Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Руководство к решению задач

.pdf
Скачиваний:
240
Добавлен:
02.03.2016
Размер:
647.64 Кб
Скачать

31

 

 

 

 

1

 

vi

 

v j

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

= −Y

ji

=

 

 

, или Y =

(V V ).

(3.12)

 

 

 

 

ij

 

2

 

x j

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ассоциированный с тензором завихренности вектор определяется соотношением.

qi

= εijk

vk

, или

 

=

 

×

 

(3.13)

q

 

V

 

 

 

xi

 

и называется вектором завихренности. Вектор вихря скорости

ωi =

1

qi =

1

εijk

vk

, или

 

=

1

 

 

=

1

 

 

×

 

.

(3.14)

ω

q

 

V

2

2

 

 

 

2

2

 

 

 

 

x j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение вихревой линии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx1

=

dx2

=

dx3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.15)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

q

2

 

 

q

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры решения задач

3.1. Дан закон движения континуума x1 = X1 ,

x2 = e2t (X 2 + X 3 )+ e2t (X 2 X 3 ), x3 = e2t (X 2 + X 3 )e2t (X 2 X 3 ).

Определить компоненты скорости в эйлеровой и лагранжевой формах.

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X 2 + X 3 = et (x2 + x3 ),

 

 

 

Из

второго и

третьего

уравнений получаем

 

X

2

X

3

= et (x

2

x

3

). Разрешая их, находим обращенные уравнения X

1

= x ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

X 2

=

et

(x2 + x3 )+

et

(x2 x3 ),

X 3

=

et

(x2 + x3 )

et

(x2 x3 ). Тогда компо-

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ненты перемещения ui = xi X i

можно записать либо в лагранжевой форме:

 

 

 

 

 

 

 

u = 0, u

2

=

et

 

(X

2

+ X

3

)+

et

(X

2

X

3

)X

2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u3 = e2t (X 2 + X 3 )e2t (X 2 X 3 )X 3 ,

либо в эйлеровой форме:

u1 = 0, u2 = x2 e2t (x2 + x3 )e2t (x2 x3 ),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u3 = x3

et

 

(x2 + x3 )

+

et

(x2 x3 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Компоненты скорости в лагранжевом представлении согласно формуле

(3.4) будут равны

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v = 0,

v

2

=

 

 

et

 

(X

2

+ X

3

)

et

(X

2

X

3

),

v

3

=

et

(X

2

+ X

3

)+

et

(X

2

X

3

).

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С другой стороны, если движение задано в эйлеровых переменных, то

из формулы (3.5) находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v1 = 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v2

=

 

et

 

(x2

+ x3 )

et

(x2 x3 )+ v2

 

 

2 et et

+ v3

et + et

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v3

=

et

 

(x2

+ x3 )+

et

 

(x2 x3 )+ v2

 

 

et + et

 

+ v3

2 et et

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

3.2. Дано поле скоростей

v

=

 

x1

 

, v

 

 

 

=

2x2

, v

3

=

3x3

. Найти компо-

1+t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

1+t

 

1+t

 

 

 

 

 

ненты ускорения.

Решение.

Так как поле скоростей задано в эйлеровых переменных, то воспользуемся формулой (3.7), откуда

 

 

a = −

 

x1

 

 

+

 

x1

 

 

 

= 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1

+t)2

(1+t)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

= −

2x2

 

 

+

 

4x2

 

 

 

=

 

2x2

;

 

 

 

 

 

2

(1+t)2

(1+t)2

 

(1+t)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

= −

3x3

 

+

 

9x

 

 

 

=

 

6x3

 

.

 

 

 

 

 

3

(1 +t)2

(1+t)2

 

(1+t)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.3. Поле скоростей задано вектором

 

= x 2t e1

 

+ x

t 2

e2

+ x x

t e3 . Оп-

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

1

3

 

ределить скорость и ускорение частицы, находящейся в момент t1 =1с в точ-

ке M1 (1,3,2).

33

Решение.

Прямой подстановкой в выражение вектора скорости момента времени t1 =1с и координат точки M1 найдем

 

 

 

 

 

 

V

= e1

+3e2

+ 2e3 .

