4.7. Парабола

Парабола есть геометрическое место точек, равноотстоящих от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой (предполагается, что данная точка не лежит на этой директрисе).

Чтобы составить уравнение параболы, примем за ось Ox прямую, проходящую через фокус перпендикулярно к директрисе, и будем считать ее направленной от директрисы к фокусу; за начало координат возьмем серединуотрезка от точкидо директрисы, длину которого обозначим через(рис.4.15). Величинуназываютпараметром параболы. Координаты фокуса F. Обозначим черезкоординаты произвольной точкипараболы. Тогда координаты точкиоснования перпендикуляра, опущенного изна директрису, будут. Так как по определению, то, применяя формулу расстояния между двумя точками, получим уравнение параболы:

Возведем обе его части в квадрат:

или

откуда

. (4.37)

Полученное уравнение параболы называется  каноническим.

Рис.4.15. Парабола.

Уравнению (4.37) удовлетворяют координаты любой точки на параболе и, как можно показать, никакой другой точки. Парабола (4.37) изображена на рис.4.15. Она имеет одну ось симметрии. Точка ее пересечения с этой осью называется  вершиной. Для параболы (4.37), вершиной является начало координат.

Пусть - расстояние от произвольной точкипараболы до ее фокуса, а- расстояние отдо директрисы. Мы имеем:. Поэтому эксцентриситет параболы принимают равным единице. Уравнение директрисы параболы будет:, если оси координат выбраны так, как это показано на рис.4.15.

Если ветви параболы направлены влево, то ее уравнением будет , при этом ее фокусом является точкаа директриса задается уравнением. Если вершиной параболы является точкаа ее ось симметрии параллельна оси абсцисс, то уравнением параболы будет

или

в зависимости от uтого, куда направлены ее ветви. Если же ось симметрии параллельна оси ординат, то парабола задается уравнением

или .

Рассмотрим, например, первое из этих уравнений. Имеем: , откуда, где

Таким образом, мы получаем хорошо знакомое со школы уравнение параболы.

4.8. Классификация кривых второго порядка

Мы видели, что все три рассмотренные линии - эллипс, гипербола, парабола - в декартовой системе координат могут быть представлены уравнениями второй степени. Можно показать, что любому уравнению второй степени с двумя переменными в декартовой системы координат соответствует одна из указанных кривых.

Приведем несколько замечаний по поводу преобразования декартовой системы координат на плоскости.

Пусть даны две декартовы системы координат Oxy и O'XY (рис.4.16). Чтобы задать положение новой системы O'XY относительно старой Oxy, надо знать координаты a и b начала O' новой системы и угол между осями Ox и O'X.

Через x и y будем обозначать координаты точки M в старой системе, а через X и Y - в новой. Требуется выразить старые координаты x и y через новые X и Y и постоянные a, b и .

Рассмотрим два частных случая.

1. Начало координат сдвигается, а направления осей сохраняется ( ). Этот случай нами рассматривался в 3.1.

2. Меняются направления осей, начало же координат остается неизменным (рис.4.17).

Пусть есть угол между осями Ox и OX. Как и раньше x, y - координаты точки M в старой системе, X, Y - в новой.

Рассмотрим векторы . Их сумма равна векторуСледовательно, проекция их суммы на ось Ox, равная сумме

,

но

тогда

. (4.38)

Аналогично, проектируя рассматриваемые векторы на ось , получим, что

. (4.39)

Легко видеть, что при одновременном сдвиге начала координат и повороте координатных осей связь между старыми и новыми координатами точки M выражается формулами:

Вернемся теперь к уравнению второй степени

(4.40)

Очевидно, что замена переменных в этом уравнении не изменяет графика кривой, которую оно задает, но при линейном преобразовании переменных изменяется система координат на плоскости (происходит сдвиг начала координат, изменение масштабов по осям, изменение направлений осей).

Прежде всего покажем, что уравнение (4.40) можно преобразовать так, что в нем не будет содержаться член с произведением переменных. Для этого необходимо повернуть оси на некоторый угол  , величину которого мы определим позже. Итак, пусть .Положим

Подставим эти выражения в уравнение (4.40):

Приводя подобные члены, получим наше уравнение в новых координатах:

где 

Выберем теперь  так, чтобы коэффициент равнялся нулю, т.е. чтобы выполнялось:или

Так как (иначечто противоречит предположению), то из последнего уравнения получаем, что

Зная требуемое значение котангенса2, мы можем определить значения и, необходимые нам для перехода к новым координатам, для этого можно воспользоваться формулами:

.

В результате описанных преобразований наше уравнение (4.40) примет вид:

(4.41)

Поскольку любое уравнение (4.40) с может быть приведено к форме, не содержащей произведения переменных, то будем считать, что уравнение (4.40) имеет вид:

(4.42)

Преобразуем его левую часть следующим образом, выделяя полные квадраты (предполагая, что и):

где

В итоге уравнение (4.42) в предположении, что ипреобразуется в уравнение

(4.43)

Будем предполагать, что , иначе умножим обе части уравнения на (-1).

Если , то мы получаем из уравнения (4.43) линейные уравнения:

Аналогично в случае, когда .

Если , мы получаем уравнение эллипса.

Если получаем уравнение гиперболы, аналогично в случае, когда.

Если и, то уравнение задает мнимое геометрическое место точек (если еще и, то уравнение задает единственную точку (0,0)).

Пусть теперь один из коэффициентов авен нулю. Тогда уравнение (4.42) имеет вид:

. (4.44)

Если то уравнениезадает пару прямых

где eего корни.

Если , то разделив обе части уравнения (4.44) намы получим

обозначив придем к уравнению.

Преобразуем его к виду

или

Перенесем начало координат в точку

.

Полагая

получим уравнение . Это есть уравнение параболы.

Рассмотренными случаями полностью исчерпываются все возможные ситуации с уравнением (4.42). Тем самым мы показали, что уравнение второй степени задает одну из трех кривых: эллипс, гиперболу, параболу. В некоторых случаях оно вырождается в линейные уравнения, но тогда оно перестает быть уравнением второй степени с двумя переменными.