Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Руководство к решению задач

.pdf
Скачиваний:
160
Добавлен:
02.03.2016
Размер:
647.64 Кб
Скачать

21

Определить вектор напряжения в этой точке на площадке с единичным вектором нормали n€ = 14 e€1 34 e€2 + 34 e€3 .

Решение.

Для решения воспользуемся формулой (2.3). Умножение лучше всего выполнить в матричной форме

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3

 

 

3

 

6

0

3

 

[p , p , p

]=

,

,

 

 

0

5

 

0

 

=

 

 

 

 

 

4

4

 

 

 

n1

n2

n3

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

0

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

9

,

15

,

3

 

12

3

,

15

,

9

 

 

=

 

 

 

 

 

 

+

 

 

= −

 

 

 

 

 

 

.

 

 

4

4

 

 

4

 

 

4

 

 

4

 

4

 

 

 

4

 

 

 

 

4

 

Таким образом, вектор напряжения в точке М на площадке с единичным вектором n€ равен pn€ = − 14 (3e€1 +15e€2 9e€3 ).

2.2. В точке М задан тензор напряжений

 

 

7

0

2

 

 

0

5

0

 

P =

.

 

2

0

4

 

 

 

Для вектора напряжений в точке М на площадке с единичным вектором

нормали n€

=

2

e€

2

e€

 

+

1

e€

определить: а) компоненту, перпендикулярную

3

3

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n€ .

 

 

 

площадке (ее модуль), б) угол между векторами

 

 

n€ и

 

 

 

p

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим напряжение в точке М на площадке с единичным вектором

n€ по формуле (2.3)

 

pn = n€ P , представив тензор P в девятичленной форме.

pn

=

P

= 2

 

2

+

 

1

 

 

 

 

€ €

 

€ €

+

 

 

€ €

€ € +

€ €

=

 

n

 

 

e1

 

 

 

3

e2

 

 

3

e3

 

(7e1e1

 

2e1e3

 

 

 

5e2e2

 

2e3e1

4e3e3 )

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

14 e

4 e

10 e

 

2 e

+

4 e

=

4e

10 e€ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

1

 

 

3

3

 

 

3

2

 

 

3

1

 

 

3

3

 

 

 

1

3

2

 

 

Таким образом,

 

 

 

 

= 4e€

 

10

e€ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

n€

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Численное значение компоненты вектора

 

 

 

 

n€ , перпендикулярной пло-

 

 

 

p

щадке, вычислим по формуле pnn

=

 

n€ n€ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

8

 

20

 

44

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

nn

= p

 

n€ =

4e€

 

 

 

 

e€

 

 

 

e€

 

e€

+

 

 

e€

=

 

+

 

=

 

 

 

 

.

 

 

 

3

 

 

3

3

3

9

9

 

 

 

n€

 

1

 

2

 

 

3 1

 

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

Угол между векторами

 

 

 

и

 

n€ следует из условия pn n€ =

 

 

 

n€

 

cos θ,

 

p

n€

 

 

p

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos θ =

pn€ n =

 

 

44 / 9

 

 

 

0,94

и θ = 20o .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pn

 

 

 

 

 

 

 

10

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

42 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3. Напряженное состояние в любой точке сплошной среды в декартовой системе координат задано тензором

P = 3x x

2

e€ e€

+ 5x2 e€ e€

+ 5x2 e€

e€ + 2x

3

e€

e€

+ 2x

3

e€ e€ .

1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

3

 

3

2

Определить вектор напряжения в точке М (2, 1,

3) на площадке, касатель-

ной в этой точке к цилиндрической поверхности x22 + x32 = 4 (рис. 2.1).

Решение.

Компоненты напряжения в точ-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ке М принимают значения, которые

 

 

 

 

 

 

 

 

 

удобно обозначить таблицей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

5

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P =

 

5

0

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 2 3 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Единичный

вектор

 

нормали

в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точке М

определяется

вектором

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gradϕ =

 

(x22 + x32 4) и, следователь-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.1

 

 

 

но, в точке М

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ = 2x2e€2 + 2x3e€3 = 2e€2 + 2 3e€3 .

 

 

 

 

Тогда единичный вектор нормали в точке М есть n€ = 1 e€

+

3 e€ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

2

3

Наконец, вектор напряжения на площадке, перпендикулярной к n€ в

точке М, равен

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

5

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

0

2

3

 

 

 

5

/ 2

или P

=

e€1 +3e€2

+

 

3e€3 .

