7. Плоскость в пространстве

Даны четыре точки: A(1, -1, 2), B(2, -1, 1), C(-1, -2, 0), D(0, 1, 1) составить уравнение плоскости:

7.1. Плоскость проходящая через точку А и имеющий нормальный вектор .

Найдём нормальный вектор

Составим каноническое уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярную вектору.

- вектор - нормаль.

Ответ:

7.2. Плоскость, проходящая через точку В параллельно векторам и.

Найдём вектора.

Уравнение прямой, проходящей через M = (x₀, y₀, z₀) и параллельной векторам и. Составим уравнение плоскости через определитель.

Раскроем определитель по первой строке.

Ответ:

7.3. Плоскость, проходящая через точки А и В параллельно вектору .

Найдём вектор

Воспользуемся формулой

Составим определитель и раскроем его.

Ответ:

7.4. Плоскость, проходящая через точки А, В, С.

Воспользуемся формулой

Подставим

Ответ:

7.5. Плоскость, проходящая через точку D параллельно плоскости, проходящей через точки А, В, С.

Мы можем рассматривать искомую плоскость, как проходящую через точку D и параллельную векторам и. Однако можно найти иным, более простым методом.

Плоскость, проходящая через точки А, В, С нам уже известна.

Вектор нормали этой плоскости совпадает с вектором нормали искомой плоскости. Отличия только в параметре (не путайте с точкойD). Этот параметр характеризует расстояние от плоскости до центра координат.

–нормаль

–точка

–параметр

В уравнении Р_АВС заменим параметр D^*, тем самым получим уравнение искомой плоскости.

Ответ:

Примечание. Параметр D характеризует расстояние от плоскости до начала координат в единицах нормального вектора. Т.е. сколько нормальных векторов. Если D с минусом, то плоскость выше начала координат, если с плюсом – то ниже.

7.6. Уравнение плоскости, проходящей через точки c и d перпендикулярно плоскости, проходящей через точки a, b, c.

Если искомая плоскость перпендикулярна плоскости Р_АВС, то она параллельна его нормали. Составим уравнение прямой проходящей через две точки и параллельной вектору.

–нормаль

Ответ:

7.7. Вычислить расстояние от точки D до плоскости, проходящей через точки А, В, С.

Воспользуемся уравнением плоскости, полученным ранее

Применим формулу нахождения расстояния от плоскости до точки.

Ответ:

7.8. Найти угол между плоскостями, проходящими через точки A, B, C и B, C, D.

Угол между плоскостями это угол между нормалями этих плоскостей.

Найдём уравнение плоскости, проходящей через точки B, C, D.

Найдём косинус угла между векторами ичерез скалярное произведение.

Ответ: .

7.9. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно прямой, проходящей через точку А и В.

Нормаль искомой плоскости это -

Составим уравнение плоскости

Ответ:

8. Прямая в пространстве

Немного теории

Канонические уравнения прямой:

Параметрические уравнения прямой

–сонаправленный вектор

Примеры

Даны четыре точки: A(1, -1, 2), B(2, -1, 1), C(-1, -2, 0), D(0, 1, 1)

8.1. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки A, B и C, D. Проверить, будут ли эти прямые параллельны или перпендикулярны между собой.

Для получения канонических уравнений прямой по двум точкам воспользуемся формулой:

Составим для прямой AB:

Из канонических уравнений получим параметрические, введя параметр t.

Составим для прямой CD:

Проверим вектора прямых на коллинеарность и перпендикулярность

,

Скалярное произведение равно нулю, значит они перпендикулярны.

Ответ: прямые перпендикулярны между собой.

Примечание. В одном из канонических уравнений прямой АВ, получился ноль в знаменателе. Это допускается, и означает то, что плоскость параллельна некоторым осям координат.