glava05

§ 50

Токи при замыкании и размыкании цепи

Рассмотрим процесс выключения тока в цепи, содержащей ис-

точник тока с Э.Д.С. ε , резистор сопротивлением R и катушку индуктивностью L . Под действием внешней Э.Д.С. в цепи течет по-

стоянный ток

I0 = ε .

R

В момент времени T = 0 отключим источник тока. Ток через катушку ин-

дуктивности L начнет уменьшаться, что приведет к возникновению Э.Д.С. само-

индукции

εS = −L DI .

DT

В каждый момент времени ток в цепи определяется законом Ома

I= εS ,

R

тогда

Разделив в выражении (50.1) переменные, получим

DI = − R DT .

IL

После интегрирования получим

где τ = LR – постоянная, называемая временем релаксации.

Время релаксации – это время, в течение которого какая-либо физическая вели-

чина уменьшается в e раз.

Таким образом, в процессе отключения источника тока сила тока убывает по экспоненциальному закону (50.2) и определяется кривой 1 на графике.

При замыкании цепи помимо внешней Э.Д.С. ε возникает Э.Д.С. самоиндукции, препятствующее возрастанию тока. По закону Ома

IR = ε + εS ,

или

IR = ε − L DI .

DT

Введя новую переменную U = IR −ε, преобразуем это уравнение к виду

Таким образом, в процессе включения источника тока нарастание силы тока

в цепи задается функцией (50.3) и определяется кривой 2 на графике. Сила тока возрастает от начального значения I = 0 и асимптотически стремится к устано-

вившемуся значению I0 = εR. Скорость нарастания тока определяется тем же временем релаксации τ = LR , что и убывание тока. Установление тока происхо-

дит тем быстрее, чем меньше индуктивность цепи и больше ее сопротивление.

Оценим значение ЭДС самоиндукции εS , возникающей при мгновенном увеличении сопротивления цепи постоянного тока от R0 до R . Предположим, что мы размыкаем контур, когда в нем течет установившийся ток I0 = εR. При раз-

мыкании цепи ток изменяется по формуле (50.2). Подставив в нее выражение для

I0 и τ, получим

т.е. при значительном увеличении сопротивления цепи ( RR0 >>1), обладающей большой индуктивностью, ЭДС самоиндукции может во много раз превышать ЭДС источника тока, включенного в цепь. Таким образом, необходимо учитывать,

что контур, содержащий индуктивность, нельзя резко размыкать, так как это мо-

жет привести к пробою изоляции и выводу из строя измерительных приборов.

Задача 1. В цепи шел ток 5 А. Источник тока отключили, не разрывая цепи. Най-

дите силу тока через 0,02 с после отключения источника. Сопротивление цепи 20

Ом, индуктивность 0,4 Гн.

Задача 2. К источнику тока с внутренним сопротивлением 1 Ом подключена ка-

тушка с индуктивностью 0,1 Гн и сопротивлением 4 Ом. Найдите время, в течение которого ток в катушке, нарастая, достигает значения, отличающегося от макси-

мального на 5%.

h = I0 - I0 (1- E−RTL ) 100% = I0 - I0 + I0E−RTL 100% = 100% ×E−RTL .

прологарифмируем полученное равенство

RT = ln(100% η)

L

и выразим из него момент времени T

§ 51

Взаимная индукция

Рассмотрим два неподвижных контура (1 и2),

расположенных достаточно близко друг от друга.

Если по контуру 1 течет ток I1 , то магнитный поток,

создаваемый этим током (поле, создающее этот поток, на рисунке изображено зелеными сплошными линиями), пропорционален I1 . Обозначим через Φ21

ту часть потока, который пронизывает контур 2. Тогда

ну Фарадея равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного по-

тока Φ21 , создаваемого током в первом контуре и пронизывающем второй

εI2 = − DΦ21 = −L21 DI1 .

DT DT

Аналогично, при протекании в контуре 2 тока I2 магнитный поток (его поле изображено зелеными штриховыми линиями) пронизывает первый контур. Если Φ12 – часть этого потока, пронизывающего контур 1, то

Φ12 = L12I2 .

Если ток I2 изменяется, то в контуре 1 индуцируется ЭДС, которая равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока Φ12 , созданно-

го током во втором контуре и пронизывающего первый

εI1 = − DΦ12 = −L12 DI2 .

DT DT

Явление возникновение Э.Д.С. в одном из контуров при изменении силы тока в другом называется взаимной индукцией.

Коэффициенты L21 и L12 называется взаимной индуктивностью контуров.

L21 = L12 . (51.2)

Рассмотрим взаимную индуктивность двух катушек, изображенных на ри-

сунке. Согласно о теоремы, о циркуляции

B = μμ0 N1I1 .

L

Магнитный поток через один виток второй ка-

тушки равен

Аналогичное выражение получим для L12 .

§ 52

Трансформаторы

Принцип действия трансформаторов,

применяемых для повышения или понижения напряжения переменного тока, основан на явлении взаимной индукции.

Впервые трансформаторы были сконструированы и введены в практику русским электротехником П.Н. Яблочковый (1847–1894) и русским физиком И.Ф.

Усагиным (1855–1919).

Ток в первичной оболочке определяется по за кону Ома

где K = N2 – коэффициент трансформации.

N1

Пренебрегая потерями энергии, для мощности тока в обмотках можно запи-

сать

ε2I2 ≈ ε1I1 ,

откуда следует

ε2 = I1 = N2 .

ε1 I2 N1

Если N2 > 1 – трансформатор повышающий;

N1

если N2 < 1 – трансформатор понижающий.

N1

Трансформатор, состоящий из одной обмотки, называется автотрансформато-

ром.

§ 53

Энергия магнитного поля

Рассмотрим контур индуктивности L , по которому течет ток I . С данным контуром сцеплен магнитный поток Φ = LI , причем при изменении тока на вели-

чину DI магнитный поток изменяется на

DΦ = LDI .

Однако, для изменения магнитного потока на DΦ необходимо совершить работу

DA = IDΦ = LIDI .

Тогда работа по созданию магнитного потока Φ равна

Энергию магнитного поля можно представить как функцию величин, харак-

теризующих пространство

Формула (53.3) выражает объемную плотность энергии магнитного поля.

Задача 1. Во сколько раз увеличится объемная плотность энергии магнитного по-

ля, создаваемого длинным прямым проводом с током в данной точке пространст-

ва, если силу тока увеличить в два раза?

где B – индукция магнитного поля, которая для длинного прямого про-

водника определяется выражением

B = μμ0I . 2πR

В этом выражении R – расстояние от проводника до рассматриваемой точки про-

странства. Подставим выражение для индукции магнитного поля в формулу для объемной плотности энергии

Объемные плотности энергии магнитного поля при значениях силы тока в про-

воднике I1 и I2 будут определяться, соответственно, выражениями

Теперь найдем отношение объемных плотностей энергии магнитного поля

Подставим числовые значения

W2 = 22 = 4 .

W1

Задача 2. По обмотке соленоида индуктивностью 0,1 Гн течет ток 5 А. Определи-

те энергию магнитного поля соленоида.

Задача 3. В соленоиде сила тока равномерно возрастает от 0 до 10 А в течение 1 с

и при этом индуцируется ЭДС 0,1 В. Какую энергию накопит поле соленоида в конце возрастания силы тока?

Выразим отсюда индуктивность