Гидравлика для студентов / метод.указ по гидродинамике

3 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2 «ДЕМОНСТРАЦИЯ УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ»

3.1 Уравнение Бернулли

Физическая сущность уравнения Бернулли – закон сохранения энергии применительно к движущейся жидкости.

Формы представления уравнения:

для струйки идеальной жидкости – не учитываются потери энергии и неравномерность скоростей по сечению;

для струйки реальной жидкости – учитываются потери энергии;

для потока реальной жидкости – учитываются потери энергии и неравномерность скоростей по сечению потока.

Идеальная жидкость − жидкость без вязкости и абсолютно несжимаемая. В такой гипотетической жидкости отсутствуют силы трения и не тратится энергия на работу по их преодолению. Реальная жидкость – жидкость вязкая. В такой жидкости присутствуют силы трения и тратится энергия на работу по их преодолению.

Полный запас энергии объёма жидкости массой m относительно нулевого уровня (плоскости сравнения 0-0) равен:

где m g z − потенциальная энергия положения жидкости;

Для идеальной (невязкой) жидкости, в которой не происходит потерь энергии при движении, в произвольных сечениях 1-1 и 2-2 энергии должны быть равны:

E1 =E2;

Уравнение (3.2) можно представить как закон сохранения удельных энергий. Термин удельная энергия предполагает отношение полной энергии к некоторому количеству вещества − объёмному, массовому или весовому.

21

Напором называется энергия, отнесённая к весу жидкости. Напор измеряется в метрах. После деления всех членов уравнения (3.2) на вес жидкости G m g , оно принимает вид:

где z − геометрический напор;

р − пьезометрический напор;

g

2 − скоростной напор;

2g

Уравнение (3.3) называется уравнением Бернулли для идеального потока или струйки жидкости. Оно было получено в 1738 году швейцарским математиком и механиком Даниилом Бернулли.

При переходе от идеальной жидкости к реальной необходимо учесть наличие вязкости (сил межмолекулярного взаимодействия при сдвиге) как между жидкостью и стенкой, так и между отдельными слоями жидкости. Вследствие этого эпюра скоростей в сечении потока получается неравномерной (см. рисунок 2.1).

Определим действительную кинетическую энергию потока как сумму кинетических энергий отдельных струек:

местную скорость u как сумму средней скорости υ и некоторой знакопеременной добавки

: u = υ + и вычислим отношение кинетических энергий:

22

Здесь учтено, что при суммировании те слагаемые, куда входит знакопеременная добавка в нечетной степени, равны нулю.

Корректив кинетической энергии называется коэффициентом Кориолиса

(предложен французским ученым Кориолисом в 1836г.).

Итак, чем больше неравномерность местных скоростей в сечении потока (больше

), тем больше корректив кинетической энергии .

При ламинарном режиме неравномерность местных скоростей максимальная и расчетное значение =2. При турбулентном режиме вследствие перемешивания частиц скорости в сечении выравниваются и = 1,1 1,2. Для практических расчетов при

турбулентном режиме принимается = 1.

3.2 Потери энергии.

Наличие вязкости приводит к появлению в потоке жидкости при ее движении сил трения, которые направлены против движения. На их преодоление затрачивается энергия жидкости. Потерянная энергия, отнесенная к весу жидкости, называется потерями напора

по длине и обозначается hдл. Кроме того, поток жидкости при своем движении претерпевает деформацию, которая вызывается установкой трубопроводной арматуры

(краны, вентили, муфты, шайбы и др.), а также поворотами потока, внезапным расширением и сужением. Потери энергии такого рода препятствий называются

местными и обозначаются hм . Суммарные потери удельной энергии h1-2 равны:

Отметим, что при выводе уравнения (3.7) удельная потенциальная энергия всех струек в сечении принимается одинаковой и равной таковой для потока жидкости. Это соответствует действительности при параллельно-струйном течении. Именно такие сечения нужно выбирать при применении уравнения Бернулли. Нельзя выбирать сечения на повороте трубы, при входе в трубу и т.д., то есть там, где скорость движения резко меняется по величине или по направлению.

23

Важнейшие следствия из уравнения (3.7):

1). Если в каком-либо сечении потока уменьшается кинетическая энергия, то

потенциальная энергия в этом сечении возрастает и наоборот.

2). В горизонтальном трубопроводе при увеличении скорости движения уменьшается давление и наоборот.

3). В горизонтальном трубопроводе постоянного диаметра давление по направлению движения жидкости уменьшается вследствие наличия гидравлических сопротивлений; кинетическая энергия при этом постоянна.

4). Горизонтальный уровень отсчёта потенциальной энергии 0-0 можно выбирать

произвольно, так как в конечном счёте нас интересует разность потенциальных энергий положения, а не их абсолютная величина.

