АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2010 Г.

Учебное пособие предназначено для студентов АНО ВПО “Смольный институт Российской академии образования” а, обучающихся по всем специальностям. Оно содержит необходимый материал по вводному курсу дисциплины "Математика" и по ее разделам, посвященным алгебре (линейной, векторной) и аналитической геометрии, изучаемым студентами в первом семестре.

ОГЛАВЛЕНИЕ

 ВВЕДЕНИЕ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Глава 1. Элементы математической логики и теории

 МНОЖЕСТВ

 1.1. Аксиоматический метод  . . . . . . . . . . . . . 13

 1.2. Алгебра высказываний  . . . . . . . . . . . . . . 14

 1.3. Логика предикатов  . . . . . . . . . . . . . . . 17

 1.4. Множества и их элементы . . . . . . . . . . . . 19

 1.5. Операции над множествами  . . . . . . . . . . . . 21

 1.6. Отображения множеств  . . . . . . . . . . . . . . 24

 1.7. Мощность множества  . . . . . . . . . . . . . . . 25

Глава 2. Элементы линейной алгебры

 2.1. Системы линейных уравнений  . . . . . . . . . . . 28

2.2. Матрицы и действия над ними  . . . . . . . . . . 31

2.3. Запись систем в матричной форме и их решение . . 34

2.4. Определители и их свойства  . . . . . . . . . . . 35

2.5. Правило Крамера  . . . . . . . . . . . . . . . . 41

 2.6. Решение системы s линейных уравнений с n неизвестными методом Гаусса  . . . 42

2.7. Теорема Кронекера-Капелли . . . . . . . . . . . . 45

2.8. Обратная матрица  . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.9. Векторное пространство  . . . . . . . . . . . . . 49

Глава 3. Векторная алгебра

 3.1. Система координат на прямой, на плоскости и в пространстве  . . . . . . . . . . . . . 55

 3.2. Векторы и линейные операции над ними  . . . . . . 61

 3.3. Скалярное произведение векторов . . . . . . . . . 66

 3.4. Векторное произведение двух векторов  . . . . . . 67

 3.5. Смешанное произведение трех векторов  . . . . . . 70

Глава 4. Аналитическая геометрия на плоскости

 4.1. Уравнение линии в заданной системе координат  . .72

 4.2. Различные формы уравнения прямой на плоскости . .74

 4.3. Основные задачи на прямую на плоскости  . . . . .78

 4.4. Окружность  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82

 4.5. Эллипс  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

 4.6. Гипербола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86

4.7. Парабола  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

4.8. Классификация кривых второго порядка  . . . . . .90

 4.9. Построение эллипса, гиперболы, параболы . . . . .93

 4.10. Кривые второй степени и конические сечения  . . .95

Глава 5. Аналитическая геометрия в пространстве

 5.1. Поверхности и линии в пространстве  . . . . . . .96

 5.2. Уравнение плоскости в пространстве  . . . . . . .97

 5.3. Основные задачи о положении плоскости . . . . . .101

 5.4. Уравнения прямой в пространстве . . . . . . . . .103

 5.5. Основные задачи о положении прямой. . . . . . . . 105

 5.6. Задачи на взаимное расположение прямой и плоскости  . . . . . . . . . . . . . . . .106

5.7. Цилиндрические и конические поверхности . . . . .107

 5.8. Поверхности вращения  . . . . . . . . . . . . . .108

 5.9. Технические приложения геометрических свойств поверхности . . . . . . . . .113

 ЛИТЕРАТУРЫ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

ВВЕДЕНИЕ

Слово математика происходит от греческого mathema - знание, наука. Расмотрим вопрос о том, чем же она занимается.

Условно все науки можно разделить на три во многом отличные друг от друга группы: естественные, гуманитарные, математические. При этом естественные и гуманитарные науки изучают реально существующие в мире объекты: живую и неживую природу или Вселенную, в которой мы обитаем, человеческое общество и те явления и отношения, которые это общество порождает. Математика же отличается как от естественных так и от гуманитарных наук тем, что здесь полем действия является "математическая вселенная", выдуманная человеком и населенная не существующими в реальном мире абстрактными понятиями и объектами: ведь нигде в природе вы не найдете полностью лишенных толщины линий или каких-то "сомнительных" (они даже так и называются "мнимые") чисел вроде числа i, квадрат которого равен -1. И вполне закономерным является сравнение математики с языком, оперирующим со специально созданными словами (функция, интеграл, вектор, и т.д.), входящими в определенные фразы (называемые определениями, аксиомами, теоремами и т.д.), конструируемые из наших слов по специально выработанным законам.

