teoreticheskaya_mehanika_1989

ет положение

точки

D

по

отношению

к

тележке, получим

v D —

— уЬт+ у о р, где численно

v°J =

х, v"op — у2 =

Рф. Тогда, принимая во

внимание, что

при возрастании

ф и х скорости уо и у0пер направлены

в разные стороны и что точка Е для

катка — мгновенный

центр

скоростей, получим

VD=

X —R(f ,

VD

х — R<p

to3 :

R3

ED

Подставляя все

найденные

значения

скоростей и значения /О и

Id в равенства (3) и учитывая,

что Р, =

Р3 =

2Р, а Р2 — 4Р, получим

окончательно из (2) следующее выражение для Т:

Г = - |_ ( 4 Я У - З Я < ^ + - |- ? ) .

(4)

Отсюда находим

2 1 = ! ( 8 Я 2ф - 3 /? х ), § 1 = 0 ;

dtp

g

Ф

+

f

- 0 .

(51

3.

Теперь определим обобщенные силы Qi и

Qz.

Изображ

действующие на систему активные силы: силы тяжести Pi,

Р2, Р 3, силы

упругости F и F', где численно F' — F — сх, и пару с моментом М.

а)

Для определения Qi сообщим системе возможное перемещение,

при котором

координата ф получает

приращение 6 ф > 0 , а

х

не изме­

няется,

т. е.

Ьх = 0

(пружина

при

таком

перемещении

системы не

изменяет свою длину). Тогда тележка и центр D катка получают

одинаковые перемещения 6 s2 =

бs D = Rtxp и элементарная

работа дей­

ствующих сил будет равна

6А| =

Мбф — Р

2 sin30° • 6s2 — Р з sin 30° -6s D— F'6 s2 + FSsD.

Заменив здесь все величины их значениями, найдем в результате,

что

6Л1 =

{М- 0,5P2R —0,5Р3/?)бф =

PRb(f .

(6)

б)

Дляопределения Q2

сообщим системе возможное перемещение,

при котором

координата х

получает

приращение 6 х > 0 , а

ф не изме­

няется, т. е. 6ф = 0 (барабан не поворачивается

и тележка не

переме­

щается). Тогда элементарную работу совершат только силы Р3 и F,

учтя, что Рз = 2Р, получим

6Л2 =

Р з sin 30° • Ьх — Fbx =

(Р — сх)Ьх .

(7)

Коэффициенты при 6ф и Ьх в равенствах

(6) и (7)

и будут

искомыми обобщенными силами; следовательно,

Qi = PR ; Q2 = P — CX .

’

(8)

4.

Для

определения х

= f(t)

исключим

из

уравнений (9) ip.

Получим дифференциальное уравнение вида

х + к2х =

а ,

где

(Ю)

Общее решение уравнения (10), как известно

из

высшей

мате­

матики,

имеет

вид

х =

x t + х2,

где Х\ — общее

решение однородного

уравнения х +

к2х =

0,

т. е. Х\ =

Cism(kt) + Cic0 s(kt),

а

— частное

решение

уравнения

(10). Будем

искать

решение

х2

в

виде

х 2 =

А =

= const. Подставляя значение х2

в уравнение (10),

получим А =

а / к 2.

Таким образом, общее решение уравнения

(10)

имеет вид

х =

Ci sin(*<) + С2 cos(kt)

а/к1 ,

( И )

где Ci и С2 — постоянные интегрирования. Для

их определения найдем

еще производную х от х

по времени:

х =

Cikcos(kt) — Ciksin(kt) .

( 12)

По

начальным

условиям

при

/ =

0

х =

0,

х =

0

(движение

начинается из состояния покоя и пружина в этот момент не деформи­

рована). Подставляя эти величины в уравнения

(11)

и

(12), найдем

из них, что Ci =

0,

С2 =

— а / к 2.

Окончательно получим искомую зависимость х =

f(f)

в виде

(13)

15Р

(14)

к =

‘V 8eg

Т а б л и ц а

Д 12

Номер

условия

т ,

т 2

т 3

т.

