом слагаемом и найдём его значение.
Ответ: -51
1.4. Решить неравенство (или уравнение) с определителями
Для его решения необходимо раскрыть определители и решить обычное неравенство (или уравнение).
Упрощаем
Ответ:
Матрицы
2.1. Операции над матрицами.
Дано матрицы
,
,
,
Выполнить операции
a)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
Примечание:
,
перестановка не тождественна.
з)
2.2. Найти обратные матрицы
а) Обратная матрица
второго порядка
,
Союзная матрица
Находим ответ
Ответ:
б) Обратная матрица
третьего порядка
.
Способ 1. Метод миноров.
Этот метод заключается в составлении союзной матрицы и в дальнейшем делении её на определитель матрицы.
,
В матрице C в нижнем ряду два нулевых элемента, так что будет проще раскрыть определитель по этой строке.
Союзная матрица
Способ 2. Метод Гаусса.
Расширим исходную матрицу единичной матрицей и методом Гаусса преобразуем исходную матрицу в единичную. Расширение матрицы и будет обратной матрицей.
Дальнейшая последовательность действий приводится без объяснений
Ответ совпал с предыдущим методом.
Ответ:
