библиотека нефтяника / Безопасность нефтепроводов / 5

Минимуму энергии в локальной области Uп соответствует равенство нулю вариаций этой величины

Таким образом, если на трубу внешние нагрузки не действуют, то условие локального равновесия узла (i) будет следующим:

На трубопровод действуют достаточно сложные нагрузки: грунт, ремонтные механизмы, собственный вес заполненной трубы, подъемные механизмы. Все многообразие нагрузок можно выразить функцией нагрузки q(z). Эту функцию в численном решении заменим сосредоточенными силами, приложенными на узлы конечных элементов Qi = q(z)h, (см. рис. 5.7). Если на некоторые узлы действуют сосредоточенные нагрузки R, то они также должны входить в состав Qi следующим образом: Qi = q(z)h + R. Итак, для численного решения распределенные и сосредоточенные нагрузки (силы) выражаются совершенно одинаково через величины Qi.

При смещении узла (i) происходит изменение упругой энергии трех элементов, соответствующих номерам (i – 1), (i), (i + 1). Одновременно при этом внешняя нагрузка Qi совершает работу. Поэтому условию равновесия в локальной области соответствует равенство нулю вариации функции Лагранжа:

Здесь Ai – работа внешних сил, приложенных в узле (i);

С учетом выражений (5.13)–(5.15) и (5.47) условие равновесия (5.46) получает следующий вид:

204

Отсюда для смещения узла (i) получим формулу

Это и есть условие равновесия узла (i) под действием произвольной нагрузки, интенсивность которой выражена функцией q(z). Если сравнить с результатом, полученным методом конечных разностей, то увидим полное их совпадение. Формулы (5.38) и (5.49) полностью идентичны.

Расчет ремонт ных напряжений с учет ом продольных нагрузок

Дифференциальное уравнение продольно-поперечного изгиба упругой балки имеет вид [823]:

где q(z) – поперечная распределенная нагрузка в трубопроводе; N(z) – продольное эквивалентное (суммарное) усилие, определяемое по формуле

где µ – коэффициент Пуассона; σкц – кольцевое напряжение в стенке трубы; α – коэффициент линейного расширения материала трубы; ∆T = Тp – Тc – расчетный температурный перепад; F – площадь поперечного сечения стенки трубы.

Положительному знаку продольного усилия N соответствует растяжение (как и осевое напряжение).

Здесь необходимо учитывать, что формула (5.51) может иметь ограниченное применение в задачах, связанных с ремонтом трубопроводов. Ограниченность ее связана со следующими обстоятельствами:

формула не учитывает появление ремонтных осевых деформаций при некоторых технологиях ремонта (ремонт с подъемом трубопровода, ремонт подводного участка методом подсадки);

формула не учитывает остаточные осевые напряжения после строительства трубопровода и последующих процеcсов, происходящих в грунтах при длительной эксплуатации;

осевые напряжения могут появиться вследствие подвижек грунта, связанных с геологическими процессами (это явление

205

ко. Кроме того, при ремонте трубопроводов отсутствие осевых усилий невозможно проверить без соответствующих приборов.

Анализ влияния осевых усилий на напряженноесостояние трубопровода при ремонте

Анализ проведем на основе исследования свойств дифференциального уравнения продольно-поперечного изгиба (5.50) и его решений.

Предположим, что параметры трубопровода и нагрузки на ремонтируемом участке постоянны (не меняются с координатой z):

N(z) = const = N; q(z) = const = q.

Дифференциальное уравнение запишем в следующем ви-

Дифференциальное уравнение (5.54) четвертого порядка, с постоянными коэффициентами, неоднородное. Его решение ищут в виде суммы общего решения однородного уравнения (без правой части) и частного решения неоднородного (с правой частью).

Для определения общего решения однородного уравнения составляют характеристическое уравнение, которое в данном случае имеет вид:

r4 − Ar2 = 0.

Решая это уравнение получаем:

r2 (r2 − A) = 0.

Далее необходимо рассматривать по отдельности два случая: N ≠ 0 и N = 0.

Случай N ≠ 0 (продольное усилие присут ст вует ). При этом корни характеристического уравнения следующие:

r1 = 0; r2 = 0; r3 = + À; r4 = − À.

Подставляя выражение параметра А, получаем:

207

4

EJx d V = q. (5.57)

dz4

При этом корни характеристического уравнения следующие:

Общее решение имеет вид: При N = 0

Здесь С1, С2, С3, С4 – неопределенные действительные коэффициенты, которые зависят от граничных (краевых) условий. Для определения этих коэффициентов необходимо рассмотреть конкретные примеры.

Пример 5.1. Действующий магистральный нефтепровод диаметром D (для примера 720 мм), толщиной стенки δ (9 мм), ремонтируется в ремонтном котловане длиной L (20 м). Найти напряженное состояние ремонтируемого участка трубопровода при различных осевых напряжениях (растягивающих, сжимающих, отсутствующих усилиях).

Основная задача в данном примере – определить, насколько общее напряженно-деформированное состояние трубопровода зависит от осевого усилия. Поэтому предположим, что грунт абсолютно жесткий.

Схема задачи приведена на рис. 5.8. Установим основные параметры задачи: длина ремонтного котлована L = 40 м; модуль упругости стали Е = 206 109 Па;

Рис. 5.8. Расчетная схема примера 5.1

209

C1 + 40C2 + 33,31757C3 + 0,030014C4 = −2,02587;

C2 + 2,92035C3 − 0,00263C4 = −0,10129.

Решая полученную систему уравнений относительно коэффициентов С1, С2, С3, С4, получаем

При этом решение для данного случая получает следующий вид:

V(z) = 0,613597 − 0,050649z +1,26617 10−3 z2 −

−0,017877exp (0,087652z) − 0,59572exp (−0,087652z).

Вграфическом виде данное решение приведено на рис.

5.9.Здесь использованы обозначения: V – вертикальное смещение трубы, м; σизг – напряжение изгиба, Па; σниз – суммарное напряжение на нижней образующей трубы, Па;

σверх – суммарное напряжение (изгиб+ растяжение) на верхней образующей, Па.

Поскольку каждое сечение трубопровода испытывает одновременно осевую нагрузку и упругий изгиб, наибольшие напряжения в сечении появляются на нижней или верхней образующей (а не по всему сечению).

Динамику деформации трубопровода при изменении осевых нагрузок (напряжений) можно увидеть в табл. 5.2, где

Рис. 5.9. Напряженно-деформированное состояние участка трубопровода (по примеру 5.1)

211

Таблица 5.2

Вертикальные смещения трубы V (в м) на участке длиной L = 40 м при различных осевых нагрузках (диаметр трубы 720 мм, толщина стенки 9 мм, заполнена нефтью, краевые условия нулевые)

жирным шрифтом выделены столбик, соответствующий отсутствию осевой нагрузки (N = 0), а также строка, соответствующая середине ремонтируемого участка, где вертикальные смещения максимальны.

212

213