Пользуясь векторной формулой

a = Vt +V V ,

получим поле ускорений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

= x

2 e1+

2x t e2

+ x x e3

+

 

x

2t e1+ x t

2 e

 

+ x x t e3

 

×

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

1 2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

×

 

2x t e1 e1

+ x t2 e1 e3 +t e2 e2

+ x t e3 e3

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 2

 

 

 

 

2

x t

2

+ x t

4

e

+ x

2

x t

2 ^

=

 

 

 

e1+ 2x t e2 + x x e3 + 2x t e1+ x

 

e3

 

 

e3

1

 

 

 

2

 

 

1

2

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

3

 

 

 

 

2

 

 

 

2

1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

 

 

 

 

 

 

 

=(x12 + 2x13t2 )e1+(2x2t + x2t4 )e2 +

(x1x2 + 2x12 x3t2 )e3 .

 

После подстановки момента времени t1 =1с и координат точки M1 по-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

лучим

a

= 3e1

+9e2

+ 6e3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

2x

2

 

 

 

3x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.4. Для поля скоростей

V =

 

 

1

 

e1

+

 

 

 

 

e2 +

 

 

 

e3 . Найти линии тока

1

+t

1+t

1+t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и траектории и доказать, что они совпадут.

Решение.

Касательная к линии тока в каждой точке направлена по вектору скорости. Следовательно, для бесконечно малого вектора d r касательной к линии тока можно написать V ×d r = 0 и получим таким образом дифференциаль-

ные уравнения линий тока

dx1

=

dx2

=

dx3

 

. Для указанного поля скоростей

v

 

 

 

 

 

 

 

v

2

 

 

v

3

 

 

 

 

эти уравнения имеют вид

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx1

 

=

dx2

 

=

dx3

.

 

 

 

x

 

 

2x

2

 

 

 

3x

3

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегрируя их с учетом начальных условий, что при t = 0 xi = X i , находим уравнения линий тока:

34

 

 

x1 dx

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

1

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

= 2

 

 

x

2

 

 

,

ln

X

1

= 2 ln

X

2

 

 

,

 

X

1

=

 

X

 

2

 

 

,

 

X

1

 

 

=

 

X

2

 

 

;

 

 

 

 

X1

1

 

 

 

 

 

X 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 dx

 

 

 

1 x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

1

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

= 3

 

 

x

3

 

 

,

 

ln

X

1

= 3 ln

X

3

 

 

,

 

X

3

=

 

X

3

 

 

,

 

X

1

 

 

=

 

X

 

3

;

 

 

 

 

X1

1

 

 

 

 

 

X3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 dx

 

 

 

 

1 x2 dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

x

 

 

 

1

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x

 

2

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

3

 

 

3

2

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x2

=

 

 

x3

,

 

 

2

 

ln

X 2

=

3

ln

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

=

 

 

 

 

.

X 2

 

 

3 X3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X 3

 

 

 

X1

 

 

X 3

 

 

 

X 2

 

 

 

 

 

X 3

Интегрируя выражения для скорости vi = dxdti , находим уравнения тра-

екторий

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x1 dx

 

 

t

dt

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

=

 

 

1

 

;

 

 

 

 

 

1

 

=

 

 

 

; ln

 

 

 

1

 

 

 

= ln(1+t ); x1

= X1(1+t ),

 

 

 

 

 

d

t

 

1+t

 

x

 

1+t

 

 

X

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X1

 

 

 

 

1

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

2

 

=

2x

2

 

;

1 x2 dx

2

 

=

t

dt

;

1

ln

 

 

x

2

 

= ln(1+t );

x2

= X 2 (1+t )2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

1+t

2

 

 

 

 

x

 

 

 

1+t

2

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X 2

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

3

 

 

 

 

3x

2

 

 

1 x3

 

dx

3

 

 

 

t

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 3

 

 

 

 

; ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 3ln(1+t );

x3

= X 3 (1+t )3 .

d

 

 

 

1+t

2

 

 

 

x

 

 

 

 

1 +t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X3

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исключая из этих уравнений параметр t , получаем уравнения траекторий, которые в точности совпадут с найденными выше линиями тока.

3.5. Некоторое течение задано полем скоростей

v = 0 , v

2

= A( x x

2

x

2

)eBt , v

3

= A( x

2

x x

3

)eBt ,

1

1

 

3

 

 

2

1

 

где A и B – константы. Вычислить градиент скорости Y для этого движения, тензор скоростей деформации D и тензор завихренности V в точке M (1,0,3) в момент времени t = 0 .

Решение.

Y = vi

x j

v1

x1

v

=x2

v13

x1

v1

 

 

v1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

0

 

 

 

v

2

 

 

v

2

 

 

=

 

x

 

 

x

 

2x

 

 

AeBt .