ть

Cl

С2

Сз

0

12

16

8

1200

1000

1

10

8

4

—

—

—

—

2

16

12

—

—

6

—

800

—

3

20

—

—

6

—

1500

—

—

4

—

18

—

—

4

—

1000

—

5

18

14

6

—

— .

1000

—

—

6

12

—

8

4

—

—

—

1200

7

16

10

—

—

4

800

—

—

8

20

16

—

8

—

—

1200

—

9

10

—

6

4

—

1000

ния; однородного стержня 3 длиной

1 = 1 , 2 м,

закрепленного

шар­

ниром на одном из концов; грузов 4 и

5, подвешенных к нитям, намо-

танным на колеса. На стержне расстояние АВ =

2//3.

Стержень 3 соединен с колесом

2

невесомым

стержнем 6 . Колеса

/ и 2 или находятся в зацеплении

(рис. О—4),

или соединены

неве­

колеса соединены

невесомым

стержнем АВ

(рис. Д12а).

К колесу 1

прикреплена вертикальная пружина с коэффициентом жесткости с.

Д а н о :

mi =

12

кг, т 2 =

6 кг, т 3 = 3 кг, Ri = R2

=

R, r2 = 0,5/?,

с = 900 Н/м.

Колеса

считать

сплошными

однородными

цилиндрами.

О п р е д е л и т ь :

частоту k и период т малых колебаний системы около

положения равновесия и значение Хст.

Решение. 1. Система имеет одну степень свободы. Выберем в ка­

честве обобщенной

координаты угол ср поворота колеса

/

от равновес­

ного положения (при

равновесии <р = 0 и s D = 0, 5з =

0);

при движе­

гий всех тел:

Т =

Г, +

Г2 +

Г3 .

(2)

Так как колеса 1 и 2 вращаются вокруг осей 0\

и 0 2, а груз 3 дви­

жется

поступательно, то

Г, =

/ 0,со?/2 ,

Т2 =

/ 02о>1/2 ,

где

Г з

= т

3Уз2/ 2

,

( 3 )

/ 0l =

m ,fi?/2,

I 0 2 = m 2 R l / 2 .

(4)

Все скорости,

входящие в

равенства

(3),

надо

выразить

через

обобщенную

скорость

ф. Тогда

coi =

ф. Далее, ввиду

малости угла ф

можно считать в каждый момент

времени

v B =

V A ,

т . е. ы 2г 2 =

откуда

(о2 =

<s>\R\Jt2 и

v3 =

<o2 R2

=

aiRiRi/ri .

Отсюда,

учтя,

что

R l =

= # 2 =

R, r2

= 0,5R,

получим

o)i = Ф, юг = /?1ф /г2 = 2ф ,

Vi =

2У?ф .

(5)

Подставляя

величины

(4), где

Ri =

R 2

= R ,

и

(5)

в

равенства

(3),

получим из равенства

(2)

Т = 0,5аоф2 ,

где а0 =

(0,5mi + 2 т г +

4тз)Л 2 .

(6)

Отсюда находим

дТ

■

дТ

п

d

/

дТ \

~

i H

' ^

1 5 "

= С о < р ’

3. Определим потенциальную энергию П системы, учитывая, что

для пружины П =

0,5сХ2, где X — удлинение

(сжатие)

пружины, а для

поля сил тяжести

П = m g zc,

где

г с — координата

центра

тяжести

(ось z направлена по вертикали вверх).

Тогда для всей системы

П = 0,5сХ2 + msgzc3 ■

(8)

Определяя X, учтем, что в положении равновесия пружина может

иметь некоторое статическое (начальное) удлинение

или сжатие

Хст>

необходимое для сохранения равновесия

(в нашем случае для уравно­

вешивания силы тяжести, действующей на груз 3 ). Прй^повороте

колеса 1 на угол ф пружина получит дополнительное

к Хст удлинение

sD= R |ф. Следовательно,

X = XCT+

s D =

Хст+

/?<р.

Для zcg, направляя ось г из точки Оз вверх, получим Zc3=

—S3 .

