Руководство к решению задач
.pdfМинистерство образования Российской Федерации
Ухтинский государственный технический университет
А.С. Попов
Руководство к решению коротких задач
по механике сплошной среды
Учебное пособие
Допущено Учебно-методическим объединением вузов Российской Федерации по нефтегазовому образованию
в качестве учебного пособия для подготовки бакалавров и магистров по направлению 553600 «Нефтегазовое дело»
Ухта 2003
Учебное издание
Александр Сергеевич Попов
Руководство к решению коротких задач по механике сплошной среды
Учебное пособие Рецензенты: кафедра теоретической механики Санкт-Петербургской государствен-
ной лесотехнической академии (зав.кафедрой д.т.н. Ю.А. Добрынин); главный инженер ОАО «Лукойл-Коми» А.А. Казаков.
Редактор В.П. Кипрова Технический редактор Л.П. Коровкина Корректор Т.И. Косолапова
УДК 532 (075.8) П – 58
Попов А.С. Руководство к решению коротких задач по механике сплошной среды: Учебное пособие /А.С. Попов. – Ухта: УГТУ, 2003. – 52с.
ISBN 5-88179-325-0
Учебное пособие состоит из четырех разделов. Каждый раздел включает основные формулы теории и решенные задачи. По всей работе важные уравнения и фундаментальные соотношения представлены как в индексной, так и символьной записи. Используются только «декартовы» тензоры, поскольку существо многих теорий может быть описано с помощью таких тензоров.
Пособие предназначено для студентов технологических специальностей нефтегазового профиля как дневной, так и заочной форм обучения, где по учебным планам на изучение механики сплошной среды отводится очень ограниченное число часов.
©Ухтинский государственный технический университет, 2003
©Попов А.С., 2003
ISBN 5-88179-325-0
План 2003г., позиция 60. Подписано в печать 13.11.03. Компьютерный набор. Гарнитура Times New Roman.
Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 3,1. Уч.-изд. л. 2,8. Тираж 150 экз. Заказ №174.
Ухтинский государственный технический университет. 169300, г.Ухта, ул. Первомайская, д. 13. Отдел оперативной полиграфии УГТУ.
Лицензия ЛР № 020827 от 29 сентября 1998 г. Лицензия ПД № 00578 от 25 мая 2000 г. 169300, г.Ухта, ул. Октябрьская, д. 13.
3
Предисловие
Решение многих актуальных задач требует построения новых моделей для глубокого и более детального описания микроскопических и макроскопических механических и вообще физических объектов, взаимодействий и явлений. В связи с этим ясно выяснилась необходимость введения в преподавание в высших учебных заведениях курса механики сплошной среды как общей основы для развития термодинамики, теории электромагнетизма, гидродинамики, газовой динамики теории упругости, пластичности, ползучести и многих других разделов физики и механики. Общность и неразрывная связь перечисленных выше разделов механики и физики заставляют нас рассматривать их как единое целое. Все более важным становится глубокое понимание не только частных конкретных закономерностей, но и в первую очередь – самого смысла основных законов механики континуума.
В свете сформулированных выше положений составлено данное пособие. Настоящая работа представляет собой попытку помочь студентам старших курсов, которые уже изучили векторную алгебру, математический анализ, теоретическую механику, сопротивление материалов, термодинамику, физику и другие дисциплины, усвоить основы теории сплошной среды на
примерах. Учебное пособие является дополнением к лекционному курсу. Пособие состоит из четырех разделов. Каждый раздел включает основ-
ные формулы теории и решенные задачи, что дает возможность обучающемуся понять и закрепить теоретические знания, полученные на лекциях. По всей работе важные уравнения и фундаментальные соотношения представлены как в индексной, так и в символической записи. Используются только декартовы тензоры, поскольку существо многих теорий может быть описано с помощью таких тензоров.
В первый раздел включены задачи тензорного исчисления, во втором рассматриваются задачи при равновесии континуума. Третий раздел включает задачи кинематики сплошной среды, в четвертом приводятся задачи динамики континуума. В конце каждого раздела есть набор задач и упражнений для самостоятельного решения, служащих для закрепления идей, приведенных в основном тексте.
