glava8

но близко друг к другу и x2 − x1 = dx , равна Exdx. Та же работа равна ϕ1 − ϕ2 = −dϕ. Приравняв оба выражения, можем записать

(64.1)

где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование произ-

водится только по x . Повторив аналогичное рассуждения для осей y и z , можем найти вектор E

где i , j , k – единичные векторы координатных осей x , y , z.

Из определения градиента следует, что

имеет одно и тоже значение.

Линии напряженности в случае точечного заряда перпендикулярны эквипотенци-

альным поверхностям. Линии напряженности всегда нормальны к эквипотенци-

альным поверхностям.

Электростатические силы, действующие на заряд, всегда направлены по нормалям к эквипотенциальным поверхностям. Следовательно, вектор E всегда нормален к эквипотенциальным поверхностям, а поэтому линии вектора E орто-

гональны этим поверхностям.

Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой сис-

темы зарядов можно провести бесчисленное множество. Однако их проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотен-

циальными поверхностями были одинаковыми. Тогда густота эквипотенциаль-

ных поверхностей характеризует напряженность поля в разных точках. Там,

где эти поверхности расположены гуще, напряженность поля больше.

Зная расположение линий напряженностей электростатического поля, мож-

но построить эквипотенциальные поверхности и, наоборот, по известному распо-

ложению эквипотенциальных поверхностей можно определить в каждой точке поля величину и направления напряженности поля.

На рисунке изображены для примера виды линий напряженностей (штриховые линии) и эк-

випотенциальных поверхностей (сплошные ли-

нии) полей положительного точечного заряда (а)

и заряженного металлического цилиндра, имею-

щего на одном конце выступ, а на другом – впадину (б).

§ 65

Вычисление разности потенциалов по напряженности поля

1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости определяется форму-

лой E = σ2ε0 , где σ – поверхностная плоскость заряда. Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях x1 и x2 от плоскости равна

2. Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоско-

стей определяется формулой E = σε0 . Разность потенциалов между плоскостя-

ми, расстояние между которыми равно d , равна

Если принять r1 = r и r2 = ∞, то потенциал поля вне сферической поверхности,

задается выражением

ϕ = 1 q . 4πε0 r

Внутри сферической поверхности потенциал всюду одинаков и равен

ϕ = 1 q . 4πε0 R

График зависимости ϕ от r приведен на рисунке.

4. Поле объемно заряженного шара радиуса R с общим зарядом q вне шара

( r > R ) вычисляется по формуле

E = 1 q , 4πε0 r2

поэтому разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1 и r2 от центра шара ( r1 > R, r2 > R), определяется формулой (65.2). В любой точке, лежащей внутри шара на расстоянии r′ от центра ( r′ < R ), напряженность определяется выражением

Следовательно, разность потенциалов между двумя точками, лежащими на рас-

стояниях r1′ и r2′ от центра шара ( r1′ < R , r2′ < R), равна

′

ϕ1 − ϕ2 = r∫2′Edr = 8πεq0R3 (r2′2 − r1′2 ).

r1

5. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра радиуса R , заря-

женного с линейной плоскостью τ, вне цилиндра ( r > R ) определяется формулой

где E – напряженность электрического поля между плоскостям, которое является однородным.

Как видно из рисунка, вектора напряженности элек-

трических полей E+ положительно и E− отрицательно за-

ряженных плоскостей в области между плоскостями на-

правлены в одну сторону, и из величины равны, соответственно,

E+ = σ1 и E− = σ2 . 2e0 2ε0

Тогда результирующий вектор напряженности электрического поля между плос-

костями равен по величине

s + s E = E+ + E− = 12e0 2 .

Подставим это выражение в формулу для разности потенциалов

В полученное равенство подставим числовые значения

Задача 2. Найдите потенциал в центре металлической сферы радиуса R = 5

см, равномерно заряженной по поверхности с поверхностной плотностью заряда σ = 5 нКл/м2, если на бесконечности он равен нулю.

где q – заряд сферы, который равен

q = sS = s4pR2 .

Подставим это выражение в формулу для потенциала

По полученному равенству рассчитаем числовое значение потенциала

Задача 3. Напряженность однородного электрического поля в некоторой точке равна 300 В/м. Вычислите разность потенциалов между этой точкой и дру-

гой, лежащей на прямой, составляющей угол 30° с вектором напряженности. Рас-

стояние между точками равно 3 мм.

§ 66

Типы диэлектриков. Поляризация диэлектриков

Молекулы в диэлектриках можно

рассматривать, как диполь с электрическим моментом равным

R =

p q l .

Диэлектрики – это вещества, которые не прово-

дят (плохо проводят) электрический ток.

Первую группу диэлектриков (N2, H2, O2, CO2, CH4, …) составляют вещест-

ва, молекулы которых имеют симметричное строение, т.е. центры «тяжести» по-

ложительных и отрицательных зарядов в отсутствии внешнего электрического

поля = 0 совпадают и, следовательно, R i = 0 . Молекулы таких диэлектриков p

E

называются неполярными. Под действием электрического поля E ¹ 0 заряды не-

полярных молекул смещаются в противоположные стороны и молекулы приобре-

тают дипольный момент.

Поляризацией диэлектрика называется процесс ориентации диполей или появ-

ления под воздействием электрического поля ориентированных по полю диполей.

У неполярных молекул наблюдается электронная или деформационная поля-

ризация, заключающаяся в возникновение у атомов индуцированного электриче-

ского момента p за счет деформации электронных орбит.

Вторую группу диэлектриков (H2O, NH3, SO2,

CO, …) составляют вещества, молекулы которых имеют асимметрическое строение, т.е. центры

«тяжести» положительных и отрицательных заря-

дов не совпадают. Таким образом, эти молекулы в отсутствии E = 0 обладают pi ¹ 0 . Молекулы та-

ких диэлектриков называются полярными. Однако в отсутствии внешнего элек-

трического поля ∑ R i = 0 , так как из-за теплового движения i молекулы ори-

E

p

p

i

ентируются в пространстве хаотически. Если такой диэлектрик поместить во

внешнее ¹ 0 , то i стремятся ориентироваться вдоль поля, и тогда ∑ R i ¹ 0 . У

E p p

i

полярных молекул наблюдается ориентационная или дипольная поляризация

диэлектриков, которая заключается в ориентации имеющихся pi по полю. Эта ориентация тем сильнее, чем больше величина E .

Третью группу диэлектриков (NaCl, KCl, KBr, …) составляют вещества, мо-

лекулы которых имеют ионное строение. Ионные кристаллы представляют собой пространственные решетки с правильным чередованием ионов разных знаков. В

этих кристаллах нельзя выделить отдельные молекулы, а рассматривать их можно как систему двух вдвинутых одна в другую ионных подрешеток. При наложение на ионный кристалл внешнего электрического поля E происходит некоторая де-

формация кристаллической решетки или относительное смещение подрешеток,

приводящее к возникновению дипольных моментов p . У ионных решеток на-