 

 

 

5

 

 

1/ 2

=

 

3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 / 2

 

 

3

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 2 3 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

2.4. Напряженное состояние в некоторой точке задано в декартовой системе координат Ox1 x2 x3 тензором

 

 

 

2

 

-2

0

 

 

P =

 

2

 

2

 

 

 

 

 

0 .

 

 

 

 

0

 

0 -

 

 

 

 

 

 

2

 

Определить тензор напряжений P

для повернутых осей Ox1x2x3, кото-

рые связаны с осями без штрихов тензором преобразования

 

 

0

 

1/

2

1/ 2

 

 

 

 

 

A =

1/ 2

1/ 2

-1/ 2

.

 

1/

 

2 1/ 2

-1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для

 

решения

применим

 

закон

преобразования

напряжений в

виде

pij′ = aip a jq p pq

или P′ = A P AC . Вычисление лучше произвести умножени-

ем матриц. Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1/

2 1/

2

 

 

2 -2 0

0

 

1/ 2 -1/

2

 

 

[pij]=

 

1/

2 1/ 2

-1/ 2

 

 

 

 

1 /

2

1/ 2

1/ 2

 

 

=

 

 

2

2 0

 

 

 

 

 

2 1/ 2

 

 

 

 

 

 

1 /

2 -1/ 2

-1/ 2

 

 

 

1 /

-1/ 2

0 0 - 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

0

1-

2 -1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

-1

1+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2.5. Считая атмосферный воздух совершенным газом, температура которого меняется линейно с высотой T = T0 −αx3 , где T0 – температура на

уровне Земли, а координата x3 отсчитывается от уровня Земли вверх. Определить атмосферное давление как функцию x3 в условиях гидростатики.

Решение.

В этом случае из уравнения состояния следует ( p = сRT )

p = сR(T0 −αx3 ).

(1)

Так как из массовых сил действует только сила тяжести, то f3 = −g и уравнение гидростатического равновесия дает

dp

= −сg .

(2)

 

dx3

 

24

Подставляя значение с из (1), будем иметь

 

 

 

 

 

 

dp

 

= −

 

 

pg

 

 

 

.

(3)

 

dx

3

 

(T

−αx

3

)R

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

Разделяем переменные и интегрируем:

 

 

 

 

 

 

 

ln p =

 

 

g

ln(T

−αx

3

)+ln C ,

(4)

 

 

 

 

 

αR

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где С – постоянная интегрирования.

После потенцирования уравнение (4) примет следующий вид

p = C(T0 −αx3 )

g

 

 

.

(5)

αR

Постоянную С определим из условия при x3 = 0 ,

p = p0 , где p0 – давление

на поверхности Земли и

 

 

 

 

 

 

C = p T

g

 

 

.

 

αR

 

0

0

 

 

 

 

 

Подставляя это значение в (5) и сделав простые преобразования, получим зависимость

 

 

αx3

 

g

 

 

Rα

 

 

 

(6)

T

p = p0 1

 

 

 

0

 

 

атмосферного давления воздуха от высоты над поверхностью Земли.

2.6. Главные напряжения в точке М таковы: σI =12 , σII = 3 , σIII = −6 .

Определить вектор напряжения и его нормальную компоненту на октаэдрической площадке в точке М.

Решение.

Октаэдрической называется площадка, которая составляет равные углы с главными направлениями (рис. 2.2). Нормаль к октаэдрической площадке в главных осях дается выражением

n€ = 13 (e€1 + e€2 + e€3 ).

Тогда, согласно формулы (2.3), вектор напряжения на такой площадке равен

Рис. 2.2

25

 

 

 

=

1

(e€

 

+ e€ + e€

) (σ e€ e€

+ σ

 

e€ e€

 

+ σ

e€ e€ )=

1

 

(12e€

+3e€

6e€ ),

 

p

 

 

 

 

 

 

n

 

3

1

2

 

3

 

 

I 1

1

 

 

II

2 2

 

III

3

 

3

3

 

1

2

3

а его нормальная компонента согласно формулы (2.9)

 

1

 

 

 

 

 

 

N = n€

 

 

 

= 1

(e€

+ e€

 

+ e€

)

1

(12e€

+3e€

6e€

)=

 

(12 +3 6)= 3 .

