Руководство к решению задач
.pdf31
|
|
|
|
1 |
|
∂vi |
|
∂v j |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
= −Y |
ji |
= |
|
− |
|
, или Y = |
(V − V ). |
(3.12) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
ij |
|
2 |
|
∂x j |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
∂xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ассоциированный с тензором завихренности вектор определяется соотношением.
qi |
= εijk |
∂vk |
, или |
|
= |
|
× |
|
(3.13) |
|
q |
|
V |
||||||||
|
||||||||||
|
|
∂xi |
|
и называется вектором завихренности. Вектор вихря скорости
ωi = |
1 |
qi = |
1 |
εijk |
∂vk |
, или |
|
= |
1 |
|
|
= |
1 |
|
|
× |
|
. |
(3.14) |
||||||||
ω |
q |
|
V |
||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂x j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Уравнение вихревой линии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
dx1 |
= |
dx2 |
= |
dx3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.15) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
q |
2 |
|
|
q |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры решения задач
3.1. Дан закон движения континуума x1 = X1 ,
x2 = e2t (X 2 + X 3 )+ e2−t (X 2 − X 3 ), x3 = e2t (X 2 + X 3 )− e2−t (X 2 − X 3 ).
Определить компоненты скорости в эйлеровой и лагранжевой формах.
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X 2 + X 3 = e−t (x2 + x3 ), |
||||||||
|
|
|
Из |
второго и |
третьего |
уравнений получаем |
|
|||||||||||||||||||||||||
X |
2 |
− X |
3 |
= et (x |
2 |
− x |
3 |
). Разрешая их, находим обращенные уравнения X |
1 |
= x , |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||
X 2 |
= |
e−t |
(x2 + x3 )+ |
et |
(x2 − x3 ), |
X 3 |
= |
e−t |
(x2 + x3 )− |
et |
(x2 − x3 ). Тогда компо- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ненты перемещения ui = xi − X i |
можно записать либо в лагранжевой форме: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
u = 0, u |
2 |
= |
et |
|
(X |
2 |
+ X |
3 |
)+ |
e−t |
(X |
2 |
− |
X |
3 |
)− X |
2 |
, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u3 = e2t (X 2 + X 3 )− e2−t (X 2 − X 3 )− X 3 ,
либо в эйлеровой форме:
u1 = 0, u2 = x2 − e2−t (x2 + x3 )− e2t (x2 − x3 ),
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u3 = x3 − |
e−t |
|
(x2 + x3 ) |
+ |
et |
(x2 − x3 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Компоненты скорости в лагранжевом представлении согласно формуле |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(3.4) будут равны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
v = 0, |
v |
2 |
= |
|
|
et |
|
(X |
2 |
+ X |
3 |
)− |
e−t |
(X |
2 |
− X |
3 |
), |
v |
3 |
= |
et |
(X |
2 |
+ X |
3 |
)+ |
e−t |
(X |
2 |
− X |
3 |
). |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
С другой стороны, если движение задано в эйлеровых переменных, то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
из формулы (3.5) находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
v2 |
= |
|
e−t |
|
(x2 |
+ x3 )− |
et |
(x2 − x3 )+ v2 |
|
|
2 − e−t − et |
+ v3 |
− e−t + et |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
v3 |
= |
e−t |
|
(x2 |
+ x3 )+ |
et |
|
(x2 − x3 )+ v2 |
|
|
− e−t + et |
|
+ v3 |
2 − e−t − et |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3.2. Дано поле скоростей |
v |
= |
|
x1 |
|
, v |
|
|
|
= |
2x2 |
, v |
3 |
= |
3x3 |
. Найти компо- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1+t |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
1+t |
|
1+t |
|
|
|
|
|
ненты ускорения.
Решение.
Так как поле скоростей задано в эйлеровых переменных, то воспользуемся формулой (3.7), откуда
|
|
a = − |
|
x1 |
|
|
+ |
|
x1 |
|
|
|
= 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
(1 |
+t)2 |
(1+t)2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
a |
|
= − |
2x2 |
|
|
+ |
|
4x2 |
|
|
|
= |
|
2x2 |
; |
|
|
|
|
|
|||||
2 |
(1+t)2 |
(1+t)2 |
|
(1+t)2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
a |
|
= − |
3x3 |
|
+ |
|
9x |
|
|
|
= |
|
6x3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||
3 |
(1 +t)2 |
(1+t)2 |
|
(1+t)2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3. Поле скоростей задано вектором |
|
= x 2t e1 |
|
+ x |
t 2 |
e2 |
+ x x |
t e3 . Оп- |
|||||||||||||||||
V |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
3 |
|
ределить скорость и ускорение частицы, находящейся в момент t1 =1с в точ-
ке M1 (1,3,2).