Пособие предназначено для студентов технологических специальностей нефтегазового профиля как дневной, так и заочной форм обучения, где по учебным планам на изучение механики сплошной среды отводится очень ограниченное число часов.
Автор
4
Раздел 1
Элементы векторной алгебры и диадиков
Величины, значения которых могут быть выражены только действительными числами, называются скалярными (масса, заряд, плотность, температура и т.п.). Величины, значения которых определяются как размерами, так и направлением в пространстве, называются векторами (скорость, ускорение, сила и т.п.). Иными словами, для полного описания скаляра достаточно одного числа, а для такой величины, как вектор, необходимо три числа. Более сложные объекты требуют для своего описания большего числа компонент.
Числа (или функции), которые полностью определяют величину в ка- кой-либо системе координат, называются компонентами этой величины.
С этой точки зрения удобно рассматривать величины как тензоры различных рангов: скаляр – тензор нулевого ранга (30 = 1 компонента), вектор – тензор первого ранга (31 = 3 компоненты), величина, имеющая 32 = 9 компонент – тензор второго ранга и т.д. Тензоры могут быть самого различного ранга, тензор ранга n имеет 3n компонент.
В дальнейшем будем иметь дело с тензорами не выше второго ранга, иногда третьего (тензор Леви – Чивита).
Напомним несколько примеров действий с тензорами первого ранга (векторами) и познакомимся с тензорами второго ранга (диадиками) и действиями над ними.
Скалярным произведением двух векторов a и b называется произведение их модулей на косинус угла между этими векторами, т.е.
ab = ab cos( a,b ).
Таким образом, скалярное произведение двух тензоров первого ранга преобразует эти тензоры в тензор нулевого ранга, т.е. в скаляр.
Если x1, x2 , x3 – оси прямоугольной декартовой системы координат
(рис. |
1.1), то |
любой вектор |
|
a |
может |
||||
быть |
разложен |
по ортам |
e€ |
,e€ |
,e€ |
этих |
|||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
осей, и можно написать
a = a1e€1 + a2e€2 + a3e€3 .
В силу взаимной перпендикулярности координатных осей имеем:
e€i e€k |
0, |
если i ≠ k, |
= |
если i = k. |
|
|
1, |
Рис. 1.1
5
Тогда
a e€1 = a1 ; a e€2 = a2 ; a e€3 = a3 .
Таким образом, a1 , a2 , a3 суть проекции вектора a на координатные
оси x1, x2 , x3 .
Скалярное произведение векторов может быть записано через произведения проекции этих векторов на оси координат
a b =(a1e€1 +a2e€2 +a3e€3 ) (b1e€1 +b2e€2 +b3e€3 ) =a1b1 +a2b2 +a3b3 .
Векторным произведением двух
векторов называется вектор c = a ×b (рис. 1.2), направленный перпендикулярно плоскости векторов – сомножителей в ту сторону, откуда поворот от первого сомножителя ко второму на меньший угол виден против хода часовой стрелки, и равный по величине
Рис. 1.2 площади параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е.
| c |=| a ×b |= ab sin( a,b ).
В отличие от скалярного произведения векторное произведение дает тензор, ранг которого не изменяется. Учитывая правило векторного произведения для векторов e€1 ,e€2 ,e€3 правой системы координат, имеем
e€1 ×e€2 = e€3 , e€2 ×e€3 = e€1 , e€3 ×e€1 = e€2 , e€1 ×e€1 = 0 , e€2 ×e€2 = 0, e€3 ×e€3 = 0.
Применяя это правило, выразим проекции векторного произведения через проекции сомножителей
c |
= |
a |
× |
b |
= (a e€ |
+ a e€ |
+ a e€ )×(b e€ |
+b e€ |
+ |
||||
1 1 |
2 |
2 |
3 |
3 |
1 1 |
2 |
2 |
|
|||||
+b3e€3 ) = a1b2 e€3 − a1b3e€2 − a2b1e€3 + a2b3e€1 + a3b1e€2 − a3b2e€1 = = ( a2b3 − a3b2 )e€1 +( a3b1 − a1b3 )e€2 +( a1b2 − a2b1 )e€3 .
Здесь учтено, что при нарушении циклической перестановки знак вектора векторного произведения изменяется на противоположный.