Однако математический язык вовсе не оторван от реального мира, описываемого естественными и гуманитарными науками, он создан для познания этого мира. Еще Галилей (1564-1642) говорил о тайнах природы и о философии, вскрывающей эти тайны:

"Философия природы написана в величайшей книге, которая всегда открыта перед нашими глазами (я разумею Вселенную), но ее нельзя понять, не научившись сначала понимать ее язык. А написана она на математическом языке, без которого нельзя понять по-челове-чески ее слова: без него - тщетное кружение в темном лабиринте".

Это утверждение в последнее время приобретает все большее число сторонников, поскольку к математике обращаются за помощью представители не только физики и астрономии, но и авиации и космонавтики, производства и строительства, управленцы и транспортники, медики, социологи, агрономы и пр.

Широко известны высказывания о том, что математика является царицей и в то же время служанкой всех наук. Она царица, поскольку является наиболее строгой и точной среди всех других наук. Ее же роль как служанки объясняется тем, что она обслуживает потребности различных областей знаний, используется в разных научных направлениях.

На вопрос о том, что является предметом математики, ответить не так-то просто, и в зависимости от уровня математического образования ответы будут весьма различными. Школьник, только что приступивший к изучению математики, ответит, что математика изучает правила счета предметов. И он будет прав, это важная часть математики, и длительный период истории именно она составляла едва ли не единственный предмет ее занятий. Школьники постарше добавят к сказанному изучение геометрических объектов - линий, фигур, тел, преобразований; старшие школьники - действие перехода к пределу и изучение функций. Лица с высшим техническим образованием не удовлетворятся определениями школьников, они знают, что в состав математики входят теория вероятностей, теория дифференциальных уравнений, оптимизация, математическая статистика и т.д.

Но такого рода ответы уводят в сторону от заданного вопроса.Они просто перечисляют те направления математической мысли, которые имеются в науке. Если бы такой вопрос был задан физику, химику или биологу, то они не стали бы перечислять ветви своих наук, а указали бы те явления природы, которые они изучают. Допустим, биолог сказал бы, что биология изучает различные проявления жизни. При этом, конечно, возникла бы необходимость определить, что такое жизнь и жизненное явление, но все же, такое определение дало бы достаточно полное представление о содержании науки биологии.

Таких явлений природы, которые были бы объектом изучения математики, но не относились бы к явлениям физическим, химическим, биологическим и т.д. нет. Приведем слова А.Я.Хинчина из его статьи "Частотная теория Р.Мизеса и современные идеи теории вероятностей".

"Основной критерий, отличающий естественнонаучную дисциплину от математической, мы видим в том характере определения войственной данной науке области исследования, который является типичным для этих двух категорий научных дисциплин. Каждая естественнонаучная дисциплина определяется материальной спецификой своего предмета, реальными чертами той области действительного мира, которую она изучает. Именно так определяют свой предмет физика, биология, психология. Один и тот же предмет может быть изучаем самыми различными методами, в том числе и математическими; но переходя от одного метода к другому, мы всегда остаемся в пределах данной (естественнонаучной) дисциплины, ибо для нее реальный предмет, а не метод исследования составляет основную специфическую черту ...

Напротив, определяющим признаком всякой математической дисциплины всегда является некоторый формальный метод, потенциально допускающий самые различные материальные воплощения а, следовательно, и практические применения. Может ли быть тот или другой предмет, то или иное явление реального мира исследуемо с помощью данного математического метода - этот вопрос решается не конкретной материальной природой предмета или явления, но исключительно их формальными структурными свойствами и прежде всего теми количественными соотношениями и пространственными формами, в которых они живут или протекают."

Предметом математики является исследование количественных отношений и пространственных форм действительного мира (БСЭ).

Математический результат обладает тем свойством, что он применим при изучении не только какого-то определенного явления или процесса, а может найти использование во многих других, физическая природа которых принципиально отличается от ранее рассматриваемого. Так, правила арифметики применимы и в задачах экономики, и при технических расчетах, и при решении вопросов сельского хозяйства.