33
Решение.
Прямой подстановкой в выражение вектора скорости момента времени t1 =1с и координат точки M1 найдем
|
|
|
|
|
|
V |
= e1 |
+3e2 |
+ 2e3 . |
Пользуясь векторной формулой
a = ∂∂Vt +V V ,
получим поле ускорений
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
a |
= x |
2 e1+ |
2x t e2 |
+ x x e3 |
+ |
|
x |
2t e1+ x t |
2 e |
|
+ x x t e3 |
|
× |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
1 2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
2x t e1 e1 |
+ x t2 e1 e3 +t e2 e2 |
+ x t e3 e3 |
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
2 |
x t |
2 |
+ x t |
4 |
e |
+ x |
2 |
x t |
2 ^ |
= |
|||||||||||||
|
|
|
e1+ 2x t e2 + x x e3 + 2x t e1+ x |
|
e3 |
|
|
e3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
1 |
|
3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
=(x12 + 2x13t2 )e1+(2x2t + x2t4 )e2 + |
(x1x2 + 2x12 x3t2 )e3 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
После подстановки момента времени t1 =1с и координат точки M1 по- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
лучим |
a |
= 3e1 |
+9e2 |
+ 6e3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
2x |
2 |
|
|
|
3x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3.4. Для поля скоростей |
V = |
|
|
1 |
|
e1 |
+ |
|
|
|
|
e2 + |
|
|
|
e3 . Найти линии тока |
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
+t |
1+t |
1+t |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и траектории и доказать, что они совпадут.
Решение.
Касательная к линии тока в каждой точке направлена по вектору скорости. Следовательно, для бесконечно малого вектора d r касательной к линии тока можно написать V ×d r = 0 и получим таким образом дифференциаль-
ные уравнения линий тока |
dx1 |
= |
dx2 |
= |
dx3 |
|
. Для указанного поля скоростей |
||||||||
v |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
v |
2 |
|
|
v |
3 |
|
|
|
|
|||
эти уравнения имеют вид |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx1 |
|
= |
dx2 |
|
= |
dx3 |
. |
|||||
|
|
|
x |
|
|
2x |
2 |
|
|
|
3x |
3 |
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрируя их с учетом начальных условий, что при t = 0 xi = X i , находим уравнения линий тока:
34
|
|
x1 dx |
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
∫ |
|
x |
|
= 2 |
∫ |
|
|
x |
2 |
|
|
, |
ln |
X |
1 |
= 2 ln |
X |
2 |
|
|
, |
|
X |
1 |
= |
|
X |
|
2 |
|
|
, |
|
X |
1 |
|
|
= |
|
X |
2 |
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
X1 |
1 |
|
|
|
|
|
X 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x1 dx |
|
|
|
1 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∫ |
1 |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
= 3 |
|
|
x |
3 |
|
|
, |
|
ln |
X |
1 |
= 3 ln |
X |
3 |
|
|
, |
|
X |
3 |
= |
|
X |
3 |
|
|
, |
|
X |
1 |
|
|
= |
|
X |
|
3 |
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
X1 |
1 |
|
|
|
|
|
X3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x1 dx |
|
|
|
|
1 x2 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
3 |
2 |
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
∫ |
x2 |
= |
|
|
∫ |
x3 |
, |
|
|
2 |
|
ln |
X 2 |
= |
3 |
ln |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||
X 2 |
|
|
3 X3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X 3 |
|
|
|
X1 |
|
|
X 3 |
|
|
|
X 2 |
|
|
|
|
|
X 3 |
Интегрируя выражения для скорости vi = dxdti , находим уравнения тра-
екторий
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x1 dx |
|
|
t |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
= |
|
|
1 |
|
; |
|
∫ |
|
|
|
|
1 |
|
= ∫ |
|
|
|
; ln |
|
|
|
1 |
|
|
|
= ln(1+t ); x1 |
= X1(1+t ), |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
d |
t |
|
1+t |
|
x |
|
1+t |
|
|
X |
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
dx |
2 |
|
= |
2x |
2 |
|
; |
1 x2 dx |
2 |
|
= |
t |
dt |
; |
1 |
ln |
|
|
x |
2 |
|
= ln(1+t ); |
x2 |
= X 2 (1+t )2 , |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
d |
|
|
|
1+t |
2 |
|
∫ |
|
|
|
x |
|
|
|
∫1+t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X 2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
dx |
3 |
|
|
|
|
3x |
2 |
|
|
1 x3 |
|
dx |
3 |
|
|
|
t |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
; |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
= 3 |
|
|
|
|
; ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3ln(1+t ); |
x3 |
= X 3 (1+t )3 . |
|||||||||||||||
d |
|
|
|
1+t |
2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 +t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
X |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исключая из этих уравнений параметр t , получаем уравнения траекторий, которые в точности совпадут с найденными выше линиями тока.