5). По направлению движения жидкости полная энергия в сечениях потока всегда уменьшается, так как имеют место потери энергии на преодоление гидравлических сопротивлений, которые увеличиваются за счет роста поверхности контакта жидкости со стенкой. Часть механической энергии при этом необратимо переходит в тепловую.

6). Если между сечениями потока 1-1 и 2-2 имеется источник энергии (например,

насос), энергия жидкости в месте установки насоса скачком возрастает и

уравнение (3.7) принимает вид:

где Hнас − удельная энергия, которую насос забирает у приводного двигателя и передает жидкости (напор насоса).

Уравнение (3.8) представляет собой закон сохранения энергии для трубопровода с насосной подачей жидкости.

24

3.2 Диаграмма Бернулли

3.2.1 Диаграмма Бернулли для струйки идеальной жидкости

Диаграмма Бернулли показывает изменение вдоль струйки как полного напора H,

так и его составляющих.

Принцип построения диаграммы Бернулли:

1). Выбирается произвольно горизонтальная плоскость 0-0, от которой вертикально вверх в произвольном масштабе откладываются напоры (рисунок 3.1)

2). z − вертикальное расстояние от плоскости 0-0 до центра тяжести сечений струйки -

определяется геометрией струйки.

3). H = const − полный напор во всех сечениях одинаков. Откладывается от плоскости

0-0 вверх в произвольном масштабе и проводится горизонтально напорная линия.

4). От напорной линии вниз откладываются скоростные напоры. Там, где сечение струйки меньше, скорость больше и наоборот. Если соединить полученные точки,

образуется пьезометрическая линия, или линия потенциальной энергии. Разность полного напора и скоростного или полной энергии и кинетической равна потенциальной энергии. Изменение этой энергии по длине струйки показывает пьезометрическая линия.

25

3). Пусть известна скорость в сечении 1 и равна υ1. Отложим вниз от напорной линии

участке трубы между сечениями 1 и 2 скорость и скоростной напор, и,

соответствовать участок пьезометрической линии в виде горизонтальной прямой bc.

4). В сечении 2 в связи с резким увеличением диаметра трубы скорость резко уменьшается, а давление резко возрастает (уменьшение скорости в горизонтальной трубе приводит к увеличению давления − следствие из уравнения Бернулли!).

Поэтому пьезометрическая линия здесь резко возрастает − участок cd, далее до сечения 3 изображается горизонтальной прямой de (диаметр трубы не меняется!).

5). В сечении 3 диаметр трубы резко уменьшается и все происходит наоборот:

скорость возрастает, давление падает и пьезометрическая линия круто опускается вниз (участок ef).

6). Между сечениями 3 и 4 пьезометрическая линия изображается горизонтальной прямой (участок fg). В сечении 4 диаметр трубы резко возрастает и на участке 4÷5

постепенно уменьшается. При этом давление в сечении 4 резко возрастает,

пьезометрическая линия имеет скачок вверх gh, далее абсолютное давление постепенно снижается до атмосферного, а манометрическое до нуля. Конечная

точка k пъезометрической линии лежит на оси трубы.

27

3.2.3Диаграмма Бернулли для потока реальной жидкости

Принцип построения:

1.Первой строится напорная линия. В начальном сечении н-н напор равен высоте уровня жидкости в резервуаре:

Здесь под давлением Р понимается манометрическое давление. В сечении 1

отложим от уровня жидкости вертикально вниз отрезок ab, равный потере напора на входе в трубу (это местные потери в сечении 1). На участке трубы между сечениями 1 и 2 имеет место потеря напора на трение по длине. Пусть она равна hдл1-2. Тогда для получения точки напорной линии в конце участка 1-2 вычитаем из напора HB эту величину и получаем точку с. Так как диаметр трубы на этом участке постоянен, угол наклона напорной линии к горизонту тоже будет постоянным (угол наклона ~ скорости движения). Напорная линия на этом участке будет иметь вид прямой линии bc. Аналогично: в сечениях 3 ÷ 4 напорная линия имеет скачки вниз на величину местных потерь, на участках постоянного диаметра

2 ÷ 3 и 3 ÷ 4 напорная линия имеет вид наклонных прямых ce и fg. На участке 4 ÷ 5

диаметр трубы увеличивается и скорость к концу трубы возрастает. Это приводит к увеличению потерь на трение и напорная линия имеет вид кривой gm.

2.Пьезометрическая линия - построение начинается с конца трубы. Так как манометрическое давление в точке k равно нулю, это и будет начальная точка пьезометрической линии. Величина km равна скоростному напору в сечении 5.

Далее идем справа налево по трубе и из ординат напорной линии вычитаем отрезки, соответствующие скоростным напорам. Соотношение между скоростными напорами (или скоростями) определяется из уравнения постоянства расхода. Там,

где диаметр трубы больше, скорость меньше и наоборот. На участках 1 ÷ 2, 2 ÷ 3 и

3 ÷ 4 скорости по длине не меняются. При этом напорная и пьезометрическая линии параллельны.

29