В XX веке человечество сделало огромный шаг в познании законов окружающего мира. Так, например, человек вышел в космос, овладел ядерной энергией, создал высокопроизводительные вычислительные машины. Процесс познания действительности осуществляется путем моделирования изучаемых явлений и процессов.

Что такое модель? В самом широком смысле под моделью понимается отражение действительности. Это отражение может реализовываться в разных формах. Мы собираемся рассматривать только модели, сознательно создаваемые человеком. В его распоряжении имеется два типа материалов для их построения: средства самого сознания и средства окружающего материального мира.

Модели, построенные средствами сознания, называются абстрактными (идеальными); построенные средствами окружающего материального мира - материальными (вещественными).

Поскольку модель является отражением действительности, а не самой действительностью, то между ней и реальностью существует различие, которое заключается в том, что модель есть упрощение действительности. При рассмотрении любого реального процесса или явления мы никогда не будем в состоянии учесть все связи и зависимости, присущие этому процессу (явлению).

Поэтому мы, исходя из наших целей и потребностей, из уже имеющихся знаний, выделяем основные связи, основные черты явления, отбрасывая несущественные (при наших целях). В результате в нашем сознании возникает образ реального процесса, его модель. Такое упрощение реальности ведет, конечно, к определенной потере адекватности, но это делает возможным изучение, пусть не всех сразу, но хотя бы некоторых свойств процесса.

Конечно, по мере развития науки и методов построения и анализа моделей, последние становятся все более сложными, в них учитывается все большее число реально существующих зависимостей и элементов, модели становятся все более адекватными, а мы при этом все больше узнаем об изучаемом процессе.

При моделировании очень важным являются вопросы точности, соответствия получаемых с помощью модели результатов действительности. Подчеркнем здесь, что точность моделирования определяется его целью. Например, фотография является прекрасной моделью человека на контрольно пропускном пункте; однако она явно недостаточна (по крайней мере, с позиций традиционной медицины), если речь идет о постановке медицинского диагноза. Другой пример, система мира Птоломея, у которого центром мироздания была Земля, совершенно не соответствует современным космогоническим представлениям; с точки же зрения цели, в соответствии с которой эта модель создавалась - предсказание положения Луны и планет на небе - она была вполне адекватной.

Процесс моделирования очень субъективен, индивидуален. Разные люди, строя модель одного и того же объекта, имея в виду одни и те же цели, могут получить разные модели. Например, художники, рисующие портрет одного и того же человека.

Создаваемые модели являются более или менее адекватными реальности. Модель, адекватная реальности на пределе имеющихся знаний, становится общепризнанной, и появление такой модели знаменует серьезное научное достижение. Например, механика Ньютона явилась механистической моделью мира и для своего времени (а в значительной мере и для нашего) она прекрасно описывала процессы движения и явилась огромным достижением. Но по мере развития науки возникла необходимость в учете тех связей и взаимодействий, которые игнорировались в механике Ньютона. Это привело к созданию квантовой механики.

Процесс моделирования есть диалектическое единство субъективного (о чем мы уже говорили) и объективного. Объективность в моделировании заключается, прежде всего, в объективности моделируемых явлений и процессов, которые существуют независимо от нашего сознания. По мере усложнения модели, т.е. субъективного представления о реальности, модель все более приближается к реальности (к объективности). В этом состоит процесс познания, но понятно, что этот процесс усложнения бесконечен и окончательно совместить модель с ее реальным прообразом мы никогда не сможем, хотя и можем сближать их все более и более.

Итак, мы обсудили понятие модели и ее основные свойства. Вернемся теперь к вопросу о средствах моделирования. Мы в дальнейшем собираемся рассматривать абстрактные модели.

Напомним, что абстрактные модели являются идеальными конструкциями, построенными средствами мышления, сознания. К ним относятся языковые конструкции. (Слово "стол" есть модель объекта, который на русском языке принято так называть). Языковые модели являются конечной продукцией мышления, уже готовой для передачи другим людям, знающим язык. (На более ранних стадиях работы мозга важную роль играют и неязыковые формы мышления - эмоции, интуиция, озарение и т.д.). Нас в дальнейшем будут интересовать модели, предназначенные для общения между людьми, оставив в стороне такие формы общения как искусство, гипноз, телепатия и пр., остановимся на моделях, создаваемых средствами языка.

