Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Руководство к решению задач

.pdf
Скачиваний:
160
Добавлен:
02.03.2016
Размер:
647.64 Кб
Скачать

Министерство образования Российской Федерации

Ухтинский государственный технический университет

А.С. Попов

Руководство к решению коротких задач

по механике сплошной среды

Учебное пособие

Допущено Учебно-методическим объединением вузов Российской Федерации по нефтегазовому образованию

в качестве учебного пособия для подготовки бакалавров и магистров по направлению 553600 «Нефтегазовое дело»

Ухта 2003

Учебное издание

Александр Сергеевич Попов

Руководство к решению коротких задач по механике сплошной среды

Учебное пособие Рецензенты: кафедра теоретической механики Санкт-Петербургской государствен-

ной лесотехнической академии (зав.кафедрой д.т.н. Ю.А. Добрынин); главный инженер ОАО «Лукойл-Коми» А.А. Казаков.

Редактор В.П. Кипрова Технический редактор Л.П. Коровкина Корректор Т.И. Косолапова

УДК 532 (075.8) П – 58

Попов А.С. Руководство к решению коротких задач по механике сплошной среды: Учебное пособие /А.С. Попов. – Ухта: УГТУ, 2003. – 52с.

ISBN 5-88179-325-0

Учебное пособие состоит из четырех разделов. Каждый раздел включает основные формулы теории и решенные задачи. По всей работе важные уравнения и фундаментальные соотношения представлены как в индексной, так и символьной записи. Используются только «декартовы» тензоры, поскольку существо многих теорий может быть описано с помощью таких тензоров.

Пособие предназначено для студентов технологических специальностей нефтегазового профиля как дневной, так и заочной форм обучения, где по учебным планам на изучение механики сплошной среды отводится очень ограниченное число часов.

©Ухтинский государственный технический университет, 2003

©Попов А.С., 2003

ISBN 5-88179-325-0

План 2003г., позиция 60. Подписано в печать 13.11.03. Компьютерный набор. Гарнитура Times New Roman.

Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 3,1. Уч.-изд. л. 2,8. Тираж 150 экз. Заказ №174.

Ухтинский государственный технический университет. 169300, г.Ухта, ул. Первомайская, д. 13. Отдел оперативной полиграфии УГТУ.

Лицензия ЛР № 020827 от 29 сентября 1998 г. Лицензия ПД № 00578 от 25 мая 2000 г. 169300, г.Ухта, ул. Октябрьская, д. 13.

3

Предисловие

Решение многих актуальных задач требует построения новых моделей для глубокого и более детального описания микроскопических и макроскопических механических и вообще физических объектов, взаимодействий и явлений. В связи с этим ясно выяснилась необходимость введения в преподавание в высших учебных заведениях курса механики сплошной среды как общей основы для развития термодинамики, теории электромагнетизма, гидродинамики, газовой динамики теории упругости, пластичности, ползучести и многих других разделов физики и механики. Общность и неразрывная связь перечисленных выше разделов механики и физики заставляют нас рассматривать их как единое целое. Все более важным становится глубокое понимание не только частных конкретных закономерностей, но и в первую очередь – самого смысла основных законов механики континуума.

В свете сформулированных выше положений составлено данное пособие. Настоящая работа представляет собой попытку помочь студентам старших курсов, которые уже изучили векторную алгебру, математический анализ, теоретическую механику, сопротивление материалов, термодинамику, физику и другие дисциплины, усвоить основы теории сплошной среды на

примерах. Учебное пособие является дополнением к лекционному курсу. Пособие состоит из четырех разделов. Каждый раздел включает основ-

ные формулы теории и решенные задачи, что дает возможность обучающемуся понять и закрепить теоретические знания, полученные на лекциях. По всей работе важные уравнения и фундаментальные соотношения представлены как в индексной, так и в символической записи. Используются только декартовы тензоры, поскольку существо многих теорий может быть описано с помощью таких тензоров.