Отметим удобную запись векторного произведения в виде определителя
e€1 e€2 e€3 c = a ×b = a1 a2 a3 .
b1 b2 b3
6
Векторно-скалярное произведение ( a ×b ) c в силу определения скалярного произведения можно записать:
|
|
|
|
|
|
|
e |
e |
|
e |
|
|
|
|
|
a |
a |
2 |
a |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
€1 |
€2 |
€3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
( |
|
× |
|
) |
|
= |
a |
a |
|
a |
|
( c e + c |
e |
+ c e |
) = |
b |
b |
|
b |
. |
|
a |
b |
c |
2 |
3 |
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1€1 |
2 €2 |
3€3 |
|
1 |
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
b2 |
b3 |
|
|
|
|
c1 |
c2 |
c3 |
|
||||
Отсюда вытекает важное следствие о неизменяемости значения век- торно-скалярного произведения при циклической перестановке его векторов:
( a ×b ) c = ( b ×c ) a = ( c ×a ) b .
Если два вектора в векторно-скалярном произведении одинаковы (или параллельны), то это произведение равно нулю
( a ×b ) a = ( a ×b ) b = ( a ×a ) b = 0.
Если три вектора лежат в одной плоскости (компланарны), то условие компланарности векторов a,b и c можно записать в виде:
a1 a2 a3
( a ×b ) c = b1 b2 b3 = 0 , c1 c2 b3
т.е. объем параллелепипеда, построенного на них, равен нулю.
Двойное векторное произведение ( a ×b )×c представляет собой век-
тор, который лежит в плоскости векторов b и c и перпендикулярен к векто-
ру a .
Это произведение раскрывается по формуле
|
|
|
×( |
|
|
× |
|
|
) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
. |
|||||||
|
a |
b |
c |
b( a c ) −c( a b ) = |
( |
|
|
|
) ( |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
a c ) |
|
|||||||||||||||||||||
Как следствие, отсюда можно получить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
( |
|
|
× |
|
|
)× |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
. |
|
|||||||||||||
a |
b |
c |
b( a c ) − a( b c ) = |
( |
|
) ( |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
c |
a |
|
c |
) |
|
||||||||||||||||||
Диадой называется неопределенное произведение двух векторов, которое задается написанием векторов один за другим без всякого знака между
ними ab . Диадиком D называется тензор второго ранга; он всегда может быть представлен в виде суммы конечного числа диад:
D = a 1 b 1 + a 2 b 2 + … + a n b n.
7
Если в каждой диаде этой формулы первый и второй сомножители поменять местами, то полученный тензор называется сопряженным исходному и записывается так:
D с = b 1 a 1 + b 2 a 2 + … + b n a n.
Неопределенное произведение векторов обладает свойством дистрибутивности:
a (b+ c ) = a b + a c , ( a +b ) c = a c + b c ,
( a +b )( c + d ) = a c + a d + b c + b d ,
и если λ и µ – скаляры, то
( λ + µ) a b = λ a b + µ a b, ( λ a )b = a (λ b) = λ a b.
Неопределенное произведение в общем случае некомутативно, т.е. a b ≠ b a .
Если c – любой вектор, то скалярные произведения c Dи D c являются векторами, которые определяются соответственно формулами
c D = ( c a1 )b 1 + (c a 2)b 2 + … + ( c a n)b n = V , D c = a 1(b 1 c ) + a 2(b 2 c ) + … + a n(b n c ) = U .
Единичный диадик Е – это такой диадик, который представляется в виде
Е = e€1e€1 + e€2e€2 + e€3e€3 ,
где векторы e€1 ,e€2 ,e€3 – векторы любого ортонормированного базиса в трех-
мерном евклидовом пространстве. Единичный диадик характеризуется следующим свойством:
Е c = c Е=W
для всех векторов.
Векторные произведения c ×D и D ×c являются диадиками, которые определяются следующими формулами:
c ×D = ( c × a 1) b 1 + ( c × a 2) b2 + … + ( c × a n) b n = F, D ×c = a 1(b 1×c ) + a 2(b 2×c ) + … + a n(b n×c ) = G.
Скалярное произведение двух диад a b и c d по определению есть диада вида
a b c d = (b c ) a d .