Естественный язык является универсальным средством построения абстрактных моделей. Его универсальность достигается:

- возможностью введения новых слов,

- возможностью иерархического построения все более развитых языковых конструкций (слово-предложение-текст-...);

- тем, что языковые модели обладают нечеткостью (слово многозначно, под словом "стол" мы понимаем не какой-то конкретный стол, а любой реальный объект, который принято так называть. Если, заказывая в мебельной мастерской, вы ограничитесь только тем, что скажете: "Мне нужен стол",- то этого будет явно недостаточно для выполнения вашего заказа).

Последнее свойство языка позволяет лишь приблизительно отразить ситуацию. Приблизительность - неотъемлемое свойство языковых моделей. Иногда она полезна, иногда мешает.

Практика нас постоянно сталкивает с ситуациями, когда эта приблизительность, неоднозначность языка оборачивается недостатком, который необходимо преодолевать на постоянной основе. Для этого вырабатываются "профессиональные" языки людей, связанных общей для них деятельностью.

Наиболее четко это проявляется на примерах языков конкретных наук. Модели на специальных языках более точны, более конкретны. Наиболее точный в этом смысле - язык математики.

В математическом энциклопедическом словаре дается следующее определение математической модели: математическая модель - приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики.

Отмеченное свойство математических моделей предопределяет широту использования математики и ее методов.

Математический метод исследования, ранее использовавшийся широко лишь в астрономии и физике, в настоящее время нашел многочисленные применения во множестве новых областей знаний и практической деятельности. Без предварительных сложных расчетов теперь не выпустят с завода ни одной мало-мальски сложной машины, не станут модернизировать технологический процесс. При изучении биологических явлений, в том числе в медицине, широко используются математическое моделирование и применяются ЭВМ. Математика стала необходимым орудием познания и прогнозирования; она и ее модели широко применяются в разделах науки (теоретической механике, сопротивлении материалов, начертательной геометрии и т.д.), необходимых выпускникам ВВУЗов.

Математические методы уже давно стали необходимым средством проектирования технических систем. Для того, чтобы построить мост, спроектировать участок дороги, организовать их эксплуатацию необходимо произвести большие объемы различных вычислений, связанных с определением пропускной способности объектов, их прочности, надежности, стоимости, трудоемкости строительства, организацией ремонта и восстановления и т.д. и т.п. Недаром о роли математики в современном познании и практике говорят много и впечатляюще, называя наше время временем математизации знаний. И если физики заявляют, что "математика в современной физике является не просто орудием расчета, без нее невозможно само понимание мира", то то же самое может заявить любая другая область знания. И теперь там, где еще недавно царил чисто качественный подход к изучению явлений, отыскиваются количественные закономерности и применяются строгие математические методы.

Для успешного математического моделирования исследователь должен удовлетворять как минимум двум условиям:

- в совершенстве представлять себе объект моделирования, т.е. быть специалистом в своей предметной области;

- в достаточной степени владеть языком математики, т.е. знать способы и приемы формулирования моделей и представлять себе методы их анализа, по крайней мере знать, для каких классов моделей существуют эффективные методы их анализа.

Остановимся кратко на истории развития математики.

Понимание самостоятельного положения математики как особой науки, имеющей свой предмет и метод, стало возможным только после накопления достаточно большого объема фактического материала и возникло в Древней Греции в 5-6 в. до н.э. Развитие математики до этого времени естественно отнести к периоду зарождения, а 5-6 векам до н.э приурочить начало периода элементарной математики.

В течение этих двух периодов математические исследования имеют дело почти исключительно с весьма малым запасом основных понятий, возникших в связи с простейшими запросами хозяйственной жизни: счет предметов, измерение количества продуктов, площадей земельных участков, измерение времени, определение частей архитектурных сооружений.

Для первых задач механики и физики еще хватало этих запасов математических понятий. Единственной наукой, которая предъявляла математике высокие требования, была астрономия, целиком обусловившая, например, раннее развитие тригонометрии.

В 17 веке новые запросы естественных наук и техники заставляют математиков сосредоточить свое внимание на создании методов, позволяющих изучать движение, процессы изменения величин, преобразования геометрических фигур (при проектировании). С употребления переменных величин в аналитической геометрии Декарта и создания дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин.

