teoreticheskaya_mehanika_1989

Пример

ДЗ.

Механическая

система состоит из грузов D\

массой

т\

и D? массой

т 2

и из

прямоугольной

вертикальной

плиты

массой

т 3, движущейся

вдоль

горизонтальных

направ­

ляющих

(рис.

Д З). В

момент

времени to =

0, когда система на­

ходилась в покое, под действием

внутренних

сил грузы

начинают

двигаться по желобам, представ­

ляющим собой окружности ради­

усов г

и R, по законам

<pi =

fi(t)

и ф2 =

/г(0-

Д а н о :

mi =

6 кг,

т 2

=

8

кг, т з = 12

кг,

г =

0,6

м, R =

1,2 м,

ф] =

nt

рад,

ф2 =

-трО —0

рад

(/ — в

секундах).

О п р е д е л и т ь :

Хз =

fe(t) — закон движения плиты, N =

f(t) — закон изменения со вре­

менем полной нормальной реакции направляющих.

Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из плиты

и грузов D |

и D2, в произвольном положении

(рис. Д З). Изобразим

действующие на систему внешние силы: силы тяжести

Р lt

Рг,

Р 3 и

реакцию

направляющих

N.

Проведем

координатные

оси

Оху

так,

М х е = 2 Л ь , и л и М х е = 0 ,

(1 )

М х с = co n st,

(2)

х2 = х3 + г $1пф2. Так как по

формуле, определяющей координату

х с

центра масс системы, Мхс =

mixi + m2x2 + т 3 х3, то

М х с = (mi + m2 + тз)хз — m tRc os( nt )+ m2fsin (n /2 — / 2) .

(3)

б)

Определение реакции N. Д ля определения N = /(/)

составим

дифференциальное уравнение движения центра масс системы в проекции

на вертикальную ось у (см. рис. ДЗ):

М у с = YF\y или

М у с — N — Р х — Р2 — Рз ■

(1)

Отсюда

получим, учтя, что Р i =

mig,

и т. д.:

N = M y c+ ( m t +

m2 + m 3)g .

(2)

По формуле, определяющей ординату у с центра масс системы,

М у с — miyi + т 2 у2 + т3 уз,

где у х = Я + tfsin <рь

уг =

Н — г соБфг, уз — Н =

ОС30 =

const, получим

Му с = m \R n cos(nZ)— т 2л(л/2)соз(л</2);

М у с = — mi/?ft2sin(n/)-(- m2r(n2/4 )sin (n //2 ).

Подставив это

значение Мус в уравнение (2), определим искомую

зависимость

N от t.

О т в е т :

N =

254,8— 1,2л2 [6 sin (л/) — sin (л //2 )], где t — в се­

плиты 1 массой т i =

18 кг, движущейся вдоль горизонтальных направ­

ляющих, и груза D массой

т 2 =

6 кг (рис. Д4.0 — Д4.9,

табл. Д4).

В момент времени

to = 0,

когда

скорость плиты и0 — 2

м/с, груз

расстояние

s = AD

изменяется по

закону

s — f t(t), а на рис.

4—9

желоб — окружность

радиуса R ' = 0,8

м и при

движении

груза

угол

Ф = Z.ACiZ)

изменяется по закону

Ф =

f 2(t).

В

табл. Д4

эти зависи-

У//////////////Л

Ш Ш ТТТТТТТТТТТТТТТТШ Ш

Рис. Д4.2

Рис. Д4.3

Рис. Д4.4

У///////////////////////////////Л

= ^ D

i u =

£_ с, A t iV

А(( Ч>}\4 _ . | _

т ш ш т ш /ш ш

Рис. Д4.5

Рис. Д4.6

Рис. Д4.7

'////////////////////////////////

'/////////////////////7//////М

А

и

/Г^С

/L

-1

I

’7777777777777777777777777777777/.

<1

■7777777777777777777777777777777.

Рис. Д4.8

Рис. Д4.9

вращаться

вокруг оси А по закону

<р =

ср(<).

Д а н о :

mi = 24

кг, т 2 = 12

кг,

ио = 0,5 м/с, / =

0,6 м, ф =

= (л/ЗХ1 +

2/3) рад

(/ — в секундах).

О п р е д е л и т ь :

« — /(/) —

силы вертикальны (рис. Д 4), то

= 0

и теорема дает

Рис. Д4

d^ Jr

%F%X= 0 , откуда Q, = C'i .

(1)

At

Для рассматриваемой механической системы Q =

QT+ Q °, где QT=

= т\й и Q D= m 2 v D— количества движения тележки

и груза D соот­

к осям Оху). Тогда

из равенства (1) следует,

что

Q l + Q 5 = C | или miux + m 2 v Dx= C i .

(2)

Для определения уо* рассмотрим движение груза D как сложное,

считая его движение по отношению к тележке относительным

(это

движение, совершаемое при вращении стержня AD

вокруг оси

А),

а движение самой

тележки — переносным.

Тогда

v D = Уоср + V D " и

V D X — УОл + у о"-

( 3 )

vDx= Ux—b°JС0 8 ф =

— 2faZ2 c o s ( - ^ — |— у - < 3) -

(4)

(В данной задаче

величину

v Dx можно еще

найти

другим

путем,

определив абсциссу х 0

груза D, для которой, как видно

из рис. Д4, по­

лучим Хо — Ха— / sin ф;

тогда vDx =

*о = ха — /фсозф,

где

ха — их, а

Ф =

2л/2,)

vox

При

найденном значении

равенство (2), если

учесть, что

их =

и, примет вид

mi и + т 2м — m22ZnZ2cos^-^- -+

= С | .

(5)

Постоянную интегрирования Сi определим по начальным условиям:

при

t =

0

и = и0. Подстановка

этих величин в уравнение (5) дает

Ci =

(mi +

m2)uo и тогда из (5)

получим

(m 1+ т 2)ы — 2m2ZnZ2 cos

^ Z3^ =

( т i + т 2)«о.

Однородная горизонтальная

платформа

(круглая

радиуса

R

или прямоугольная со

сторонами

R и 2R,

где

R = 1,2

м) массой

/0 1 = 2 4 кг вращается

с угловой

скоростью

юо =

Ю с-1

вокруг

вер­

стоянии

ОС = b

(рис.

Д5.0 — Д5.9, табл.

Д 5 ); размеры

для

всех

прямоугольных платформ показаны на рис. Д5.0а (вид сверху).

В момент времени /0 =

0 по желобу платформы начинает двигать­

ся (под действием внутренних сил) груз

D массой

т 2 =

8

кг по

закону

s = AD =

F(t),

где

s выражено в

метрах,

t — в

секундах.

том

М (задан

в

ньютонометрах;

при М < 0

его

направление

противо­

положно показанному на рисунках).

Определить,

пренебрегая

массой

вала,

зависимость

со = /(/),

т. е. угловую скорость платформы, как функцию времени.

На всех

рисунках

груз D

показан в

положении,

при

котором

$ > 0

(когда

s < 0 , груз

находится по

другую

сторону

от точки А).

и груза. При этом следует учесть, что абсолютная

скорость

груза

складывается из относительной

vOT„ и переносной

ипер

скоростей,

т. е.

v — у„тн+ "перПоэтому и

количество движения этого

груза

mv =

mu0T„+m unep. Тогда можно

воспользоваться теоремой

Вариньона