3.5. Некоторое течение задано полем скоростей
v = 0 , v |
2 |
= A( x x |
2 |
− x |
2 |
)e−Bt , v |
3 |
= A( x |
2 |
− x x |
3 |
)e−Bt , |
1 |
1 |
|
3 |
|
|
2 |
1 |
|
где A и B – константы. Вычислить градиент скорости Y для этого движения, тензор скоростей деформации D и тензор завихренности V в точке M (1,0,3) в момент времени t = 0 .
Решение.
Y = ∂vi
∂x j
∂v1
∂x1
∂v
=∂x2
∂v13
∂x1
∂v1 |
|
|
∂v1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∂x2 |
∂x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|||||
∂v |
2 |
|
|
∂v |
2 |
|
|
= |
|
x |
|
|
x |
|
− 2x |
|
|
Ae−Bt . |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||
∂x2 |
|
|
∂x3 |
|
|
− x |
|
2x |
|
− x |
|
|
|
|||||
∂v3 |
|
|
∂v3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
∂x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В точке M (1,0,3) в момент времени t = 0 этот тензор принимает значения
35
|
0 |
0 |
|
0 |
A |
Y = |
||
|
−3A |
0 |
|
0
−6A .
−A
Тензор скоростей деформации D вычислим по формуле
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂v1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
∂v1 |
|
+ |
∂v2 |
∂v1 |
+ |
∂v3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
∂x1 |
∂x2 |
|
|
∂x1 |
∂x3 |
∂x1 |
|
|
|
0 |
x |
−x |
|
|
|
|||||||||||
|
1 ∂v |
|
|
∂v |
|
|
∂v |
|
|
∂v |
|
∂v |
|
1 |
|
2 |
3 |
|
−Bt |
|
|||||||||
D = |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
= |
|
x2 |
2x1 |
−2x3 +2x2 Ae |
. |
|||||
2 |
∂x |
|
∂x |
∂x |
|
|
∂x |
∂x |
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
∂v3 |
|
2 |
∂v2 |
3 |
|
2 |
|
−x3 |
2x2 −2x3 |
−2x1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
∂v3 |
+ |
∂v1 |
|
+ |
|
2 |
∂v3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
∂x |
∂x |
|
∂x |
|
|
∂x |
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В точке M1 |
(1,0,3) в момент t = 0 тензор D примет значение |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
−1,5A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
A |
|
−3A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D = |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3A − |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1,5A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Тензор завихренности V вычислим по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂v1 |
|
∂v2 |
|
|
|
∂v1 |
|
|
∂v3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x2 |
∂x1 |
∂x3 |
∂x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
∂v |
|
|
∂v |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
− x2 |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂v |
2 |
|
|
∂v |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ae−Bt . |
||||||||||
V = |
|
|
|
|
− |
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
− |
|
|
3 |
|
|
= |
|
|
|
x |
2 |
|
|
0 |
|
− |
2x − |
2x |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
∂x |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂x |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x |
2x |
|
+2x |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
∂v3 |
|
∂v2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
∂v3 |
− |
∂v1 |
− |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
∂x |
∂x |
|
|
∂x |
2 |
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
В точке M1 |
(1,0,3) в момент t = 0 тензор V |
примет значение |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
1,5A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V = |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1,5A 3A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Для проверки вычислений можно воспользоваться формулой (3.10) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
−1,5A |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 1,5A |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
A −3A |
|
+ |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
= Y . |
|||||||||
D +V = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 −3A = |
|
A −6A |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−1,5A |
−3A − |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
−3A |
0 − A |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−1,5A 3A |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3.6. |
|
Доказать, |
что для поля скоростей v1 = Ax3 − Bx2 , |
v2 = Bx1 −Cx3 , |
v3 = Cx2 − Ax1 , где А, В, С – константы, вихревые линии являются прямыми.
36
Решение.