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

x2

 

 

x3

 

 

x

 

2x

 

x

 

 

 

v3

 

 

v3

 

 

 

 

 

 

3

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В точке M (1,0,3) в момент времени t = 0 этот тензор принимает значения

35

 

0

0

 

0

A

Y =

 

3A

0

 

0

6A .

A

Тензор скоростей деформации D вычислим по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

v1

 

+

v2

v1

+

v3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

x2

 

 

x1

x3

x1

 

 

 

0

x

x

 

 

 

 

1 v

 

 

v

 

 

v

 

 

v

 

v

 

1

 

2

3

 

Bt

 

D =

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

2

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

+

 

 

=

 

x2

2x1

2x3 +2x2 Ae

.

2

x

 

x

x

 

 

x

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

v3

 

2

v2

3

 

2

 

x3

2x2 2x3

2x1

 

 

 

 

 

v3

+

v1

 

+

 

2

v3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

x

 

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

3

 

 

2

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В точке M1

(1,0,3) в момент t = 0 тензор D примет значение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

1,5A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

A

 

3A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D =

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3A

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,5A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тензор завихренности V вычислим по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v1

 

v2

 

 

 

v1

 

 

v3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

x1

x3

x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

x2

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

2

 

 

v

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AeBt .

V =

 

 

 

 

 

1

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

=

 

 

 

x

2

 

 

0

 

2x

2x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2x

 

+2x

0

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

v3

 

v2

 

 

 

3

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v3

v1

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

 

x

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

3

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В точке M1

(1,0,3) в момент t = 0 тензор V

примет значение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

1,5A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V =

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3A .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,5A 3A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для проверки вычислений можно воспользоваться формулой (3.10)

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

1,5A

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0 1,5A

 

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

A 3A

 

+

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

= Y .

D +V =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 3A =

 

A 6A

 

 

 

 

 

1,5A

3A

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

3A

0 A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,5A 3A

 

 

 

 

 

 

3.6.

 

Доказать,

что для поля скоростей v1 = Ax3 Bx2 ,

v2 = Bx1 Cx3 ,

v3 = Cx2 Ax1 , где А, В, С – константы, вихревые линии являются прямыми.

36

Решение.

По формуле вектора завихренности q вычислим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

×[(Ax

Bx )e€

+(Bx Cx )e€

+(Cx Ax )e€ ]=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q = ×V =

 

e€

+

 

 

e€

+

 

e€

 

x

x

 

x

 

 

 

 

 

 

1

 

2

3

 

3

2 1

1

3 2

2

1 3

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

= Be + Ae + Be +Ce + Ae +Ce = 2(Ce + Ae + Be ).

 

 

 

 

3

 

 

2

 

 

3

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

3

 

 

Воспользуемся дифференциальными уравнениями вихревой линии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx1

=

 

 

dx2

 

=

dx3

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

2

 

 

 

q

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

формула для этого случая примет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx1

=

 

 

dx2

 

=

dx3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегрируя эти дифференциальные уравнения, найдем уравнения вих-

ревой линии в конечной форме:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

C

x

 

 

+C ,

 

x

 

 

 

=

 

A

 

x

+C

 

 

 

 

,

x =

 

 

B

x

 

+C

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

B

3

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

C 1

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

A

 

 

 

2

 

 

 

3

 

 

 

где C1 ,C2 ,C3 – постоянные интегрирования. Эти уравнения есть уравнения

прямых линий.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.7. Дано стационарное поле скорости

 

 

= 2x e + 2x e

 

 

. Найти главные

V

 

 

значения тензора скоростей деформации D .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим тензор скоростей деформации D по формуле

 

 

 

 

 

 

 

v1

 

 

 

 

 

 

v1

 

 

 

 

 

v2

 

 

 

 

 

 

v1

 

 

v3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x

 

 

 

 

 

 

x

2

 

x

 

 

 

 

 

x

3

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

0

0

1

 

 

1

v2

 

 

 

v1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v2

 

 

 

v3

 

 

 

 

 

 

 

 

D =

 

+

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

=

 

0 0 1

.

