2.3. Условие существования предела функции

Установим связь между односторонними пределами и пределом функции в точке.

Из определения предела функции следует, что если существует , то существуют и оба односторонних предела, причем

.

Верно и обратное: если существуют ии они равны, то существует предел.

Справедлива следующая теорема.

Теорема.

Для существования предела функции в точкенеобходимо и достаточно существование в этой точке пределов справа и слева и выполнение равенства

.

Если односторонние пределы различны или хотя бы один из них не существует или равен бесконечности, то не существует и предела функции в точке .

2.4. Предел функции при бесконечно большом значении аргумента ()

При решении ряда задач необходимо бывает исследовать характер изменения функции при бесконечно больших значениях аргумента, т.е. когда .

Может оказаться, что при этом значения функции стремятся к некоторой постоянной А. Эту постоянную называют пределом функции при .

Записывают:

.

В зависимости от характера изменения х (или), обозначают одним из символов:

или .

Однако, тогда и только тогда, когда одновременнои.

Например, функция определена на всей числовой оси. Предел функции равен нулю, т.е.. График четной функцииприближается к прямойпри.

2.5. Предел числовой последовательности

По аналогии с пределом функции в бесконечно удаленной точке вводится понятие предела последовательности.

Определение.

Число а называется пределом числовой последовательности , если для любогонайдется такое натуральное число, что при всехвыполняется неравенство

.

Обозначают:

или при.

Говорят также, что последовательность сходится ка.

Например, последовательность

с общим членом

имеет предел

.

2.6. Бесконечно большие функции

Определение.

Функция называетсябесконечно большой при (или), если

или при .

Например, бесконечно большими функциями (б.б.ф.) являются:

при ;

при ;

при .

Различают частные случаи б.б.ф., когда, начиная с некоторого момента, б.б.ф. возрастая, принимает только положительные значения или, убывая, принимает только отрицательные значения.

Записывают это следующим образом:

, .

Например, ,.

2.7. Бесконечно малые функции

Определение.

Функция называетсябесконечно малой при (или), если

.

Бесконечно малые функции (б.м.ф.) обозначают малыми греческими буквами α(х), β(х) и т.д.

Например,

при ;

при ;

при .

Между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями существует простая связь, устанавливаемая следующей теоремой.

Теорема.

Если функция есть бесконечно малая функция прии в некоторой окрестности точки, то обратная величинаявляется бесконечно большой функцией при.

Справедлива и обратная теорема: величина, обратная всякой бесконечно большой, будет бесконечно малой.

Например, приесть б.м.ф., апри− б.б.ф.

2.8. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией

Сравнивая между собой определения предела функции в точке с определением бесконечно малой функции, можно заметить, что разность между функцией и ее пределом является величиной бесконечно малой.

Утверждение этого факта формулируют в двух теоремах − прямой и обратной.

Теорема (прямая).

Если функция имеет предел, равныйА, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции , т.е. если, то

.

может принимать как положительные, так и отрицательные значения, т.е. функция может быть как больше, так и меньше своего предела.

Теорема (обратная).

Если функцию можно представить в виде суммы числаА и бесконечно малой функции , то числоА является пределом функции , т.е. если, то

.