По формуле вектора завихренности q вычислим
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
∂ |
|
|
|
∂ |
|
|
×[(Ax |
− Bx )e€ |
+(Bx −Cx )e€ |
+(Cx − Ax )e€ ]= |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
q = ×V = |
|
e€ |
+ |
|
|
e€ |
+ |
|
e€ |
|
|||||||||||
∂x |
∂x |
|
∂x |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
3 |
2 1 |
1 |
3 2 |
2 |
1 3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
= Be + Ae + Be +Ce + Ae +Ce = 2(Ce + Ae + Be ). |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
€3 |
|
|
€2 |
|
|
€3 |
|
|
€1 |
|
|
|
|
|
|
€2 |
|
€1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
€1 |
|
|
|
|
€2 |
|
|
€3 |
|
|
||||||||||||||||||||||
Воспользуемся дифференциальными уравнениями вихревой линии |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx1 |
= |
|
|
dx2 |
|
= |
dx3 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
2 |
|
|
|
q |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
формула для этого случая примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx1 |
= |
|
|
dx2 |
|
= |
dx3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Интегрируя эти дифференциальные уравнения, найдем уравнения вих- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ревой линии в конечной форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x = |
C |
x |
|
|
+C , |
|
x |
|
|
|
= |
|
A |
|
x |
+C |
|
|
|
|
, |
x = |
|
|
B |
x |
|
+C |
|
, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
B |
3 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
C 1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
A |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||
где C1 ,C2 ,C3 – постоянные интегрирования. Эти уравнения есть уравнения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
прямых линий. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.7. Дано стационарное поле скорости |
|
|
= 2x e + 2x e |
|
|
. Найти главные |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
V |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
значения тензора скоростей деформации D . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
€1 |
|
|
|
|
3 |
€2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычислим тензор скоростей деформации D по формуле |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂v1 |
|
|
|
|
|
|
∂v1 |
|
|
|
|
|
∂v2 |
|
|
|
|
|
|
∂v1 |
|
|
∂v3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 ∂x |
|
|
|
|
|
|
∂x |
2 |
|
∂x |
|
|
|
|
|
∂x |
3 |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
||||||||||||
|
1 |
∂v2 |
|
|
|
∂v1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂v2 |
|
|
|
∂v3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
D = |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
= |
|
0 0 1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
∂x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
3 |
|
|
|
∂x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
||||||||
|
|
∂v |
|
+ |
|
∂v |
|
|
|
|
∂v |
3 |
|
|
|
|
|
∂v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
∂v |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
∂x |
|
∂x |
1 |
|
|
|
∂x |
|
|
+ ∂x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Главные значения λ тензора D найдем, решая определитель |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 −λ |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 −λ |
1 |
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 −λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37
−λ(λ2 −1)+ λ = 0 , или λ(−λ2 + 2)= 0. Решая последнее уравнение, найдем главные значения, которые запишем в порядке убывания численных значе-
ний λI = 2 , λII = 0, λIII = − 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.8. Для стационарного поля скоростей v |
= x2 x |
2 |
+ x3 |
, |
v |
2 |
= −x3 |
− x x2 |
, |
|
1 |
1 |
2 |
|
|
1 |
1 |
2 |
|
v3 = 0 . Найти главные значения тензора скоростей деформации D в произ-
вольной точке M ( x1 ,x2 ,x3 ) .
Решение.
Вычислим тензор скоростей деформации
|
|
2x x |
2 |
|
− x 2 |
+ x |
2 |
0 |
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
2 |
|
|
||
D = |
|
− x1 + x2 |
− 2x1 x2 |
0 |
|
|||||
|
||||||||||
|
|
. |
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Главные значения λ тензора D являются решениями уравнения, которые получаются после раскрытия определителя
|
2x x |
2 |
− λ − x |
2 |
+ x |
|
2 |
0 |
|
= − λ[− 4x12 x2 2 + λ2 −( x2 2 − x12 )2 ]= 0 . |
|||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|||||||||
|
− x12 + x22 |
− 2x1 x2 − λ |
0 |
|
|||||||||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 − λ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
= x 2 |
+ x |
2 |
|
|
|
|
|
= −( x 2 |
+ x |
2 |
). |
||
Отсюда |
λ |
I |
, λ |
II |
= 0, λ |
III |
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3.9. Доказать, что ускорение a можно записать в виде a = ∂∂vt + q ×v + 12 v2 .
Решение.
Если скорость выражена в эйлеровой форме, то ускорение выражается формулой (3.7).