Дальнейшее расширение круга количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, привело в начале 19 века к необходимости отнестись к процессу расширения математических исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематического изучения с достаточно общих позиций возможных типов количественных отношений и пространственных форм (здесь толчком послужила геометрия Лобачевского). Это внесло в строение математики важные новые черты и математику 19-20 веков естественно отнести к периоду современной математики. 

Первоначальные представления о числе и форме относятся к очень отдаленной эпохе древнего каменного века - палеолита. В течение этого периода люди жили в условиях, мало отличающихся от жизни животных, и их энергия уходила на добывание пищи простейшим способом - собиранием ее где это только было возможным. Люди изготавливали орудия для охоты и рыболовства, вырабатывали язык общения.

Пока не произошел переход к активному производству пищи, от охоты и рыболовства к земледелию (неолит), люди мало продвинулись в понимании числовых величин и пространственных отношений. Это великое событие в истории человечества произошло примерно десять тысяч лет назад. Постепенно развивались такие простейшие ремесла, как гончарное, плотницкое, ткацкое. Велась торговля. Развивался язык. Числовые термины, выражающие некоторые из "наиболее абстрактных понятий, какие в состоянии создать человеческий ум" (Адам Смит), медленно входили в употребление. Впервые они появились скорее как качественные, чем количественные термины, выражая лишь различие между одним (или, вернее, "какой-то" скорее, чем "один человек") и двумя и многими. С расширением понятия числа большие числа сначала образовывались с помощью сложения: путем сложения 2 и 1 и т.д.

Развитие ремесел и торговли содействовало кристаллизации понятия числа. Числа группировали и объединяли в большие единицы, обычно пользуясь пальцами одной или обеих рук. Это вело к счету сначала с основанием пять, потом десять. Числовые записи велись с помощью пучков, зарубок на палках, узлов на веревках, камушков или ракушек. Переход от таких приемов к специальной символике произошел на так называемой заре цивилизации (в начале писанной истории). Возникает примитивная разновидность арифметики. Тогда же возникла и необходимость измерять длину и емкость предметов. Единицы измерения были грубы и часто исходили из размеров частей тела человека. При строительстве домов стали вырабатываться правила как строить по прямой и под прямым углом. Даже у самых отсталых племен мы находим какой-то отсчет времени и, следовательно, какие-то сведения о движении Солнца, Луны и звезд.

Восточная математика (3000 - 2000 до н.э.) возникла как прикладная наука, имевшая целью облегчить календарные расчеты, распределение урожая, организацию общественных работ и сбор налогов. Постепенно в ней возник абстрактный уклон, из арифметики появились начатки алгебры, из измерений - геометрии.

В течение последних столетий второго тысячелетия до н.э. в бассейне Средиземного моря и прилегающих к нему областей очень многое изменилось в экономике и политике. Отсутствие вполне установившейся религии привело многих обитателей этих мест к мистицизму, но это способствовало и противоположному - росту рационализма и научному подходу. Современная математика родилась в этой атмосфере ионийского рационализма - математика, которая ставила не только восточный вопрос "как?", но и современный научный вопрос "почему?"

Согласно преданию отцом греческой математики является милетский купец Фалес, посетивший Вавилон и Египет в первой половине шестого века до н.э. В это время впервые в истории группа критически мыслящих ученых,"софистов", стала рассматривать проблемы математического характера скорее с целью уяснения их сути, чем ради пользы. Были сформулированы и исследовались проблемы квадратуры круга, трисекции угла, удвоения куба. Было открыто понятие иррационального в форме несоизмеримых отрезков прямой линии. Несколько позднее   (306-283) до н.э. огромную роль в дальнейшем развитии математики сыграл Евклид. Его наиболее выдающееся произведение - тринадцать книг "Начал". В истории Западного мира "Начала", после Библии, вероятно, наибольшее число раз изданная книга.

Арабские цифры начали использоваться в Европе лишь в 14 веке. В середине 16 века в математике появляется понятие комплексного числа. К концу века возникла алгебра в современном ее понимании, начали вводиться алгебраические обозначения - числа начинают изображать буквами (Виет), существенно стимулировавшие общий прогресс в науках. В целом, в эпоху Возрождения, математика развивалась весьма стремительно, были введены и изучены многие из "элементарных" функций.

В 1637 году была опубликована "Геометрия" Декарта, которая включила в алгебру всю область классической геометрии, что дало толчок к развитию аналитической геометрии. В этот же период начали обозначаться некоторые характерные черты анализа и теории вероятностей (Ферма, Паскаль).