В первый раздел включены задачи тензорного исчисления, во втором рассматриваются задачи при равновесии континуума. Третий раздел включает задачи кинематики сплошной среды, в четвертом приводятся задачи динамики континуума. В конце каждого раздела есть набор задач и упражнений для самостоятельного решения, служащих для закрепления идей, приведенных в основном тексте.

Пособие предназначено для студентов технологических специальностей нефтегазового профиля как дневной, так и заочной форм обучения, где по учебным планам на изучение механики сплошной среды отводится очень ограниченное число часов.

Автор

4

Раздел 1

Элементы векторной алгебры и диадиков

Величины, значения которых могут быть выражены только действительными числами, называются скалярными (масса, заряд, плотность, температура и т.п.). Величины, значения которых определяются как размерами, так и направлением в пространстве, называются векторами (скорость, ускорение, сила и т.п.). Иными словами, для полного описания скаляра достаточно одного числа, а для такой величины, как вектор, необходимо три числа. Более сложные объекты требуют для своего описания большего числа компонент.

Числа (или функции), которые полностью определяют величину в ка- кой-либо системе координат, называются компонентами этой величины.

С этой точки зрения удобно рассматривать величины как тензоры различных рангов: скаляр – тензор нулевого ранга (30 = 1 компонента), вектор – тензор первого ранга (31 = 3 компоненты), величина, имеющая 32 = 9 компонент – тензор второго ранга и т.д. Тензоры могут быть самого различного ранга, тензор ранга n имеет 3n компонент.

В дальнейшем будем иметь дело с тензорами не выше второго ранга, иногда третьего (тензор Леви – Чивита).

Напомним несколько примеров действий с тензорами первого ранга (векторами) и познакомимся с тензорами второго ранга (диадиками) и действиями над ними.

Скалярным произведением двух векторов a и b называется произведение их модулей на косинус угла между этими векторами, т.е.

ab = ab cos( a,b ).

Таким образом, скалярное произведение двух тензоров первого ранга преобразует эти тензоры в тензор нулевого ранга, т.е. в скаляр.

Если x1, x2 , x3 – оси прямоугольной декартовой системы координат

(рис.

1.1), то

любой вектор

 

a

может

быть

разложен

по ортам

e

,e

,e

этих

 

 

 

1

 

2

 

3

 

осей, и можно написать

a = a1e€1 + a2e€2 + a3e€3 .

В силу взаимной перпендикулярности координатных осей имеем:

ei ek

0,

если i k,

=

если i = k.

 

1,

Рис. 1.1

5

Тогда

a e€1 = a1 ; a e€2 = a2 ; a e€3 = a3 .

Таким образом, a1 , a2 , a3 суть проекции вектора a на координатные

оси x1, x2 , x3 .

Скалярное произведение векторов может быть записано через произведения проекции этих векторов на оси координат

a b =(a1e€1 +a2e€2 +a3e€3 ) (b1e€1 +b2e€2 +b3e€3 ) =a1b1 +a2b2 +a3b3 .

Векторным произведением двух

векторов называется вектор c = a ×b (рис. 1.2), направленный перпендикулярно плоскости векторов – сомножителей в ту сторону, откуда поворот от первого сомножителя ко второму на меньший угол виден против хода часовой стрелки, и равный по величине

Рис. 1.2 площади параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е.

| c |=| a ×b |= ab sin( a,b ).

В отличие от скалярного произведения векторное произведение дает тензор, ранг которого не изменяется. Учитывая правило векторного произведения для векторов e€1 ,e€2 ,e€3 правой системы координат, имеем

e€1 ×e€2 = e€3 , e€2 ×e€3 = e€1 , e€3 ×e€1 = e€2 , e€1 ×e€1 = 0 , e€2 ×e€2 = 0, e€3 ×e€3 = 0.