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

 

v

 

+

 

v

 

 

 

 

v

3

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

v

3

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x

1

 

 

 

x

 

 

+ x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Главные значения λ тензора D найдем, решая определитель

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 −λ

 

 

 

0

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0 −λ

1

 

 

 

 

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

0 −λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

37

−λ(λ2 1)+ λ = 0 , или λ(−λ2 + 2)= 0. Решая последнее уравнение, найдем главные значения, которые запишем в порядке убывания численных значе-

ний λI = 2 , λII = 0, λIII = − 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.8. Для стационарного поля скоростей v

= x2 x

2

+ x3

,

v

2

= −x3

x x2

,

1

1

2

 

 

1

1

2

 

v3 = 0 . Найти главные значения тензора скоростей деформации D в произ-

вольной точке M ( x1 ,x2 ,x3 ) .

Решение.

Вычислим тензор скоростей деформации

 

 

2x x

2

 

x 2

+ x

2

0

 

 

 

1

2

1

 

2

 

 

D =

 

x1 + x2

2x1 x2

0

 

 

 

 

.

 

 

0

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Главные значения λ тензора D являются решениями уравнения, которые получаются после раскрытия определителя

 

2x x

2

− λ − x

2

+ x

 

2

0

 

= − λ[4x12 x2 2 + λ2 ( x2 2 x12 )2 ]= 0 .

 

1

 

 

1

 

2

 

 

 

x12 + x22

2x1 x2 − λ

0

 

 

 

0

 

 

0

 

 

0 − λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= x 2

+ x

2

 

 

 

 

 

= −( x 2

+ x

2

).

Отсюда

λ

I

, λ

II

= 0, λ

III

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

1

 

2

 

3.9. Доказать, что ускорение a можно записать в виде a = vt + q ×v + 12 v2 .

Решение.

Если скорость выражена в эйлеровой форме, то ускорение выражается формулой (3.7).

Отсюда получаем

 

 

vi

 

vi

 

vk

 

 

vk

 

ai

=

 

 

+ vk

,

 

 

 

 

t

+ vk

xk

 

 

xi

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

vi

 

 

vk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

учитывая, что

 

 

 

= 2Vik , перепишем это выражение в виде

 

 

 

 

 

xk

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ai =

 

vi

 

+ 2vkVik

+

1

(vk vk )=

vi

+ εijk qi vk +

1

 

(vk vk ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 xi

t

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

2 xi

 

 

38

 

 

 

 

 

Таким образом, ai =

vi

+ εijk qi vk

+

1

 

(vk vk ), а если перевести эту

t

2

 

 

 

 

 

xi

индексную форму в символическую запись, то получим доказательство, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

v2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

V

+

 

 

×

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

q

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.10. В электромагнитном континууме напряженность магнитного поля

равна λ =

eAt

,

r 2

= x 2

+ x

2 + x

2

 

и A – константа. Движение задано полем

 

3

 

 

 

r

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

скоростей v =

Bx x

2

t ,

v

2

= Bx

 

, v

3

= Bx

2

x

3

. Определить скорость изме-

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нения напряженности магнитного поля для частицы, расположенной в момент t1 =1с в точке M ( 2,1,2 ).

Решение.

Так как скорость выражена в эйлеровой форме, то воспользуемся формулой (3.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dλ

= ∂λ

 

+ vk

 

∂λ

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

xk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая значение

 

производной

 

 

 

1

 

 

= −

 

x

i

 

для

нашего случая,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

r

3

формула (1) дает

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dλ

= λ

+ v

∂λ

+ v

 

 

∂λ

 

+ v

 

 

 

∂λ

 

= −

 

A

eAt

BeAt

 

( x

2 x

t + x

3t 2 + x

 

x

2 ) .

 

dt

 

 

 

x

 

3 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

1 x

 

 

2

 

2

 

 

 

3.

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r 3

 

 

 

1 3

 

 

2

2

 

3

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, в точке M в момент

 

t1 =1с в точке М (2,-1,2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ= −

eA

 

( 3A + B ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.11. Дано поле скоростей v1

= 4x3 3x2 ,

v2 = 3x1 , v3

= −4x1 . Опреде-

лить компоненты ускорения в точках M ( b,0,0 )и N( 0,4b,3b ).

