Руководство к решению задач

21

Определить вектор напряжения в этой точке на площадке с единичным вектором нормали n€ = 14 e€1 − 34 e€2 + 34 e€3 .

Решение.

Для решения воспользуемся формулой (2.3). Умножение лучше всего выполнить в матричной форме

Таким образом, вектор напряжения в точке М на площадке с единичным вектором n€ равен pn€ = − 14 (3e€1 +15e€2 −9e€3 ).

Для вектора напряжений в точке М на площадке с единичным вектором

2.3. Напряженное состояние в любой точке сплошной среды в декартовой системе координат задано тензором

ной в этой точке к цилиндрической поверхности x22 + x32 = 4 (рис. 2.1).

Решение.

23

2.4. Напряженное состояние в некоторой точке задано в декартовой системе координат Ox1 x2 x3 тензором

2.5. Считая атмосферный воздух совершенным газом, температура которого меняется линейно с высотой T = T0 −αx3 , где T0 – температура на

уровне Земли, а координата x3 отсчитывается от уровня Земли вверх. Определить атмосферное давление как функцию x3 в условиях гидростатики.

Решение.

В этом случае из уравнения состояния следует ( p = сRT )

Так как из массовых сил действует только сила тяжести, то f3 = −g и уравнение гидростатического равновесия дает

24

где С – постоянная интегрирования.

После потенцирования уравнение (4) примет следующий вид

Подставляя это значение в (5) и сделав простые преобразования, получим зависимость

атмосферного давления воздуха от высоты над поверхностью Земли.

2.6. Главные напряжения в точке М таковы: σI =12 , σII = 3 , σIII = −6 .

Определить вектор напряжения и его нормальную компоненту на октаэдрической площадке в точке М.

Решение.

Октаэдрической называется площадка, которая составляет равные углы с главными направлениями (рис. 2.2). Нормаль к октаэдрической площадке в главных осях дается выражением

n€ = 13 (e€1 + e€2 + e€3 ).

Тогда, согласно формулы (2.3), вектор напряжения на такой площадке равен

Рис. 2.2

25

Определить: а) распределение массовых сил, если уравнения равновесия удовлетворяются повсюду; б) величины главных напряжений в точке

М(а,0, 2 a ); максимальное касательное напряжение в точке М; главные значения девиатора напряжения в точке М.

Решение.

а) Воспользуемся формулами (2.5) для записи уравнений равновесия

2x1 x2 − 2x1 x2 +ρf1 = 0,

1− x22 + x22 −1+ρf2 = 0 , 4x3 +ρf3 = 0.

Из решения этой системы следует, что f3 = − 4ρx3 .

б) Чтобы найти величины главных напряжений в точке М, запишем тензор напряжений для этой точки

в) Для вычисления максимального касательного напряжения применим формулу

26

σS = 12 (σIII − σI )= 12 (− a −8a)= − 4,5a .

г) Главные значения девиатора напряжений найдем с помощью определителя

s3 + ps + q = 0 .

Для проверки правильности ответов воспользуемся формулой (2.12)

где σM = 13 I1 = 13 σii .

Задачи для самостоятельного решения

27

2.9. В точке М дан тензор напряжений

Определить вектор напряжения в точке М на площадке, параллельной плоскости: а) BGE, б) BGFC в элементарном параллелепипеде, изображенном на рис. 2.4.

Ответ: а) pn€ =11e€1 +12e€2 +9e€3 ;

б) pn€ = (21e€1 +14e€2 +12e€3 ) 15 .

С

2.10. Определить нормальную и касательную компоненты напряжения

Определить вектор напряжения и его касательную компоненту на октаэдрической площадке в точке М.

Ответ: pn€ = 13 (12e€1 +3e€2 −6e€3 ), σn = 3.

2.12. Определить величины главных напряжений для тензоров

и показать, что главные оси этих тензоров совпадают.

Ответ: а) σI = 2 , σII = σIII = −1; б) σI = 4 , σII = σIII =1.

2.13. Разложить тензор напряжений

на шаровую часть и девиатор и найти главные значения девиатора напряжений.

Ответ: sI = 31, sII = 8 , sIII = −39 .

2.14.Показать, что нормальная компонента вектора напряжения на октаэдрической площадке равна одной трети первого инварианта тензора напряжений.

2.15.В некоторой точке задан тензор напряжений

причем величина σ22 не указана. Определить σ22 так, чтобы вектор напря-

жения на некоторой площадке в этой точке обращался в нуль. Найти единичную нормаль к этой свободной от напряжений площадке.

29

Раздел 3

Кинематика сплошной среды

Если pij... – любое скалярное, векторное или тензорное свойство континуума дано в лангранжевом представлении