Применяя это правило, выразим проекции векторного произведения через проекции сомножителей

c

=

a

×

b

= (a e

+ a e

+ a e€ )×(b e

+b e

+

1 1

2

2

3

3

1 1

2

2

 

+b3e€3 ) = a1b2 e€3 a1b3e€2 a2b1e€3 + a2b3e€1 + a3b1e€2 a3b2e€1 = = ( a2b3 a3b2 )e€1 +( a3b1 a1b3 )e€2 +( a1b2 a2b1 )e€3 .

Здесь учтено, что при нарушении циклической перестановки знак вектора векторного произведения изменяется на противоположный.

Отметим удобную запись векторного произведения в виде определителя

e€1 e€2 e€3 c = a ×b = a1 a2 a3 .

b1 b2 b3

6

Векторно-скалярное произведение ( a ×b ) c в силу определения скалярного произведения можно записать:

 

 

 

 

 

 

 

e

e

 

e

 

 

 

 

 

a

a

2

a

3

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

 

 

 

1

 

 

 

(

 

×

 

)

 

=

a

a

 

a

 

( c e + c

e

+ c e

) =

b

b

 

b

.

a

b

c

2

3

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

11

2 2

33

 

1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

b1

b2

b3

 

 

 

 

c1

c2

c3

 

Отсюда вытекает важное следствие о неизменяемости значения век- торно-скалярного произведения при циклической перестановке его векторов:

( a ×b ) c = ( b ×c ) a = ( c ×a ) b .

Если два вектора в векторно-скалярном произведении одинаковы (или параллельны), то это произведение равно нулю

( a ×b ) a = ( a ×b ) b = ( a ×a ) b = 0.

Если три вектора лежат в одной плоскости (компланарны), то условие компланарности векторов a,b и c можно записать в виде:

a1 a2 a3

( a ×b ) c = b1 b2 b3 = 0 , c1 c2 b3

т.е. объем параллелепипеда, построенного на них, равен нулю.

Двойное векторное произведение ( a ×b )×c представляет собой век-

тор, который лежит в плоскости векторов b и c и перпендикулярен к векто-

ру a .

Это произведение раскрывается по формуле

 

 

 

×(

 

 

×

 

 

) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

.

 

a

b

c

b( a c ) c( a b ) =

(

 

 

 

) (

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

b

a c )

 

Как следствие, отсюда можно получить

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

×

 

 

)×

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

.

 

a

b

c

b( a c ) a( b c ) =

(

 

) (

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

c

a

 

c

)

 

Диадой называется неопределенное произведение двух векторов, которое задается написанием векторов один за другим без всякого знака между

ними ab . Диадиком D называется тензор второго ранга; он всегда может быть представлен в виде суммы конечного числа диад:

D = a 1 b 1 + a 2 b 2 + … + a n b n.

7

Если в каждой диаде этой формулы первый и второй сомножители поменять местами, то полученный тензор называется сопряженным исходному и записывается так:

D с = b 1 a 1 + b 2 a 2 + … + b n a n.

Неопределенное произведение векторов обладает свойством дистрибутивности:

a (b+ c ) = a b + a c , ( a +b ) c = a c + b c ,

( a +b )( c + d ) = a c + a d + b c + b d ,

и если λ и µ – скаляры, то

( λ + µ) a b = λ a b + µ a b, ( λ a )b = a (λ b) = λ a b.

Неопределенное произведение в общем случае некомутативно, т.е. a b b a .

Если c – любой вектор, то скалярные произведения c Dи D c являются векторами, которые определяются соответственно формулами

c D = ( c a1 )b 1 + (c a 2)b 2 + … + ( c a n)b n = V , D c = a 1(b 1 c ) + a 2(b 2 c ) + … + a n(b n c ) = U .

Единичный диадик Е – это такой диадик, который представляется в виде

Е = e€1e€1 + e€2e€2 + e€3e€3 ,

где векторы e€1 ,e€2 ,e€3 – векторы любого ортонормированного базиса в трех-

мерном евклидовом пространстве. Единичный диадик характеризуется следующим свойством:

Е c = c Е=W

для всех векторов.