Общий метод дифференцирования и интегрирования, построенный с полным пониманием того, что один процесс является обратным, по отношению к другому был открыт Ньютоном и Лейбницем независимо друг от друга. Ньютон на несколько лет раньше открыл анализ, но первым в печати выступил Лейбниц, школа которого была гораздо более блестящей, чем школа Ньютона.

Геометрия, алгебра, математический анализ, теория вероятностей бурно развиваются с семнадцатого века до наших дней. От них отпочковываются новые направления в развитии математической науки, например, топология, теория групп, уравнения математической физики, теория случайных процессов и т.д.

Говоря о развитии математики, необходимо упомянуть имена выдающихся ученых последних нескольких веков, которые внесли определяющий вклад в развитие разделов математики, изучаемых в рамках дисциплины "Математика" и среди них:

Иоганн Кеплер (1571-1630), Галилео Галилей (1564-1642), Рене Декарт (1596-1650), Христиан Гюйгенс (1629-1695), Блез Паскаль (1623-1662), Исаак Ньютон (1642-1727), Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716), Леорнард Эйлер (1707-1783), Жан ле Рон Деламбер (1717-1783), Жозеф Луи Лагранж (1736-1813), Пьер Симон Лаплас (1749-1827), Карл Фридрих Гаусс (1777-1855), Георг Кантор (1845-1918), Давид Гильберт (1862-1943).

Велика роль в развитии математики отечественных ученых, упомянем лишь некоторых из них:

Николай Иванович Лобачевский (1792-1856), Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894), Андрей Андреевич Марков (1856-1922), Александр Михайлович Ляпунов (1857-1918), Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987), Леонид Витальевич Канторович (1912-1986).

Мы уже отмечали, что математика является языком познания мира. При этом нельзя, разумеется, рассчитывать, что все богатство мира может быть записано на одном, застывшем, хоть и широко разработанном языке. Галилей после процитированного нами высказывания далее утверждает, что буквы, описывающие вселенную математического языка - это излюбленные "треугольники, окружности и другие геометрические фигуры" древнегреческих ученых: ведь никакого другого математического языка во времена Галилея не было. Однако новые подходы к природе, во многом идущие от Галилея, заставили вскоре создать и новый "математический язык" - язык переменных величин и их функций, дифференциалов и интегралов. Разумеется, развитие внематематических наук стимулирует развитие и самой математики, возникновение все новых и новых ее разделов, приспособленных для анализа входящих в круг интересов людей понятий и феноменов.

Чаще всего выделяют три основных новых направления математики, претендующих ныне на то, чтобы пополнить (а в чем-то, возможно, даже и заменить) классическое дифференциальное и интегральное исчисление Ньютона и Лейбница. На первое место ставят направление, связанное с учетом соображений симметрии, математическим аппаратом, наиболее приспособленным для этой цели, является теория групп. Не меньшее значение придают и теории вероятностей. Наконец, следует указать "качественную математику", образцом которой является сравнительно недавно возникшая и переживающая ныне невиданный расцвет, топология.

Разумеется, этот список новых направлений не полон и может быть далеко продолжен.

В заключение приведем ряд высказываний крупнейших ученых прошлого и настоящего о роли математики в познании мира, о ее связи с практикой, о соотношении между логикой и интуицией.

Ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства. (Леонардо да Винчи)

А математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит. (М.В.Ломоносов)

...природа формулирует свои законы языком математики. (Г.Галилей)

Математика - это наука о связи величин. (Г.Грассман)

...именно математика дает точным естественным наукам определенную меру уверенности в выводах, достичь которой без математики они не могут. (А.Эйнштейн)

Математика - это орудие, специально приспособленное для того, чтобы иметь дело с отвлеченными понятиями любого вида, и в этой области нет предела ее могуществу. (П.Дирак)

...к области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера, и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звезды или что-нибудь другое, в чем отыскивается эта мера. (Р.Декарт)

Математика стала частью нашей культуры, и никто не вправе считать себя истинно образованным человеком, не имея представления о том, что такое математика и чем она занимается. (Я.Стюарт)

Она (математика - Вилков В.) является лакмусовой бумажкой для любого естественнонаучного, технического, медицинского высшего образования, определенный, хотя точно не установленный минимум математических знаний и навыков необходим и для гуманитарного образования. (Г.Фройденталь)