Отсюда получаем
|
|
∂vi |
|
∂vi |
|
∂vk |
|
|
∂vk |
|
|
ai |
= |
|
− |
|
+ vk |
, |
|||||
|
|
|
|
||||||||
∂t |
+ vk |
∂xk |
|
|
∂xi |
||||||
|
|
|
|
∂xi |
|
|
|
|
∂vi |
|
|
∂vk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
учитывая, что |
|
|
− |
|
= 2Vik , перепишем это выражение в виде |
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
∂xk |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
∂xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ai = |
|
∂vi |
|
+ 2vkVik |
+ |
1 ∂ |
(vk vk )= |
∂vi |
+ εijk qi vk + |
1 |
|
∂ |
(vk vk ). |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 ∂xi |
∂t |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
2 ∂xi |
|
|
38 |
|
|
|
|
|
Таким образом, ai = |
∂vi |
+ εijk qi vk |
+ |
1 |
|
∂ |
(vk vk ), а если перевести эту |
∂t |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
∂xi |
индексную форму в символическую запись, то получим доказательство, что
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
v2 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
V |
+ |
|
|
× |
|
+ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
q |
V |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3.10. В электромагнитном континууме напряженность магнитного поля |
||||||||||||||||||||||||||||||||
равна λ = |
e−At |
, |
r 2 |
= x 2 |
+ x |
2 + x |
2 |
|
и A – константа. Движение задано полем |
|||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
r |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
скоростей v = |
Bx x |
2 |
t , |
v |
2 |
= Bx |
|
, v |
3 |
= Bx |
2 |
x |
3 |
. Определить скорость изме- |
||||||||||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нения напряженности магнитного поля для частицы, расположенной в момент t1 =1с в точке M ( 2,−1,2 ).
Решение.
Так как скорость выражена в эйлеровой форме, то воспользуемся формулой (3.3)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dλ |
= ∂λ |
|
+ vk |
|
∂λ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
∂xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Учитывая значение |
|
производной |
|
|
∂ |
|
1 |
|
|
= − |
|
x |
i |
|
для |
нашего случая, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∂xi |
|
|
|
|
r |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формула (1) дает |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dλ |
= ∂λ |
+ v |
∂λ |
+ v |
|
|
∂λ |
|
+ v |
|
|
|
∂λ |
|
= − |
|
A |
e−At − |
Be−At |
|
( x |
2 x |
t + x |
3t 2 + x |
|
x |
2 ) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
∂x |
|
3 ∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂t |
1 ∂x |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r 3 |
|
|
|
1 3 |
|
|
2 |
2 |
|
3 |
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Таким образом, в точке M в момент |
|
t1 =1с в точке М (2,-1,2) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ• = − |
e−A |
|
( 3A + B ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3.11. Дано поле скоростей v1 |
= 4x3 −3x2 , |
v2 = 3x1 , v3 |
= −4x1 . Опреде- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
лить компоненты ускорения в точках M ( b,0,0 )и N( 0,4b,3b ). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
По формуле (3.7) вычислим значения проекций ускорения на оси: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a = v |
∂v1 |
+ v |
|
∂v1 |
|
+ v |
|
|
∂v1 |
= −25x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 ∂x |
|
|
|
|
|
2 ∂x |
2 |
|
|
|
|
|
3 ∂x |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
= v |
|
∂v2 |
+ v |
|
|
|
∂v2 |
|
+ v |
|
∂v2 |
|
|
|
=12x |
|
|
|
−9x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 ∂x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
∂x |
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
∂x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39
a |
|
= v |
∂v3 |
|
+ v |
|
|
∂v3 |
+ v |
|
∂v3 |
=16x |
|
−12x |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
3 |
1 ∂x |
|
|
|
|
|
2 ∂x |
2 |
|
3 ∂x |
3 |
|
3 |
|
2 |
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда в точке M ( b,0,0 ) |
a |
= |
25b e1 и ускорение имеет только одну ком- |
|||||||||||||||||||
поненту, а в точке N( 0,4b,3b ) |
|
|
|
= 0, так как все компоненты для этой точки |
||||||||||||||||||
|
|
a |
||||||||||||||||||||
равны нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.12. Найти дивергенцию и вихрь поля скоростей и поля ускорений твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, зная, что
V = ω×r ; a = ε×r + ω×( ω×r ),
где ω,ε – постоянные величины.
Решение.