Векторные произведения c ×D и D ×c являются диадиками, которые определяются следующими формулами:

c ×D = ( c × a 1) b 1 + ( c × a 2) b2 + … + ( c × a n) b n = F, D ×c = a 1(b 1×c ) + a 2(b 2×c ) + … + a n(b n×c ) = G.

Скалярное произведение двух диад a b и c d по определению есть диада вида

a b c d = (b c ) a d .

8

Пользуясь этой формулой, можно установить, что скалярное произведение любых двух диадиков D и B тоже является диадиком:

D B = ( a 1 b 1 + a 2 b 2 + … + a n b n) ( c 1 d 1 + c 2 d 2 + … + c n d n) =

= (b 1 c 1) a 1 d 1 + (b 2 c 2) a 2 d 2 + … + (b n c n) a n d n = К.

Диадики D и B называются взаимно обратными, если

D B = B D = E.

Диадик D называют самосопряженным или симметричным, если D = Dc , и антисимметричным, если D = −Dc .

Каждый диадик можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного диадиков, причем это представление единственное

D = 12 ( D + Dc ) + 12 ( D Dc ) = G + H ,

где G = 12 ( D + Dc ) – симметричный диадик, H = 12 ( D Dc ) – антисим-

метричный диадик.

Тензор D также можно разложить следующим образом

D I1E +( D I1E ) = D( s ) + D( d ) ,

где D( s ) = I1 E – сферический тензор (шаровой), ( D I1E ) – девиатор, а I1 – первый ивариант тензора D.

Компоненты тензора любого ранга и сам тензор можно наглядно и кратко представить с помощью индексных обозначений.

Тензоры первого ранга (векторы) обозначаются основными буквами с одним свободным индексом, например ai a или bi b . Тензоры второго ранга обозначаются символами с двумя свободными индексами, например Dij или Dij . Тензоры третьего ранга записываются символами с тремя свободными индексами, например Tklm или εijk . Символ, который не имеет связанного с ним индекса, изображает скаляр, например λ,µ,ρ, или тензор

нулевого ранга.

Если индекс употребляется два раза, то подразумевается, что этот индекс принимает все значения из этого интервала, изменения и члены, соответствующие каждому значению индекса из этого набора, суммируются. Повторяющийся индекс называют немым, так как его замена на любые другие буквы, не использованные в качестве свободных индексов, не меняет значения члена, в который они входят. В правильно написанном выражении ни один индекс не встречается более двух раз.

9

Удобство индексных обозначений для записи системы равенств в компактной форме можно рассмотреть на следующем примере:

xi = Dij z j (i =1,2,3)

x1 = D11 z1 + D12 z2 + D13 z3 ,

x2 = D21 z1 + D22 z2 + D23 z3 ,

x3 = D31 z1 + D32 z2 + D33 z3 ,

что представляет в развернутой форме три уравнения.

Дифференцирование компонент тензора по координате xk обозначает-

ся дифференциальным оператором xk . В символических обозначениях для

записи этой операции употребляется символ (набла), который расшифровывается так:

 

=

e€

+

 

e€

+

 

e€

=

 

e€ .

 

x

x

 

x

 

x

 

 

 

1

2

3

 

k

 

 

1

 

 

2

 

 

 

3

 

 

 

k

Примеры решения задач

 

 

1.1. Дан некоторый диадик D = aee+bee

+ceeи радиус-вектор

 

 

 

 

1

1

2

2

3

3

 

 

= x1e€1 + x2e€2

+ x3e€3 . Показать, что уравнение

 

 

D

 

= 1 представляет эл-

 

r

 

r

r

липсоид ax2 +bx2

+ cx3 =1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполним указанные действия, сначала умножение тензора на вектор

справа, затем выполним скалярное перемножение векторов

 

D

 

= (x1e€1 + x2e€2 + x3e€3 ) (ae€1e€1 +be€2e€2 + ce€3e€3 ) (x1e€1 + x2e€2 + x3e€3 )=

 

r

r

 

= (x e€

+ x

2

e€

+ x e€

)

(ax e€

 

+bx

2

e€

+ cx

e€

)= ax2

+bx2

+ cx2 .