Чтобы выразить $э через <р, заметим, что зависимость между малыми

перемещениями здесь будет такой же, как между соответствующими

скоростями. Тогда по аналогии с последним из равенств (5)

s3 =

2#ф

и г Сз =

— 2Лф.

П = 0,5с(Хст+ /?ф )2 —2m3g/?v .

(9)

4. Определим обобщенную силу Q и Хст. Сначала находим

Q = -------”

— ^(^с-гЧ- /?ф)

+ 2 m$gR .

(10)

Входящую

сюда неизвестную

величину

Хст

найдем изусловия, что

приравновесии,

т. е. когда

ф = 0, должно быть и Q = 0.

Полагая

в (10) ф =

0 и Q = 0, получим cRh^ — 2m3gR,

откуда

Х.СТ= 2m 3 g /c .

(11)

Заменяя в

(10)

Хст этим значением, найдем, что

Q = - c R \ .

(12)

5. Составляем уравнение Лагранжа. Подставляя значения произ­

водных из равенств (7) и значение Q из (12)

в уравнение(1), получим

Соф = — cR2 ф или, с учетом

обозначения

в (6),

ф + 62ф =: 0 , где

к2 = - £ 5 _ =

-----■,

2с- . ------ .

(13)

о»

гп\ + 4 т г + 8 т з

Из теории

колебаний

известно, что

когда

уравнение

приведено

произведя соответствующие

подсчеты, получим из (13) и (11) о т в е ­

ты: к = 5,48 с-1, т = 1,11

с, Хст = 0,065 м = 6,5 см.

П = 0,5сХ2 + migzc, +

m 2 g z Cl+ m 3g z C3,

(8)

где величины X, z Cl, zc2, г Сз должны быть выражены через <р.

Определяя X, учтем, что в положении равновесия пружина может

иметь некоторое статическое (начальное) удлинение или сжатие

Хст,

необходимое для сохранения равновесия (в

нашем случае для

уравно­

вешивания силы тяжести Р3).

В

произвольном

положении

(см.

рис. Д12, в)

пружина

получит дополнительное

удлинение, равное

$л,

причем

ввиду

малости

ср

можно

считать $л =

Ар. Тогда X =ХсТ+ $л =

=

^ст+ /ф-

0\

Для

г С|,

направляя

ось zi

из

точки

вверх,

получим zc, =

=

0,5/cos ф. Разлагая здесь созф в ряд и сохраняя член с ф2, получим*

Для z c2, взяв начало координат в точке С2, получим г Сг =

0.

Для

г Сз>

совмещая

начало

координат

0 3

с положением

центра

тяжести

груза 3 при равновесии, получим г Сз =

—S3, где s3 — переме­

щение груза. Чтобы выразить S3 через ф,

заметим,

что зависимость

равенств (5)

s3 = 2/ф/З и г Сз =

— 2/ф/З. .

Подставляя все найденные величины в равенство

(8), получим

П =

-^-(Хст + /ф)2Н—

1-------- ^ ----- ^-msgltp.

(9)

4. Определим обобщенную силу Q и Хст. Сначала находим

Q

Эф“ = — [ с/(Хст+ /ф ) -----i - m ig /ф

.

(10)

Q = — 6ф , где b = (cl — 0,bmig)l.

(12)

- .

«.2

п

,.2

Ь

-575

9 (2 c /-m ,g )

(13)

Ф +

k <р=

0 ,

где kr =

-----=

г б

Г~л—

Оо

2(3m i +

2 тг + 4тз)/

всех названных сил на этом перемещении. Получим

6А =

(—/Vcos ф +

P i s i n ф)6ф +

P36S3 .

(15)

В равенстве (15) надо выразить 6s3 через 6ф. По аналогии с послед­

ним из равенств (5)

найдем, что

6$3 =

2/6ф /3 .

\

(16)

F =

с(Хст+

/ф ).

(17)

Подставив

величины (16)

и (17)

в равенство (15) и учтя,

что

Pi = m,g, а Р3

=

m3g и что ввиду малости ф можно считать sin ф =

ф,

созф =

приведем окончательно равенство

(15) к виду

6Л =

[— с(Хст + lq>)l+ m tgl<p/2 +

2m3g //3 ]6ф .