Уравнение есть равенство, которое еще не является истинным, но которое стремятся сделать истинным, не будучи уверенными, в том, что этого можно достичь. (А.Фуше)

Искусство математика состоит в нахождении того частного случая, который содержит все зародыши общности. (Д.Гильберт)

Каждая решенная мною задача становится образцом, который служит впоследствии для решения других задач. (Р.Декарт)

Три столетия назад один из создателей математического анализа Г.Лейбниц высказал надежду, что когда-либо все споры в любой области знания будут решаться путем вычислений. В этом нашло отражение представление о непогрешимости математики, о невозможности каких-либо противоречий в этой науке. За истекшие столетия точка зрения ученых изменилась. Теперь уже не смотрят на аксиомы как на истины, не требующие доказательства ввиду их очевидности, а понимают, что математика на основе той или иной системы аксиом строит различные модели изучаемых явлений и выводит свойства этих моделей, в уж решение вопроса, какая из систем наиболее адекватно отображает свойства реальной действительности, делается совсем из других соображений. (Н.Я.Виленкин)

Бессмысленно допытываться причин вещей, недостаточно познакомившись с самими вещами. (М.В.Ломоносов)

Математика, подобно жернову, перемалывает то, что под нее засыпают, и, как засыпав лебеду, вы не получите пшеничной муки, так, исписав целые страницы формулами, вы не получите истины из ложных посылок. (Т.Гексли)

Сколь бы ни было точно математическое решение, оно не может быть точнее тех приближенных предпосылок, на коих оно основано. (А.Н.Крылов)

Пристальное, глубокое изучение природы есть источник самых плодотворных открытий математики. (Ж.Фурье)

Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира. (Н.И.Лобачевский)

Природа воплощает в себе то, на чем теоретически основана математика. (Р.Декарт)

...главная польза математики заключается в применении ее для объяснения природы... (Д.К.Максвелл)

В природе существует внутренне присущая ей скрытая гармония, отражающаяся в наших умах в виде простых математических законов. (Г.Вейль)

...чистый математик, который забыл бы о существовании внешнего мира, был бы подобен живописцу, умеющему гармонически сочетать цвета и формы, но лишенному натуры, модели - его творческая сила быстро бы иссякла. (А.Пуанкаре)

Ответственные решения должны приниматься не интуитивно, а на основе предварительных прикидок, математических расчетов. И не случайно именно в наше время отмечается бурный рост математических методов во всех областях практики. (Е.С.Вентцель).

Ничто не может быть простее того понятия, которое служит основанием Арифметике. Мы познаем легко, что все в природе подлежит измерению, все может быть сосчитано. (Н.И.Лобачевский)

Математические идеи возникают из опыта, хотя их генеалогия порой оказывается длинной и темной. Но после того, как они сформировались, они начинают жить своеобразной собственной жизнью. (Дж.Нейман)

Все математики единодушно признают основополагающую роль, которую воображение играет в математическом творчестве. (Ж.Дьедонне)

Без интуиции молодой ум не сможет продвинуться в понимании математики, он не сможет полюбить ее и найдет в ней лишь пустой набор логических упражнений, и прежде всего без интуиции он никогда не сможет применять математику. (А.Пуанкаре)

Взаимосвязь общего с частным, дедукции с конструктивным подходом, логики с воображение - именно они и составляют самую сущность живой математики. (Р.Курант)

Многие задачи просто "не решаются" на уровне должной строгости, а решать их нужно - жизнь не ждет. Волей-неволей приходится пользоваться всеми доступными на сегодняшний день средствами ... (Е.С.Вентцель)

Печально положение, когда математика начинает глушить здравый смысл. Из двух крайностей: "математика без здравого смысла" и "здравый смысл без математики" предпочтение, безусловно, надо отдать второй. Разумеется, всего лучше, когда работает и то и другое, когда математические расчеты все время проверяются на "здравый смысл". (Е.С.Вентцель)

Современная прикладная математика - наука особого рода, стоящая на грани между точными, гуманитарными и опытными науками, смело применяющая приемы, выработанные в каждой из этих групп наук, если они оказываются эффективными. (Е.С.Вентцель)

Ни одно открытие не было сделано в математике с помощью усилий дедуктивной логики; они являются результатом творческого воображения ... (А.Лебег)