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

n

3

 

1

2

 

3

 

 

 

 

 

1

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

2.7. Поле напряжений в сплошной среде задано тензором

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 x

2

 

 

 

 

(1x2 )x

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

ij

=

(1x

2 )x

 

 

1

(x3

3x

2

)

 

0

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x3

 

 

 

Определить: а) распределение массовых сил, если уравнения равновесия удовлетворяются повсюду; б) величины главных напряжений в точке

М(а,0, 2 a ); максимальное касательное напряжение в точке М; главные значения девиатора напряжения в точке М.

Решение.

а) Воспользуемся формулами (2.5) для записи уравнений равновесия

2x1 x2 2x1 x2 f1 = 0,

1x22 + x22 1f2 = 0 , 4x3 f3 = 0.

Из решения этой системы следует, что f3 = − 4ρx3 .

б) Чтобы найти величины главных напряжений в точке М, запишем тензор напряжений для этой точки

 

 

 

 

 

0

a

0

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

8a

и вычислим главные напряжения с помощью определителя

 

− σ

a

0

 

= −σ[− σ(8a − σ)]+ a[a(8a − σ)]= (8a − σ)(σ2 a2 )= 0,

 

 

 

a − σ 0

 

 

0

0

8a −σ

 

 

 

 

откуда следует: σI

= 8a , σII = a , σIII

= −a .

 

в) Для вычисления максимального касательного напряжения применим формулу

26

σS = 12 (σIII − σI )= 12 (a 8a)= − 4,5a .

г) Главные значения девиатора напряжений найдем с помощью определителя

 

 

8

a s

 

 

a

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

16

 

 

55

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

a s

0

 

=

 

 

a s s2

+

 

 

 

as +

 

a2 = 0 ,

 

 

3

 

3

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

a s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда sI

 

=

16

a ,

sII

 

= −

5

a ,

 

sIII = −

1

a .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из данного примера видно, что характеристическое уравнение для тен-

зора напряжений

 

 

представляет

собой

кубическое

уравнение вида

s3 + ps + q = 0 .

Для проверки правильности ответов воспользуемся формулой (2.12)

sI = σI −σM

= 8a

 

8

a =

16

 

a ,

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

sII = σII −σM

= a

8

a = −

5

a ,

 

 

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

sIII = σIII −σM

= −a

 

8

a = −

11

a ,

 

 

 

 

 

 

3

3

 

где σM = 13 I1 = 13 σii .

Задачи для самостоятельного решения

2.8. В точке М задан тензор напряжений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

5

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P =

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определить вектор напряжения на площадке, проходящей через точку

М параллельно плоскости АВС (рис. 2.3).

 

 

Ответ:

 

 

= −

9

e€

+

5

e€

+

10

e€ .

 

 

 

p

n€

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

1

7

2

7

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

2.9. В точке М дан тензор напряжений

 

14

7

7

 

 

7

21

0

 

P =

.

 

7

0

35

 

 

 

Определить вектор напряжения в точке М на площадке, параллельной плоскости: а) BGE, б) BGFC в элементарном параллелепипеде, изображенном на рис. 2.4.

Ответ: а) pn€ =11e€1 +12e€2 +9e€3 ;

б) pn€ = (21e€1 +14e€2 +12e€3 ) 15 .

С

 

B

A

 

Рис. 2.3

Рис. 2.4

2.10. Определить нормальную и касательную компоненты напряжения

на плоскости BGFC задачи

2.9.

 

Ответ: σn =

63

 

, στ =

 

37,5

.

 

5

5

 

 

 

2.11. Главные

напряжения в точке М таковы: σI =12 , σII = 3 ,

σIII = −6 .

 

 

 

 

Определить вектор напряжения и его касательную компоненту на октаэдрической площадке в точке М.

Ответ: pn€ = 13 (12e€1 +3e€2 6e€3 ), σn = 3.

2.12. Определить величины главных напряжений для тензоров

 

 

 

 

 

 

28

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

1

 

 

 

 

2

1

1

 

а)

P1

 

1

0

1

 

и б)

P2

 

1

2 1

 

=

 

=

 

 

 

 

1

1

0

 

 

 

 

1

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и показать, что главные оси этих тензоров совпадают.

Ответ: а) σI = 2 , σII = σIII = −1; б) σI = 4 , σII = σIII =1.

