teoreticheskaya_mehanika_1989

Рис. Д5.6а

70

Пример Д5. Однородная горизонтальная платформа (прямоуголь­ ная со сторонами 2 1 и /), имеющая массу т ь жестко скреплена с вертикальным валом и вращается вместе с ним вокруг оси г с угло­

вой скоростью coo (рис. Д5, о). В момент времени to = 0 на вал начинает действовать вращающий момент М, направленный противо­

Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из плат­ формы и груза D. Для определения <в применим теорему об изменении кинетического момента системы относительно оси г:

( 1)

Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести Pi, р 2 реакции R E , R h и вращающий момент М. Так как силы Р\ и Р2 параллельны оси z, а реакции Re и R H эту ось пересекают, то их моменты относительно оси г равны нулю. Тогда, считая для момента положительным направление соо (т. е. против хода часовой стрелки), получим 2 mjjFl) = — М = — kt и уравнение (1) примет такой вид:

Умножая обе части этого уравнения на dZ и интегрируя, получим

(3)

Для рассматриваемой механической системы

где К™ и Кг — кинетические моменты платформы и груза D соот­ ветственно.

движение груза D как сложное, считая его движение по платформе относительным, а вращение самой платформы вокруг оси z переносным

ние и0тн было бы противоположным). Затем, учитывая направление <о,

72

Т а б л и ц а Д6

73

а массу блока 4 — равномерно распределенной по ободу. Коэффициент трения грузов о пл'оскость / = 0,1. Тела системы соединены друг с дру­ гом нитями, перекинутыми через блоки и намотанными на шкив 3 (или на шкив и каток); участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. К одному из тел прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с.

Под действием силы F = /($), зависящей от перемещения s точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя; деформация пружины в момент начала движения равна нулю. При дви-

74

жении на шкив 3 действует постоянный момент М сил сопротивления (от трения в подшипниках).

Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение s станет равным si = 0,2 м. Искомая величина

кинетической энергии системы. При решении задачи учесть, что кинети­ ческая энергия Т системы равна сумме кинетических энергий всех входящих в систему тел; эту энергию нужно выразить через ту скорость (линейную или угловую), которую в задаче надо определить. При вы­ числении Т для установления зависимости между скоростями точек тела, движущегося плоскопараллельно, или между его угловой ско­ ростью и скоростью центра масс воспользоваться мгновенным центром скоростей (кинематика). При вычислении работы надо все перемещения выразить через заданное перемещение Si, учтя, что зависимость между перемещениями здесь будет такой же, как между соответствующими скоростями.

Пример Д6. Механическая система (рис. Д 6, а) состоит из сплошного однородного цилиндрического катка 1 , подвижного блока 2 , ступенчато­ го шкива 3 с радиусами ступеней У?з и /з и радиусом инерции относительно оси вращения р3, блока 4 и груза 5 (коэффициент трения груза о плоскость равен /). Тела системы соединены нитями,

75

намотанными на шкив 3. К центру Е блока 2 прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с; ее начальная деформация равна нулю.

Система приходит в движение из состояния покоя под действием силы F = f(s), зависящей от перемещения s точки ее приложения. На шкив 3 при движении действует постоянный момент М сил сопро­ тивления.

системы, состоящей из весомых тел 1, 3, 5 и невесомых тел 2, 4, соеди­ ненных нитями. Изобразим действующие на систему внешние силы: активные F, Fynp, Р |, Р3, Р$, реакции N i, N 3, N t, N 5, натяжение нити S2, силы трения Fp, Flv и момент М.

Для определения ш3 воспользуемся теоремой об изменении кине­

i

2. Определяем Т0 и Т. Так как в начальный момент система нах дилась в покое, то Т0 — 0. Величина Т равна сумме энергий всех тел системы:

Учитывая, что тело 1 движется плоскопараллельно, тело 5 — поступательно, а тело 3 вращается вокруг неподвижной оси, получим

Т\ — -g-miVct + ~ 2~/citof ;

Подставив все величины (4) и (5) в равенства (3), а затем, исполь­ зуя равенство (2), получим окончательно

76

3. Теперь найдем сумму работ всех действующих внешних сил при перемещении, которое будет иметь система, когда центр катка 1

точки Е (конца пружины). Величины sE и ф3 надо выразить через задан­ ное перемещение si; для этого учтем, что зависимость между перемеще­ ниями здесь такая же, как и между соответствующими скоростями.

77

Задача Д7

Барабан радиуса R весом Р имеет выточку (как у катушки) радиу­

с моментом М; когда в таблице M < 0 , направление момента противо­ положно показанному на рисунке. При движении, начинающемся из состояния покоя, барабан катится без скольжения по шероховатой наклонной плоскости с углом наклона а так, как показано на рисунках.

Пренебрегая сопротивлением качению, определить закон движения центра масс С барабана, т. е. хс = f(t), и наименьшее значение коэф­ фициента трения f о плоскость, при котором возможно качение без скольжения. Барабан рассматривать как сплошной однородный ци­ линдр радиуса R.

Указания. Задача Д7 — на применение дифференциальных уравне­ ний плоскопараллельного движения твердого тела. При составлении уравнений следует во избежание ошибок в знаках направить коорди­ натную ось х в ту сторону, куда предполагается направленным дви­ жение центра С барабана, и считать тогда все моменты положитель­ ными, когда они направлены в сторону вращения барабана. Если фак­

тически направление движения центра С другое, то в ответе получится ас < 0, но найденное значение |ас| будет верным. Силу трения, когда неясно, куда она направлена, можно направлять в любую сторону (результат от этого не зависит).

Определяя наименьшее значение коэффициента трения, при кото­ ром возможно качение без скольжения, учесть, что сила трения не может быть больше предельной, т. е. что \Frp\^ . fN , откуда \Frp\/N.

Следовательно, f mi„ = |f Tp|//V. Очень существенно, что во все эти выра­ жения входят модули сил (мы не пишем |ЛГ|, так как в данной задаче

Т а б л и ц а Д7

78