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По формуле (3.7) вычислим значения проекций ускорения на оси:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a = v

v1

+ v

 

v1

 

+ v

 

 

v1

= −25x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1 x

 

 

 

 

 

2 x

2

 

 

 

 

 

3 x

3

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

= v

 

v2

+ v

 

 

 

v2

 

+ v

 

v2

 

 

 

=12x

 

 

 

9x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1 x

 

 

 

 

 

 

2

 

x

2

 

 

 

 

 

 

3

x

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

39

a

 

= v

v3

 

+ v

 

 

v3

+ v

 

v3

=16x

 

12x

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1 x

 

 

 

 

 

2 x

2

 

3 x

3

 

3

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда в точке M ( b,0,0 )

a

=

25b e1 и ускорение имеет только одну ком-

поненту, а в точке N( 0,4b,3b )

 

 

 

= 0, так как все компоненты для этой точки

 

 

a

равны нулю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.12. Найти дивергенцию и вихрь поля скоростей и поля ускорений твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, зная, что

V = ω×r ; a = ε×r + ω×( ω×r ),

где ω,ε – постоянные величины.

Решение.

Сначала получим выражения для дивергенции векторного произведе-

ния в случае, когда первый сомножитель является постоянным вектором с, а второй r – радиус вектором.

div(c ×r) = (c ×r) = (cc ×r) + (c ×rc ) =

= −cc ( ×r) + rc ( ×c) = −c rotr + r rotc = 0, так как rotr = 0 , rotc = 0 .

Следовательно, если учесть постоянство векторов ω и ε, то можно сразу за-

писать, что divV = div( ω×r ) = 0, div( ε×r ) = 0 .

Для вычисления rotV понадобятся выражения проекций вектора V на

координатные оси. Их можно записать, используя тензор Леви-Чивита, т.е. vi = εijk ωj xk . Тогда будем иметь:

 

 

v1 = ω2 x3 − ω3 x2 , v2 = ω3 x1 − ω1 x3 , v3 = ω1x2 −ω2 x1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с помощью определителя

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим rotV

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e1

 

 

 

 

e2

 

e3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rotV = ×V

 

=

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

x2

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω2 x3 −ω3x2

 

ω3x1 −ω1x3 ω1x2 −ω2 x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

(ω1x2 −ω2 x1)

 

 

 

(ω3x1

−ω1x3) e1+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

(ω2 x3 −ω3x2 )

 

 

(ω1x2

−ω3x2 ) e2 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

(ω3x1 −ω1x3)

 

 

(ω2 x3 −ω3x2 ) e1 = 2ω1 e1+ 2ω2 e2

+

2ω3 e3

= 2ω.

x

 

x

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40

Итак, rotV = rot( ω×r ) = 2ω. Видимо, аналогично rot( ε×r ) = 2ε. Вычислим дивергенцию ускорения.

diva =div[ε×r +ω×(ω×r )]=div(ε×r ) +div[ω×(ω×r )]=div[ω×(ω×r )],

т.е. дивергенция вектора a сводится к дивергенции осестремительной со-

ставляющей ускорения. Вычислим ее с помощью символических формул divaос =div(ω×V ) = (ω×V ) = (ωc ×V ) + (ω×V c ) =

= −ωc ( ×V ) +V c ( ×ω) = −ω rotV +V rotω = −2ω2 .

Здесь учтено, что rotV = 2ω и rotω = 0 . Таким образом, diva = −2ω2 .

Вычислим вихрь поля ускорений

rota = rot( ε×r + ω×V )= rot( ε×r ) + rot( ω×V ), но rot( ε×r ) = 2ε.

Остается вычислить только rot( ω×V ). Воспользуемся определителем, пред-

варительно вычислив проекции векторного произведения ω×V на коорди-

натные оси.

( ω×V )1 = ω2v3 − ω3v2 , ( ω×V )2 = ω3v1 − ω1v3 , (ω×V)3 1v2 −ω2v1.

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e1

 

 

 

 

 

e2

 

 

e3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rot(ω×V ) =

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

x2

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω2v3 −ω3v2

ω3v1 −ω1v3 ω1v2 −ω2v1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

(ω1v2 −ω2v1)

 

 

 

 

 

(ω3v1

−ω1v3) e1

+

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

(ω2v3 −ω3v2 )

 

 

 

 

(ω1v2

−ω2v1) e2

+

 

 

 

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

(ω3v1 −ω1v3)

 

 

 

 

 

(ω2v3

−ω3v2 ) e3 .

 

 

 

x

 

x

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

После подстановки значений проекций скорости в эти выражения

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω1

 

(ω3 x1 −ω1x3 ) −ω2

 

(ω2 x3 −ω3 x2 ) −ω3

 

(ω2 x3 −ω3 x2 ) +

x

x

x

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

(ω1x2 −ω2 x1) = ω2ω3 −ω3ω2 = 0,

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

3