- •Глава 4 производная и дифференциал функции
- •4.1. Определение производной
- •Примеры
- •4.2. Геометрический смысл производной
- •4.3. Физический смысл производной
- •4.4. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •4.4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций
- •4.6. Производная сложной функции
- •4.7. Производная обратной функции
- •4.8. Таблица производных
- •4.9. Примеры отыскания производных сложных функций
- •Примеры
- •4.14. Определение дифференциала функции
- •4.15. Основные теоремы о дифференциалах
- •Примеры
- •4.16. Дифференциалы высших порядков
- •Примеры
- •4.17. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •4.18. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей
- •Неопределенность вида
- •Примеры
- •Примеры
- •Упражнения
4.4. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции
Сформулируем необходимое условие существования производной.
Теорема.
Если функция дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке функция непрерывна.
Заметим, что обратное утверждение неверно: непрерывная функция может не иметь производной.
Например, функция непрерывна при, но не дифференцируема для этого значения, так как в точкеграфика функциине существует касательной.
Таким образом, непрерывность функции необходимое, но не достаточное условие дифференцируемости функции.
4.4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций
Нахождение производной функции непосредственно по определению (п.4.1) часто связано с определенными трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью ряда правил и формул.
Теорема.
Если функции идифференцируемы в точкех, то в этой точке дифференцируемы функции ,,(при условии, что) и при этом
;
;
, .
Следствия
1. , где.
2. Если , то.
3. , где.
4.6. Производная сложной функции
Пусть и, тогда− сложная функция с промежуточным аргументомu и независимым аргументом х.
Теорема.
Если функции имеет производную в точке х, а функция имеет производнуюв соответствующей точке, то сложная функцияв точкех имеет производную , которая находится по формуле:
или =.
Кратко это можно сформулировать так (правило цепочки): производная сложной функции равна произведению производных от функций ее составляющих.
Данное правило распространяется на сложные функции при любом (определенном) числе промежуточных аргументов.
Так, если ,,,, то
.
4.7. Производная обратной функции
Если и− взаимо-обратные дифференцируемые функции и, то
или ,
т.е. производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.
Записывают:
или .
Пример
Найти производную функции .
, , тогда,. Имеем.
.
Итак, .
4.8. Таблица производных
Для удобства и упрощения процесса дифференцирования формулы производных основных элементарных функций и правила дифференцирования сведены в таблицу.
Правила дифференцирования |
Формулы дифференцирования | ||
1. |
1. |
, | |
2. |
2. | ||
3. |
, |
3. | |
4. |
, . |
4. | |
5. |
, |
5. | |
6. |
, если , |
6. | |
7. |
, если , |
7. | |
|
|
8. | |
|
|
9. | |
|
|
10. | |
|
|
11. | |
|
|
12. | |
|
|
13. | |
|
|
14. | |
|
|
15. | |
|
|
16. | |
|
|
17. |
4.9. Примеры отыскания производных сложных функций
На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций. Покажем на примерах, как находить производные от таких функций.
1. ,k − число.
;
.
2. .
;
.
3. .
;
.
4. .
;
.
5. .
;
.
6. .
;
;
.
7. .
.
8. .
;
.
9. .
.
10. .
;
.
Для случая дифференцирования сложных функций, таблицу производных можно переписать в более общем виде.
Формулы дифференцирования основных элементарных функций от промежуточного аргумента ()
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
10. |
|
11. |
|
12. |
|
13. |
|
14. |
|
4.10. Производная функции, заданной параметрически
Зависимость между переменными х и y может быть задана параметрически в виде двух уравнений:
где t − вспомогательная переменная (параметр).
Функцию , определяемую этими уравнениями, можно рассматривать как сложную функцию, где.
По правилу дифференцирования сложной функции имеем:
.
Так как , то
.
Примеры
Найти производные функций:
1.
.
2.
.
4.11 Производная неявной функции
Если неявная функция задана уравнением , то для нахождения производной оту по х надо продифференцировать это уравнение по х, рассматривая при этом у как функцию от х, и затем, полученное уравнение разрешить относительно , выразивчерезх и у.
Пример
Найти производную функции: .
;
;
;
.
4.12. Логарифмическое дифференцирование
В ряде случаев, когда приходится дифференцировать произведение многих сомножителей или частное, в котором и числитель и знаменатель состоят из нескольких сомножителей, а также при нахождении производных от показательно-степенной функции , применяютлогарифмическое дифференцирование.
Метод логарифмического дифференцирования заключается в том, что от заданной функции у сначала находится натуральный логарифм, а затем результат дифференцируется:
.
Из полученного равенства определяется :
.
Примеры
Найти производные функций:
1. .
;
;
;
;
.
2. .
;
;
;
.
4.13. Производные высших порядков
Производная от функцииназываетсяпроизводной первого порядка (или первой производной) и представляет собой функцию от х.
Производную от первой производной называют производной второго порядка или второй производной и обозначают ,,.
Итак, по определению
.
Вторая производная играет роль ускорения изменения функции.
Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и обозначается ,,.
Таким образом,
.
Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n-1) порядка:
.
Число n, указывающее порядок производной, заключают в скобки, чтобы не путать с показателем степени.
Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.
Порядок производной, начиная с четвертого, обозначают римскими цифрами или арабскими цифрами в скобках, например, илии т.д.