Сначала получим выражения для дивергенции векторного произведе-
ния в случае, когда первый сомножитель является постоянным вектором с, а второй r – радиус вектором.
div(c ×r) = (c ×r) = (cc ×r) + (c ×rc ) =
= −cc ( ×r) + rc ( ×c) = −c rotr + r rotc = 0, так как rotr = 0 , rotc = 0 .
Следовательно, если учесть постоянство векторов ω и ε, то можно сразу за-
писать, что divV = div( ω×r ) = 0, div( ε×r ) = 0 .
Для вычисления rotV понадобятся выражения проекций вектора V на
координатные оси. Их можно записать, используя тензор Леви-Чивита, т.е. vi = εijk ωj xk . Тогда будем иметь:
|
|
v1 = ω2 x3 − ω3 x2 , v2 = ω3 x1 − ω1 x3 , v3 = ω1x2 −ω2 x1 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
с помощью определителя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Вычислим rotV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e1 |
|
|
|
|
e2 |
|
e3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
∂ |
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
rotV = ×V |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
∂x1 |
|
|
|
|
∂x2 |
|
∂x3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω2 x3 −ω3x2 |
|
ω3x1 −ω1x3 ω1x2 −ω2 x1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
(ω1x2 −ω2 x1) − |
|
|
|
(ω3x1 |
−ω1x3) e1+ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
+ |
|
|
(ω2 x3 −ω3x2 ) − |
|
|
(ω1x2 |
−ω3x2 ) e2 + |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
∂x |
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
+ |
|
(ω3x1 −ω1x3) − |
|
|
(ω2 x3 −ω3x2 ) e1 = 2ω1 e1+ 2ω2 e2 |
+ |
2ω3 e3 |
= 2ω. |
||||||||||||||||||||||||
∂x |
|
∂x |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40
Итак, rotV = rot( ω×r ) = 2ω. Видимо, аналогично rot( ε×r ) = 2ε. Вычислим дивергенцию ускорения.
diva =div[ε×r +ω×(ω×r )]=div(ε×r ) +div[ω×(ω×r )]=div[ω×(ω×r )],
т.е. дивергенция вектора a сводится к дивергенции осестремительной со-
ставляющей ускорения. Вычислим ее с помощью символических формул divaос =div(ω×V ) = (ω×V ) = (ωc ×V ) + (ω×V c ) =
= −ωc ( ×V ) +V c ( ×ω) = −ω rotV +V rotω = −2ω2 .
Здесь учтено, что rotV = 2ω и rotω = 0 . Таким образом, diva = −2ω2 .
Вычислим вихрь поля ускорений
rota = rot( ε×r + ω×V )= rot( ε×r ) + rot( ω×V ), но rot( ε×r ) = 2ε.
Остается вычислить только rot( ω×V ). Воспользуемся определителем, пред-
варительно вычислив проекции векторного произведения ω×V на коорди-
натные оси.
( ω×V )1 = ω2v3 − ω3v2 , ( ω×V )2 = ω3v1 − ω1v3 , (ω×V)3 =ω1v2 −ω2v1.
Тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e1 |
|
|
|
|
|
e2 |
|
|
e3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
∂ |
|
|
|
|||||
|
|
rot(ω×V ) = |
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
∂x1 |
|
|
|
|
∂x2 |
|
|
∂x3 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω2v3 −ω3v2 |
ω3v1 −ω1v3 ω1v2 −ω2v1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
(ω1v2 −ω2v1) − |
|
|
|
|
|
(ω3v1 |
−ω1v3) e1 |
+ |
|
|||||||||||||
|
|
|
∂x |
|
|
|
∂x |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
(ω2v3 −ω3v2 ) − |
|
|
|
|
(ω1v2 |
−ω2v1) e2 |
+ |
|
||||||||||||||
|
|
|
∂x |
|
∂x |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
+ |
|
|
|
(ω3v1 −ω1v3) − |
|
|
|
|
|
(ω2v3 |
−ω3v2 ) e3 . |
||||||||||||||||
|
|
|
∂x |
|
∂x |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
После подстановки значений проекций скорости в эти выражения |
||||||||||||||||||||||||||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
||||
ω1 |
|
(ω3 x1 −ω1x3 ) −ω2 |
|
(ω2 x3 −ω3 x2 ) −ω3 |
|
(ω2 x3 −ω3 x2 ) + |
||||||||||||||||||||||||
∂x |
∂x |
∂x |
||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
+ω1 |
|
|
|
(ω1x2 −ω2 x1) = ω2ω3 −ω3ω2 = 0, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
∂x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|