2.13. Разложить тензор напряжений

 

3

10

0

 

 

10

0

30

 

P =

 

 

0

30

27

 

 

 

на шаровую часть и девиатор и найти главные значения девиатора напряжений.

Ответ: sI = 31, sII = 8 , sIII = −39 .

2.14.Показать, что нормальная компонента вектора напряжения на октаэдрической площадке равна одной трети первого инварианта тензора напряжений.

2.15.В некоторой точке задан тензор напряжений

 

0

1

2

 

 

 

1

σ22

1

 

 

P =

 

,

 

2

1

0

 

 

 

 

 

причем величина σ22 не указана. Определить σ22 так, чтобы вектор напря-

жения на некоторой площадке в этой точке обращался в нуль. Найти единичную нормаль к этой свободной от напряжений площадке.

Ответ: σ

 

= 1,

 

=

1

(e€

2e€

+ e€ ).

 

n

 

22

 

 

 

6

1

2

3

29

Раздел 3

Кинематика сплошной среды

Если pij... – любое скалярное, векторное или тензорное свойство континуума дано в лангранжевом представлении

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pij...

= pij... (

 

 

 

 

 

,t),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то индивидуальная производная по времени от этой величины имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dpij...

 

 

 

 

 

 

 

pij... (

 

 

 

 

 

,t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если некоторое свойство задано функцией pij... в эйлеровых переменных

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pij...

 

= pij... (

 

 

,t),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то вычисление производной приводит к выражению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dpij... (

 

,t)

 

 

 

 

 

pij... (

 

 

,t)

 

 

 

 

 

 

 

pij... (

 

 

,t)

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

=

r

+

r

 

k

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dpij... (

 

,t)

 

 

 

 

pij... (

 

 

 

,t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pij... (

 

 

 

,t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

r

+ vk

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ui (

 

,t),

Если поле перемещений дано в лагранжевых переменных ui

 

X

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dui (

 

 

 

 

 

,t)

 

 

 

 

 

 

 

 

ui (

 

 

 

 

 

 

,t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vi = u&i

X

X

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

 

 

 

 

d

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

,t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(X ,t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

X

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V = u

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если перемещение задано в эйлеровой форме ui

 

 

= ui (

 

 

,t ) , то

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ui

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du( r,t )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ui ( r,t )

 

 

 

 

 

 

vi (

 

,t ) ui (

 

,t )

=

 

 

 

+ vk (

 

 

,t )

,

 

 

 

r

r

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk

(3.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du( r,t )

= u( r,t ) +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

,t )

 

i (

 

,t )

=

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

r

u

r

V

r

,t )

u( r,t ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если скорость дана в лагранжевой форме, то

30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dvi ( X ,t )

 

= vi ( X ,t ) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ai vi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

dV i

( X ,t )

 

= V( X ,t ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если же скорость выражена в эйлеровой форме, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

i (

 

 

 

,t )

 

 

 

 

 

vi (

 

 

,t )

+ vk (

 

,t )

vi (

 

 

 

,t )

,

 

ai (

 

 

,t )

v

r

=

 

r

r

 

r

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

,t )

 

 

 

=

 

 

(

 

 

 

 

 

,t ) +

 

 

 

 

(

 

 

 

,t )

 

 

 

 

 

 

(

 

 

,t ).

 

a(

 

 

,t )

dV

r

 

 

 

V

r

 

r

 

 

 

V

r

 

V

r

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференциальные уравнения линий тока имеют вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx1

=

 

dx2

 

=

dx3

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тензор градиента скорости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y =

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v3

 

 

 

 

 

 

v3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

который можно разложить на симметричную и антисимметричную части

 

 

v

i

 

 

1

 

 

 

v

i

 

 

 

 

 

 

 

 

v j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

v

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= D

+V

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ij

xi

 

2

 

 

x j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

x j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ij

 

 

 

 

ij

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.10)

 

 

 

Y =

1

(

 

 

 

 

+

 

 

 

)

+

1

(

 

 

 

 

 

 

)= D +V .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

V

V

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тензор скоростей деформаций (симметричная часть тензора Y )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

vi

 

 

 

 

 

 

 

v j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

D

ji

=

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

, или D =

(V + V ).

(3.11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ij

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

x j

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тензор завихренности (антисимметричная часть тензора Y )

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.