38

Глава 2 предел функции

2.1. Определение предела функции

Одним из основных в математике является понятие предела, связанное с поведением функции при изменении аргумента, т.е. как именно величина функции меняется при изменении аргумента.

Рассмотрим функцию непрерывно изменяющегося аргументах. Пусть х стремится к некоторому числу (). Введем понятие окрестности точки.

Определение.

−окрестностью точки называется интервал, где−некоторое положительное число.

Если , то выполняется неравенство, или, что то же,. Выполнение последнего неравенства означает попадание точких в −окрестность точки(рис. 2.1).

0 δ δ

х

Рис. 2.1

Рассмотрим поведение функции вблизи точки. Считаем, что функция определена в некоторой окрестности точки, кроме, быть может, самой точки. Пусть при неограниченном приближении аргументах к значения функциинеограниченно приближаются к числуА. Это записывается так: при. Данный факт означает, что с приближениемх к разностьстановится как угодно малой и, какое бы числоне было выбрано заранее, наступит такой момент в изменении, когда будет выполняться неравенство

.

В данном случае рассматриваются значения функции при значениях аргументах, близких к и не равных, т.е. длях, лежащих в интервале , что равносильно выполнению неравенства

.

Утверждение «, если» означает, что для любого заранее заданного положительного числаможно найти такой интервалоколо точки, что для всехиз этого интервала, выполняется неравенство.

Очевидно, что величина δ зависит от выбора , поэтому пишут. Если функцияизменяется именно так при, то числоА называется пределом функции при.

Определение.

Число А называется пределом функции в точке (или при), если для любого положительного числа, найдется такое положительное число δ, зависящее от, что для всехи, удовлетворяющих неравенству, выполняется неравенство.

Записывают:

.

Иными словами, числовые значения функции будут заключены в произвольной−окрестности числаА при условии, что числовые значения аргумента х взяты в достаточно малой δ−окрестности числа (исключая само число). Из определения следует, что закон, по которому, безразличен:х может стремиться к возрастая или убывая, или колеблясь около.

Точка называетсяпредельной точкой.

Поясним понятие предела геометрически. Если , то для всех точек, отстоящих от точкине далее чем на δ, точки графика функциилежат внутри полосы шириной 2, ограниченной прямымии(рис.2.2).

Рис. 2.2

2.2. Односторонние пределы

В определении предела функции аргумент х принимает значения из окрестности точки , как слева, так и справа от, кроме.

Однако, есть функции, поведение которых вблизи некоторой точки , существенно зависит от того, рассматриваются ли точких, лежащие правее или левее точки . Поэтому вводят понятиеодносторонних пределов.

Определение.

Число называетсяпределом функции слева в точке , если для любого числасуществует числотакое, что при, выполняется неравенство.

Предел слева обозначают:

или (рис.2.3).

Определение.

Число называетсяпределом функции справа в точке , если для любого числасуществует числотакое, что при, выполняется неравенство.

Предел справа обозначают:

или (рис.2.3).

Рис. 2.3

Например, для функции

в точке имеем:

предел слева −

,

предел справа −

.

Числа ихарактеризуют поведение функции ,соответственно в левой [] и правой [] полуокрестности точки, поэтому пределы слева и справа называютодносторонними пределами.

Если , то предел слева функции обозначают

или ,

а предел справа −

или .

Если функция задана на отрезкеили на интервале, то в точкефункция может иметь только предел справа, а в точке− только предел слева.