1

1

 

2

3

3

 

1

1

 

2

3

3

1

2

3

 

Если учесть, что полученное выражение должно быть равно единице

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax2

 

+bx2

+ cx3 =1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

3

 

 

 

 

то оно представляет собой уравнение эллипсоида.

1.2. Определить диадики G = D F и H = F D , если

D =3e€1e€1 + 2e€2e€2 e€3e€3 +5e€3e€3 и F = 4e€1e€3 + 6e€2 e€2 3e€3e€2 + e€3e€3 .

Решение.

Воспользуемся правилом умножения диад a b c d = (b c ) a d .

10

Тогда

G = D . F = (3e€1e€1 + 2e€2 e€2 e€2 e€3 + 5e€3e€3 ) . ( 4e€1e€3 + 6e€2 e€2 3e€3e€2 + e€3e€3 ) =

=12e€1e€3 +12e€2e€2 +3e€2e€2 15e€3e€2 e€2e€3 +5e€3e€3 =

=12e€1e€3 +15e€2e€2 e€2e€3 15e€3e€2 +5e€3e€3 .

Подобным же образом

H = F D = ( 4e€1e€3 + 6e€2e€2 3e€3e€2 + e€3e€3 ) . (3e€1e€1 + 2e€2e€2 e€2e€3 +5e€3e€3 ) =

=20e€1e€3 +12e€2e€2 6e€3e€2 6e€3e€2 +3e€3e€3 +5e€3e€3 =

=20e€1e€3 +12e€2e€2 6e€2e€3 6e€3e€2 +8e€3e€3 .

Видим, что диадики получаются различными.

1.3.Исходя из девятичленной формы записи тензора второго ранга D, показать, что его можно представить в виде

D = ( D e€1 )e€1 +( D e€2 )e€2 +( D e€3 )e€3 ;

показать также, что e€1 D e€1

= D11 ,

e€1 D e€2

= D12

 

и т.д.

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Напишем D в девятичленной форме и перегруппируем члены

 

 

 

 

D = D ee

+ D ee

+ D ee+ D ee

 

+ D ee

+ D ee

+ D ee

+

 

 

 

11 1 1

 

 

12

1

2

13

1

3

 

21

2

1

 

 

 

 

22

2

2

 

 

23

2

3

31

3

1

 

 

+D ee+ D ee

= (D e

+ D e

+ D e€ )e

+ (D e

+ D e

+ D e€ )e

+

32

3

2

33

3

3

 

 

11 1

 

 

21

2

 

31

3

1

 

 

12

1

 

 

 

22

2

32

3

 

2

 

 

 

 

+(D e

+ D e

+ D e€ )e

=

 

1e

+

 

2e

+

 

3e

=

 

 

 

 

 

 

 

 

d

d

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

1

 

23

2

 

33

3

3

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (D e€ )e

+ (D e€ )e

+ (D e€ )e

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

d 1= D11e€1 + D21e€2 + D31e€3 = D e€1, d 2 = D12e€1 + D22e€2 + D32e€3 = D e€2 ,

d 3 = D13e€1 + D23e€2 + D33e€3 = D e€3 .

Отсюда также следует:

e€1 d 1 = e€1 ( D e€1 ) = e€1 ( D11e€1 + D21e€2 + D31e€3 ) = D11 ,

e€2 d 1 = e€2 ( D e€1 ) = e€2 ( D11e€1 + D21e€2 + D31e€3 ) = D21 ,

e€2 d 2 = e€2 ( D12e€1 + D22e€2 + D32e€3 ) = D22 и т.д.

1.4. Разложить тензор D = 3e€1e€1 + 4e€1e€3 + 6e€2e€1 + 7e€2e€2 +10e€3e€1 + 2e€3e€2 на симметричную и антисимметричную части.

Решение.

Применим формулу разложения тензора

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.