8
Пользуясь этой формулой, можно установить, что скалярное произведение любых двух диадиков D и B тоже является диадиком:
D B = ( a 1 b 1 + a 2 b 2 + … + a n b n) ( c 1 d 1 + c 2 d 2 + … + c n d n) =
= (b 1 c 1) a 1 d 1 + (b 2 c 2) a 2 d 2 + … + (b n c n) a n d n = К.
Диадики D и B называются взаимно обратными, если
D B = B D = E.
Диадик D называют самосопряженным или симметричным, если D = Dc , и антисимметричным, если D = −Dc .
Каждый диадик можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного диадиков, причем это представление единственное
D = 12 ( D + Dc ) + 12 ( D − Dc ) = G + H ,
где G = 12 ( D + Dc ) – симметричный диадик, H = 12 ( D − Dc ) – антисим-
метричный диадик.
Тензор D также можно разложить следующим образом
D ≡ I1E +( D − I1E ) = D( s ) + D( d ) ,
где D( s ) = I1 E – сферический тензор (шаровой), ( D − I1E ) – девиатор, а I1 – первый ивариант тензора D.
Компоненты тензора любого ранга и сам тензор можно наглядно и кратко представить с помощью индексных обозначений.
Тензоры первого ранга (векторы) обозначаются основными буквами с одним свободным индексом, например ai − a или bi −b . Тензоры второго ранга обозначаются символами с двумя свободными индексами, например Dij или Dij . Тензоры третьего ранга записываются символами с тремя свободными индексами, например Tklm или εijk . Символ, который не имеет связанного с ним индекса, изображает скаляр, например λ,µ,ρ, или тензор
нулевого ранга.
Если индекс употребляется два раза, то подразумевается, что этот индекс принимает все значения из этого интервала, изменения и члены, соответствующие каждому значению индекса из этого набора, суммируются. Повторяющийся индекс называют немым, так как его замена на любые другие буквы, не использованные в качестве свободных индексов, не меняет значения члена, в который они входят. В правильно написанном выражении ни один индекс не встречается более двух раз.
9
Удобство индексных обозначений для записи системы равенств в компактной форме можно рассмотреть на следующем примере:
xi = Dij z j (i =1,2,3)
x1 = D11 z1 + D12 z2 + D13 z3 ,
x2 = D21 z1 + D22 z2 + D23 z3 ,
x3 = D31 z1 + D32 z2 + D33 z3 ,
что представляет в развернутой форме три уравнения.
Дифференцирование компонент тензора по координате xk обозначает-
∂
ся дифференциальным оператором ∂xk . В символических обозначениях для
записи этой операции употребляется символ (набла), который расшифровывается так:
|
= |
∂ |
e€ |
+ |
∂ |
|
e€ |
+ |
∂ |
|
e€ |
= |
∂ |
|
e€ . |
|
|
||||||||||||||||
∂x |
∂x |
|
∂x |
|
∂x |
|
||||||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
k |
||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
k |
|||
Примеры решения задач
|
|
1.1. Дан некоторый диадик D = ae€e€ +be€ e€ |
+ce€e€ и радиус-вектор |
||||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
2 |
3 |
3 |
||||
|
|
= x1e€1 + x2e€2 |
+ x3e€3 . Показать, что уравнение |
|
|
D |
|
= 1 представляет эл- |
|||||
|
r |
|
r |
r |
|||||||||
липсоид ax2 +bx2 |
+ cx3 =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выполним указанные действия, сначала умножение тензора на вектор |
|||||||||||
справа, затем выполним скалярное перемножение векторов |
|||||||||||||
|
D |
|
= (x1e€1 + x2e€2 + x3e€3 ) (ae€1e€1 +be€2e€2 + ce€3e€3 ) (x1e€1 + x2e€2 + x3e€3 )= |
||||||||||||||||||
|
r |
||||||||||||||||||||
r |
|||||||||||||||||||||
|
= (x e€ |
+ x |
2 |
e€ |
+ x e€ |
) |
(ax e€ |
|
+bx |
2 |
e€ |
+ cx |
e€ |
)= ax2 |
+bx2 |
+ cx2 . |
|||||
1 |
1 |
|
2 |
3 |
3 |
|
1 |
1 |
|
2 |
3 |
3 |
1 |
2 |
3 |
||||||
|
Если учесть, что полученное выражение должно быть равно единице |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax2 |
|
+bx2 |
+ cx3 =1, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
то оно представляет собой уравнение эллипсоида.
1.2. Определить диадики G = D F и H = F D , если
D =3e€1e€1 + 2e€2e€2 −e€3e€3 +5e€3e€3 и F = 4e€1e€3 + 6e€2 e€2 −3e€3e€2 + e€3e€3 .
Решение.
Воспользуемся правилом умножения диад a b c d = (b c ) a d .
10
Тогда
G = D . F = (3e€1e€1 + 2e€2 e€2 − e€2 e€3 + 5e€3e€3 ) . ( 4e€1e€3 + 6e€2 e€2 −3e€3e€2 + e€3e€3 ) =
=12e€1e€3 +12e€2e€2 +3e€2e€2 −15e€3e€2 −e€2e€3 +5e€3e€3 =
=12e€1e€3 +15e€2e€2 −e€2e€3 −15e€3e€2 +5e€3e€3 .
Подобным же образом
H = F D = ( 4e€1e€3 + 6e€2e€2 −3e€3e€2 + e€3e€3 ) . (3e€1e€1 + 2e€2e€2 −e€2e€3 +5e€3e€3 ) =
=20e€1e€3 +12e€2e€2 −6e€3e€2 −6e€3e€2 +3e€3e€3 +5e€3e€3 =
=20e€1e€3 +12e€2e€2 −6e€2e€3 −6e€3e€2 +8e€3e€3 .
Видим, что диадики получаются различными.
1.3.Исходя из девятичленной формы записи тензора второго ранга D, показать, что его можно представить в виде
D = ( D e€1 )e€1 +( D e€2 )e€2 +( D e€3 )e€3 ;
показать также, что e€1 D e€1 |
= D11 , |
e€1 D e€2 |
= D12 |
|
и т.д. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Напишем D в девятичленной форме и перегруппируем члены |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
D = D e€e€ |
+ D e€e€ |
+ D e€e€ + D e€ e€ |
|
+ D e€ e€ |
+ D e€ e€ |
+ D e€ e€ |
+ |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
11 1 1 |
|
|
12 |
1 |
2 |
13 |
1 |
3 |
|
21 |
2 |
1 |
|
|
|
|
22 |
2 |
2 |
|
|
23 |
2 |
3 |
31 |
3 |
1 |
|
|
|||
+D e€ e€ + D e€ e€ |
= (D e€ |
+ D e€ |
+ D e€ )e€ |
+ (D e€ |
+ D e€ |
+ D e€ )e€ |
+ |
|||||||||||||||||||||||||||
32 |
3 |
2 |
33 |
3 |
3 |
|
|
11 1 |
|
|
21 |
2 |
|
31 |
3 |
1 |
|
|
12 |
1 |
|
|
|
22 |
2 |
32 |
3 |
|
2 |
|
||||
|
|
|
+(D e€ |
+ D e€ |
+ D e€ )e€ |
= |
|
1e€ |
+ |
|
2e€ |
+ |
|
3e€ |
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
d |
d |
d |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
13 |
1 |
|
23 |
2 |
|
33 |
3 |
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
= (D e€ )e€ |
+ (D e€ )e€ |
+ (D e€ )e€ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где
d 1= D11e€1 + D21e€2 + D31e€3 = D e€1, d 2 = D12e€1 + D22e€2 + D32e€3 = D e€2 ,
d 3 = D13e€1 + D23e€2 + D33e€3 = D e€3 .
Отсюда также следует:
e€1 d 1 = e€1 ( D e€1 ) = e€1 ( D11e€1 + D21e€2 + D31e€3 ) = D11 ,
e€2 d 1 = e€2 ( D e€1 ) = e€2 ( D11e€1 + D21e€2 + D31e€3 ) = D21 ,
e€2 d 2 = e€2 ( D12e€1 + D22e€2 + D32e€3 ) = D22 и т.д.
1.4. Разложить тензор D = 3e€1e€1 + 4e€1e€3 + 6e€2e€1 + 7e€2e€2 +10e€3e€1 + 2e€3e€2 на симметричную и антисимметричную части.
Решение.
Применим формулу разложения тензора